2017-2018学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法章末小结与测评创新应用教学案 -5

1、学必求其心得，业必贵于专精第二讲 证明不等式的基本方法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方，可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法若x，y，zr，a0,b0,c0，求证：x2y2z22（xyyzzx)证明x2y2z22（xyyzzx)（z2x22zx)(y z)20。x2y2z22(xyyzzx）成立.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等

2、式出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证）成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0）f（1)0，求证:（1)方程f(x）0有实根；(2）21；(3）设x1，x2是方程f（x)0的两个实根,则|x1x2|。证明(1）当a0时，bc，f（0）f（1)c（3a2bc）c20，与已知

3、矛盾，所以a0。方程3ax22bxc0的判别式4(b23ac),由abc0,消去b,得4(a2c2ac)4c20.故方程f（x)0有实根（2）由f(0)f（1)0，得c（3a2bc）0。由abc0，消去c得（ab）(2ab)0。因为a20，所以0.故21。(3）由已知得，x1x2，x1x2，所以(x1x2)2（x1x2）24x1x2。因为21,所以(x1x2)2.故|x1x20,ab1。1ab2，ab,即上式成立故 2。 (1)反证法:先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成

4、立，从而原来的命题结论正确(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小），使不等式由繁化简，达到证明的目的若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边求证：a3b3c3。证明假设a3b3c3,则1。a,b，c为直角三角形的三边且c为斜边，a2b2c2，(0，1),（0,1)，1，1.与矛盾假设不成立a3b3c3。求证：13。证明由0,x11且xn1(n1，2，)试证：数列xn或者对任意正整数n都满足xnxn1，或者对任意的正整数n都满足xnxn1.当此题用反证法否定结论时，应为(）a对任意的正整数n，有xnxn1b存在正整数n,使xnxn1c存在正整数n，使xnxn1且xnxn1d存在正整

5、数n，使(xnxn1）（xnxn1)0解析：选b“xnxn1或xnxn1”的对立面是“xnxn1”,“任意一个的反面是“存在某一个”3若a0,b0，则paabb，qabba的大小关系是（)apqbpqcpqdpb0时，1，ab0，则1，pq.当0ab时，00时,1，pq，综上可知pq.4已知a b.ac。a d.a解析：选c本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小,可以认为是先比较，1的大小，再比较，a的大小又因为a0，所以又可认为是在比较，1的大小因为b1，所以1。也可以令a1，b2，分别代入a、b、c、d中，知a、b、d均错二、填空题5设、为锐角，且msin()，nsin sin ，则m

6、、n的大小关系是_解析:sin()sin cos cos sin sin sin 。答案：mn6设a0，b0，m，n,则m与n的大小关系是_解析：a0，b0，nm.mn。答案：mn7若cab0，比较大小：_.(填“”“”或“”）解析：cab0,cbca0,0,又ab0,.答案：8如果abab,则实数a，b应该满足的条件是_解析：ababa()b（）0(）2（）0a0,b0且ab。答案:a0，b0，ab三、解答题9设ab0,求证：3a32b33a2b2ab2.证明:3a32b3（3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab）因为ab0，所以ab0，3a22b20,从而(3

7、a22b2）（ab)0.故3a32b33a2b2ab2成立10已知a，b，c,d都是实数，且a2b21，c2d21，求证:|acbd|1。证明：法一（综合法)：因为a，b，c,d都是实数，所以acbdac|bd|。又因为a2b21，c2d21，所以|acbd|1.法二（比较法）:显然有|acbd|11acbd1。先证明acbd1。acbd(1)acbdacbd0。acbd1.再证明acbd1.1（acbd)(acbd)acbd0，acbd1。综上得acbd|1.法三（分析法）:要证acbd1，只需证明（acbd）21。 即只需证明a2c22abcdb2d21.由于a2b21，c2d21,因此式

