2017-2018学年高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算教学案 选修2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精2 复数的四则运算 复数的加法与减法已知复数z1abi，z2cdi(a,b，c，dr）问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即（abi）(cdi)（ac）(bd）i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1加(减）法法则设abi与cdi（a，b,c，dr)是任意复数，则(abi）（cdi)（ac）(bd）i.2运算律对任意的z1，z2，z3c，有z1z2z2z1(交换律)(z1z2）z3z1（z2z3)(结合律)。复数的乘法问题1：复数的加减法类似多

2、项式加减,试想：复数相乘是否类似两多项式相乘?提示：是问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足问题3:试举例验证复数乘法的交换律提示：若z1abi，z2cdi（a，b,c，dr)z1z2(abi）（cdi）（acbd）（bcad)i,z2z1(cdi)（abi)(acbd)(bcad）i。故z1z2z2z1。复数的乘法（1)定义：(abi)（cdi)（acbd)（adbc）i。(2）运算律：对任意z1，z2，z3c,有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2）z3z1（z2z3）乘法对加法的分配律z1(z2z3）z1z2z1z3复数的乘方：任意复数z，z1，z

3、2和正整数m，n，有zmznzmn，(zm）nzmn，(z1z2)nzz.共 轭 复 数观察下列三组复数：（1）z12i；z22i；（2）z134i；z234i;(3)z14i；z24i。问题1:每组复数中的z1与z2有什么关系?提示：实部相等，虚部互为相反数问题2：试计算每组中的z1z2,你发现有什么规律？提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数复数z的共轭复数用来表示，也就是当zabi时，abi.于是za2b2|z|2。复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算,给出两

4、个复数abi，cdi（cdi0）若（cdi）(xyi)abi，则xyi叫做复数abi除以cdi的商问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b,c，d表示出x，y.提示：由(cdi）(xyi）abi得xcyd(xdyc)iabi.即问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后,再进行运算复数的除法法则设z1abi，z2cdi（cdi0)，则i(cdi0)1复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成1,再把实部、虚部分别合并2复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以

5、直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数） 复数的加减运算例1计算:(1)(12i)（34i)（56i);(2)5i（34i)(13i）;（3)(abi)(2a3bi）3i（a，br）思路点拨利用复数加减运算的法则计算精解详析(1)（12i）（34i）（56i)(42i)（56i）18i。(2)5i（34i）（13i)5i(4i)44i.(3)（abi）（2a3bi）3i（a2a）b(3b)3ia(4b3）i。一点通复数加、减运算的方法技巧：（1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；(2)把i看作一个字母，类比多项式加

6、、减中的合并同类项1计算（1i)（2i)(32i）解：（1i）（2i）(32i）1（）i（32i）4(2)i。2若（310i)y(2i)x19i，求实数x，y的值解:原式化为3y10yi(2xxi)19i.即(3y2x)(x10y）i19i。复数的四则运算例2计算:(1)（1i)(1i)(1i)；（2）(2i)（15i)(34i）2i；(3）（23i）(12i）i5；(4)2.思路点拨按照复数的乘法与除法运算法则进行计算精解详析(1）（1i）（1i)(1i)1i2（1i）21i1i.(2）（2i)（15i）（34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)（34i)2i（311i）

7、(34i）2i(912i33i44i2）2i5321i2i5323i.（3）原式i5(i2）2iii。(4)21817.一点通（1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简(2)im(mn）具有周期性，且最小正周期为4，则i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nn）；i4ni4n1i4n2i4n30（nn）3(新课标全国卷)设复数z满足(1i）z2i，则z（）a1ib。1ic。1i d.1i解析：z1i，故选a. 答案：a4（新课标全国卷）若复数z满足 (34i)

8、z|43i，则z的虚部为()a4 b。c。4d.解析：因为43i| 5，所以已知等式为（34i）z5，即zi，所以复数z的虚部为，选择d.答案：d5计算：(1）（4i5）（62i7）（7i11)(43i);(2)。解:(1)(4i5)（62i7)（7i11）(43i)（4i)（62i)(7i）(43i)248i6i22821i4i34739i。（2)(1i)4ii（1i)22i(2i）24i.共 轭 复 数例3已知zc，为z的共轭复数，若z3i13i，求z。精解详析设zabi（a，br），则abi(a，br)，由题意得（abi)（abi）3i(abi）13i，即a2b23b3ai13i，则有解

9、得或所以z1或z13i。一点通已知关于z和的方程，求z的问题,解题的常规思路为设zabi（a，br）,则abi,代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解6.（四川高考）如图,在复平面内，点a表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()aabbccdd解析:因为xyi的共轭复数是xyi，故选b.答案：b7(新课标全国卷)复数z的共轭复数是()a2i b2ic1i d.1i解析:z1i，所以1i。答案：d8已知复数z15i，z2i3，且12，求复数z。解：由已知得:15i，23i，12（5i）（3i)22i，zi.1复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方,再算乘除,最后算加

10、减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如:（1i)22i，i，i4n1,i4n1i,i4n21，i4n3i(nn)等,在解题中可使运算简化2解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程zz|2|2；zrz；z0，z为纯虚数z. 1（12i）（）a2ib22ic22i d.2解析：原式i22i。答案：b2已知a为正实数，i为虚数单位，若的模为2，则a()a2 b。c. d。1解析：因为1ai,所以 2，又a0，故a。故选b.答案：b3计算：（)a0 b1ci d.2i解析:3ii2i.故选d.答案：d4(1i）20（1i）20的值是（)a1 024 b1 024c0 d.

11、512解析：(1i)20（1i)20（1i）210(1i)210(2i)10(2i)10(2i）10（2i）100。答案：c5(天津高考)已知a，br,i是虚数单位若（ai）（1i)bi，则abi_.解析:因为(ai)(1i）a1（a1）ibi，a，br，所以解得所以abi12i。答案:12i6若复数z满足z（1z）i1，则zz2_。解析：由题得zizi10，则zi，所以zz2i21。答案：17计算：(1）(i)2（45i）；（2)。解：(1)(i)2(45i）2（1i）2（45i)4i(45i)2016i。（2）1i。8已知复数z满足（z2）iai（ar）(1）求复数z；（2）a为何值时，复数z2对