2017-2018学年高中数学 第章 概率章末小结与测评教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精第3章 概率1频率与概率概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率2古典概型（1）古典概型的特点是:有限性和等可能性(2）对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件a包含的基本事件的个数m，再利用公式p(a）求出概率有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏3互斥事件与对立事件（1)互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件(2）应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，求较复杂的概率通常有两种方法：一是将

2、所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式p（a)1p（）(事件a与互为对立事件)求解4几何概型（1）几何概型的特点是：无限性和等可能性（2）对于几何概型试验的计算，关键是求得事件a所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解典例1(江西高考)如图，从a1(1，0，0)，a2（2,0，0)，b1（0,1，0),b2(0,2，0)，c1（0,0,1)，c2（0，0,2)这6个点中随机选取3个点（1)求这3点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；（2)求这3点与原点o共面的概率解从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有a1a2b1，a1a2

3、b2，a1a2c1，a1a2c2，共4种;y轴上取2个点的有b1b2a1，b1b2a2，b1b2c1，b1b2c2，共4种；z轴上取2个点的有c1c2a1,c1c2a2，c1c2b1,c1c2b2，共4种所选取的3个点在不同坐标轴上有a1b1c1，a1b1c2，a1b2c1,a1b2c2，a2b1c1，a2b1c2,a2b2c1,a2b2c2,共8种因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种(1)选取的这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有a1b1c1，a2b2c2，共2种，因此，这3个点与原点o恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为p1。（2)选取的这3个点与原点o共

4、面的所有可能结果有a1a2b1，a1a2b2，a1a2c1，a1a2c2，b1b2a1，b1b2a2，b1b2c1，b1b2c2，c1c2a1，c1c2a2,c1c2b1，c1c2b2，共12种，因此，这3个点与原点o共面的概率为p2.借题发挥要正确理解p(a)中的基本事件，准确求出m、n的个数，求基本事件个数的常用方法有：列举法、列表法和树状图法对点训练1. (北京高考)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示甲组乙组9 90x 8 91 110（1)如果x8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果x9,分别从甲、乙两组中随机选

5、取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率(注：方差s2（x1)2（x2)2(xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数)解：(1）当x8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是:8,8，9,10，所以平均数为：；方差为：s22222。(2）记甲组四名同学为a1,a2,a3,a4，他们植树的棵数依次为9,9，11，11；乙组四名同学为b1，b2，b3，b4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个:(a1，b1)，（a1，b2),(a1，b3),（a1,b4)，（a2，b1），(a2，b2)，（a2，b3)，(a2,b4）,(a3，b1

6、），（a3,b2)，（a3,b3），（a3，b4),（a4，b1），(a4，b2）,(a4，b3），(a4，b4），用c表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则c中的结果有4个，它们是：（a1，b4）,（a2,b4），(a3，b2），（a4，b2)故所求概率为p（c）。典例2黄种人群中各种血型的人所占比例如下：血型ababo该血型的人占的比例(%）2829835已知同种血型的人可以输血，o型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是b型血，若小明因病需要输血,则：(1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少?（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解（

7、1）对任一人,其血型为a，b,ab,o型血的事件分别记为a，b,c，d，它们是互斥的，由已知，得：p(a)0。28，p(b)0。29，p（c）0.08，p（d)0.35。因为b、o型血可以输给b型血的人，故“可以输给b型血的人”为事件bd,根据互斥事件的加法公式，有p（bd)p(b)p（d)0。290.350.64。（2)由于a，ab型血不能输给b型血的人，故“不能输血给b型血的人”为事件ac,且p(ac)p（a)p(c)0.280。080.36。所以，任找一人，其血可以输给小明的概率为0。64，其血不能输给小明的概率为0。36.借题发挥准确理解互斥事件与对立事件的定义是正确应用公式的前提,如

8、果事件a与事件b互斥，则p(ab）p（a）p（b）,注意应用加法公式的前提条件是事件a与事件b互斥；若事件a与事件b是对立事件，则p(a）1p（b)对点训练2据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5，0。1。求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率解：法一：设事件a表示“一个月内被投诉的次数为0，事件b表示“一个月内被投诉的次数为1”,又a与b是互斥事件,p（ab）p(a）p(b)0.40。50.9。法二：设事件a为“一个月内被投诉不超过1次”，为“一个月内被投诉次数超过1次，a与为对立事件p（)0。1，又p（a)p(）1，p（a）1p（）0。

9、9.典例3在等腰rtabc中,在斜边ab上任取一点m，求am的长小于ac的长的概率解在ab上截取acac.于是p(amac)p(amac).所以am的长小于ac的长的概率为.借题发挥若试验同时具有：基本事件的无限性；每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型由于其结果的无限性，概率就不能应用p(a)求解,故需转化为几何度量（如长度、面积、体积等）的比值求解对点训练3一个路口的红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯亮；(2)黄灯亮；（3)不是红灯亮解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于

10、几何概型（1)p；(2)p;（3）p.（时间:90分钟满分：120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列事件：如果a,b是实数，那么baab；某地1月1日刮西北风；当x是实数时，x20；一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有()a1个b2个 c3个 d4个解析:选b 由题意可知是必然事件，是随机事件2下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是（）a频率就是概率b频率是客观存在的，与试验次数无关c随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率d概率是随机的，在试验前不能确定解析:选c 由频率与概率关系

11、知c正确3从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是(）a。 b. c。 d.解析:选d 所有子集共8个；其中含有2个元素的为a，b,a，c，b，c4从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0。3，质量小于4。85 g的概率为0.32，那么质量在4。8,4。85)(g）范围内的概率是(）a0。62 b0。38 c0.02 d0.68解析：选c 其中质量小于4.85 g包括质量小于4.8 g和质量在4。8，4。85）范围内两种情况，所以所求概率为0。320。30.02。5若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点p(m，n)在直线xy4上的概率