8、等价于a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2），将式展开、化简,得(adbc）20。因为a，b,c，d都是实数，所以式成立，即式成立原命题得证11已知a、b、c为三角形的三条边，求证：以，为边也可以构成一个三角形证明：(放缩法)设f(x）,x(0,)，设0x1x2，则f（x2）f（x1)0，故f(x)在（0，)上为增函数a、b、c为三角形的三条边，于是abc，即,同理：,.以，为边可以构成一个三角形 （时间：90分钟满分：120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1设alg 2lg 5，bex(x0），则a与b的大小关系是()aab bab cab dab解析：

9、选balg 2lg 51，bex（x0），故b1，ab。2若ab，则下列不等式正确的是（）a. ba3b3ca2b2 dab解析：选b若a1，b3，则,a2b2，a|b，知a、c、d错误；函数f（x）x3,f（x）3x20,函数f（x）x3为增函数，若ab,则a3b3.3已知a2，b2，c52,那么有(）aabc bacbcbac dcab解析:选aab(2）(2)420,ab。bc(2）（52）(2)(1)0，bc。abc。4用反证法证明命题“如果ab，那么 时，假设的内容应是（)a. b.c。且 d.或，三方面的关系，所以的反设应为或.5使不等式1成立的正整数a的最大值为（）a10 b11

10、c12 d13解析:选c用分析法可证a12时不等式成立，a13时不等式不成立6设a,b，m都是正数，且ab，则下列不等式中恒成立的是（）a。1 b。c。1 d1解析：选a0a0，1，则与的大小关系是（）a. b。c. d。解析：选b。ab1，ba0,b10。0，0。即.8设a，br，且ab，p，qab，则(）apq bpqcpq dpq解析：选apq（ab)。a，b都是正实数，且ab，0.pq。9已知a，b，c，dr且s,则下列判断中正确的是()a0s1 b1s2c2s3 d3s4解析：选b用放缩法，；。以上四个不等式相加，得1snpq bmpnqcmpqn dnpqm解析：选d，0sin c

11、os .sin |cos |,p|sin cos （sin |cos ）（sin |sin )sin m.psin cos m。对于qp.而q|sin |m，npqm.二、填空题(本大题有4小题，每小题5分,共20分）11已知ab0，则与的大小关系是_解析：(ab）.ab0，(ab)20，0。.答案：12设a0且a1，mloga(1a）,nloga，则m，n的大小关系为_解析：当a1时，1a1，loga(1a)loga，即mn；当0a1时，1aloga，即mn.答案：mn13设0mnab，函数yf（x）在r上是减函数，下列四个数f，f，f,f的大小顺序依次是_解析：1fff.答案：ffff14

12、若abc0，l1 ，l2 ,l3 ，则l1l2，l2l3，l,l中最小的一个是_解析：利用赋值法比较，令a3，b2，c1，可得l1，l2,l3，则l1l2，l2l3，l，l，可知l最小答案：l三、解答题(本大题共有4小题,共50分)15(本小题满分12分)比较3(1x2x4）和（1xx2）2的大小解：3(1x2x4)（1xx2）23(1x2x4）（1x2x42x2x22x3)33x23x41x2x42x2x22x32x42x322x2x3（x1)2(1x)2(x1）（x31)2（x1)2(x2x1)2（x1）20. 故3（1x2x4）(1xx2)2.16（本小题满分12分)设a，b，c，d均为

13、正数，求证： .证明：欲证 ，只需证（ ）2(ac)2(bd)2，即证 acbd,就是证（a2b2）(c2d2)(acbd）2,就是证b2c2a2d22abcd。也就是证(bcad)20。此式显然成立，故所证不等式成立17(本小题满分12分)设实数x、y满足yx20,0a1,求证：loga(axay）loga2。证明：ax0，ay0，axay22。xx2x（1x），又0a1，axx2a.当x时等号成立,但当x时,axax2.axay2a。又0a1，loga(axay)logaloga2。18（本小题满分14分）已知an(n，an）为函数y1的图象上的点，bn(n，bn)为函数y2x的图象上的点,设cnanbn，其中nn。(1)求证:数列cn既不是等差数列，也不是等比数列(2)试比较cn与cn1的大小解：（1)证明：根据题意可知：an，bnn，cnn。假设数列cn为等差数列,则2c2c1c3，即有2(2）13，有2，这与事实相矛盾，因而不是等