12、是(）a. b。 c. d.解析:选d 由题意知(m，n）的取值情况有(1,1）,（1，2)，(1，6）；（2,1)，(2,2）,，（2,6）;；（6,1），(6，2），（6,6)共36种情况而满足点p(m，n）在直线xy4上的取值情况有(1，3),（2，2)，(3,1），共3种情况，故所求概率为.6(北京高考）设不等式组表示的平面区域为d。在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（)a. b。 c。 d.解析:选d 画草图易知区域d是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为p.7从集合a1,1，2中随机选取一个数记

13、为k，从集合b2,1,2中随机选取一个数记为b，则直线ykxb不经过第三象限的概率为(）a. b. c. d.解析:选a 直线ykxb不经过第三象限，即k0，b0，总的基本事件个数是339；k0，b0包含的基本事件有（1，1)，(1，2），共2个，所以直线不经过第三象限的概率是p.8abcd为长方形，ab2，bc1,o为ab的中点,在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为(）a。 b1 c. d1解析：选b 长方形面积为2，以o为圆心，1为半径作圆,在矩形内部的部分（半圆)面积为，因此取到的点到o的距离小于1的概率为2,取到的点到o的距离大于1的概率为1。9下列概率模型：

14、从区间10，10内任取一个数,求取到1的概率;从区间10,10内任取一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;从区间10，10内任取一个整数,求取到大于1且小于5的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形abcd内投一点p，求点p离正方形的中心不超过1 cm的概率其中是几何概型的个数为（）a1 b2 c3 d4解析:选c 是,因为区间10,10内有无限多个数，对应数轴上无限多个点,且取到“1”这个数对应的点的概率为0；是，因为区间10,10和1,1内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同（等可能性）；不是，因为区间10，10内的整数只有21个，不满足无限性；是，因为

15、在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点（无限性），且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到（等可能性）10甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2，3,4,5,6,若ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(）a。 b. c。 d.解析：选d 首先要弄清楚“心有灵犀的实质是|ab|1，由于a，b1，2，3,4,5，6，则满足要求的事件可能的结果有：（1，1），(1，2）,(2，1)，（2,2），(2,3），（3,2）,（3,3），(3,4),（4,3)，（4

16、,4),（4,5），(5,4),(5，5），（5,6)，（6，5），（6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种因此他们“心有灵犀”的概率为p.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,满分20分把答案填写在题中的横线上)11如图，efgh是以o为圆心、半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，则p(a）_.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是，故正方形efgh的面积为（)22.又圆的面积为，则由几何概型的概率公式，得p(a).答案:12在区间0，4上任取一实数a，使方程x22xa0有实根的概率是_解析：当44a0即a1时方程有实根，

17、故所求的概率为p。答案：13(福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：因为0a1，由3a10得0then y-2x+5 else y=0 end ifend if输出y。如果输入x=2，则输出结果为（）a0 b1 c2 d9解析：选b 输入x2，则2105，解得n15(n14舍去)，故n16，k15。答案：1513 若执行如图所示的框图，输入x11,x22，x33,2，则输出的数等于_解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是s。答案：14(浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是_解析:

18、设此正方形为abcd，中心为o，则任取两个点的取法有ab,ac,ad，bc，bd，cd，ao,bo,co,do，共10种;取出的两点间的距离为的取法有oa,ob，oc，od，共4种，故所求概率为.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分）在2013辽宁全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩:甲:9。4,8。7,7。5,8.4,10。1，10.5，10.7，7。2,7。8，10.8；乙:9.1，8.7,7.1,9。8,9.7，8。5,10.1,9。2，10。1,9.1；（1）用茎叶图表示甲、乙两个人的成绩；并根据茎叶图分析甲、

19、乙两人成绩；（2)分别计算两个样本的平均数和标准差s,并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定解：(1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.由图知，甲的中位数是9。05，乙的中位数是9。15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大(2)甲(9。48。77。58。410.110.510。77。27。810.8)9.11，s甲1。3，乙（9。18.77。19。89.78。510.19.210。19.1）9。14,s乙0.9，由s甲s乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计乙运动员比较稳定16(12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋面积

20、x的数据：房屋面积x（m2)11511080135105销售价格y(万元)24.821.618.429。222（1）画出数据对应的散点图；(2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）根据(2）的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格解：（1)数据对应的散点图如下图所示:(2）109，(xi）21 570，23.2，(xi）（yi）308。设所求回归直线方程为ybxa，则b0。196 2，ab23.21090。1 9621.814 2。故回归直线方程为y0。196 2x1.814 2，回归直线在（1）中的散点图中(3）据(2）知当x150 m2时,销售价格估计为：y0。196 2

21、1501.814 231。244 231。2（万元）17(12分)下表为某班英语及数学的成绩分布,全班共有学生50人，成绩分为15五个档次，例如表中所示英语成绩为4分,数学成绩为2分的学生共5人，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩。yx数学54321英语51310141075132109321b60a100113(1）x4的概率是多少?x4且y3的概率是多少？x3的概率是多少？（2)x2的概率是多少?ab的值是多少？解：(1)p（x4)；p(x4,y3）；p(x3）p（x3)p（x4)p(x5)；(2）p（x2)1p(x1)p（x3）1，又p(x2），所以ab3.18(14分）一汽车厂生产a，b,c三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车a轿车b轿车c舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有a类轿车10辆（1)求z的值；(2）用分层抽样的方法在c类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3）