2017-2018学年高中数学 第章 概率 . 互斥事件教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精3。4 互斥事件2016年春节前夕，南京市某超市进行有奖促销活动，有一等奖与二等奖奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率是0.25，假设每位顾客只有一次机会问题1:假设顾客甲获奖,说明什么?提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖能否同时发生？提示:不能同时发生问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗?提示：必有一个发生1互斥事件（1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件（2）如果事件a1，a2，an中的任何两个都是互斥事件,就说事件a1，a2，an彼此互斥（3)规定：设a，b为互斥事件，若事件

2、a、b至少有一个发生,我们把这个事件记作ab。2互斥事件的概率加法公式（1)如果事件a，b互斥，那么事件ab发生的概率等于事件a，b分别发生的概率的和,即p(ab)p（a）p（b)(2）如果事件a1，a2，an两两互斥,则p(a1a2an）p(a1）p(a2）p（an)3对立事件(1）定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件a的对立事件记为a（2)性质：p(a）p（a）1,p（a)1p(a）1从集合的角度理解互斥事件与对立事件设两个事件分别为a和b，则(1）事件a和b互斥可用图（1)表示（2）事件a和b对立可用图（2)表示2运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是

3、否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和例1判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件并说明道理某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3)至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生思路点拨根据互斥事件、对立事件的定义判断精解详析（1）是互斥事件. 不是对立事件道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生,它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件(2）不可能是互斥事件从而也不是对立事件

4、道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果“至少有1名女生包括“1名女生、1名男生和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生(3）不可能是互斥事件也不是对立事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生（4）是互斥事件也是对立事件道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件，所以是对立事件一点通对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件,在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必

5、然事件,这是判断两个事件对立的基本方法1下列说法:将一枚硬币抛两次，设事件a：“两次正面朝上”，事件b：“只有一次反面朝上”，则事件a与b是对立事件若事件a与b为对立事件,则事件a与b为互斥事件若事件a与b为互斥事件，则事件a与b为对立事件若事件a与b为对立事件，则事件ab为必然事件其中，正确的个数是_解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有正确答案：22一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件a：命中环数大于7环事件b：命中环数为10环事件c：命中环数小于6环事件d：命中环数为6，7，8，9，10环解:事件a与c互斥（不可能同时发生),b与c互斥,c与d互斥又

6、因为事件c与事件d至少有一个发生,所以c与d也是对立事件例2(12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a、b、c，求：(1)事件a、b、c的概率；（2)1张奖券的中奖概率；（3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率思路点拨明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解精解详析p(a），p(b),p（c)。(3分）故事件a，b,c的概率分别为，,。(4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为m，则mabc。(5分）a、b、

7、c两两互斥，p(m)p（abc)p(a)p(b)p(c)（6分）.故1张奖券的中奖概率为.（7分)（3）法一:设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n,则事件n与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(9分)p(n）1p（ab）1（）.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为。（12分)法二:不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖p.(12分)一点通针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件,再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和最后用概率加法公式求得3现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本，取出的是理科书的概率为_解析:记取到语文

8、、数学、英语、物理、化学书分别为事件a、b、c、d、e，则a、b、c、d、e互斥，取到理科书的概率为事件b、d、e概率的和p(bde)p(b）p（d）p(e）。答案：4在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)8，10)10,12）12,14)14,16）16,18）概率0。10.280.380。160.08计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率:（1)10，16）(m）；(2）8，12）(m)；(3)水位不低于14 m。解：设水位在a，b)范围内的概率为p（a，b）由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)p

9、（10，16)）p（10,12）p(12，14）)p(14，16）)0。280.380.160.82。（2）p（8，12)）p（8，10)p(10,12）0。10。280。38。（3）p(14，18）p(14，16)）p(16，18）)0。160。080.24。例3一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少?思路点拨用对立事件的性质去求解精讲详析从9张票中任取2张,有（1，2），(1，3）,，（1，9）；(2，3），(2,4)，(2，9)；（3,4）,(3，5），(3，9);(7,8),(7,9)；（8,9)，共计36种取法记“号数至少有一个为

10、奇数”为事件b，“号数全是偶数”为事件c，则事件c为从号数为2,4，6,8的四张票中任取2张有（2，4）（2，6）（2,8）（4，6)(4，8）(6，8）共6种取法p（c),由对立事件的性质得p(b）1p（c)1。一点通1求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率2涉及到“至多”“至少”型的问题,可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解5甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0。8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_解析:由对立事件的性质

11、知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的对立事件为两颗卫星预报都不准确，故所求概率为1（10。8）(10.75)0.95.答案：0.956.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员,一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示随机选出一个成员,求：(1）他至少参加2个小组的概率；（2)他参加不超过2个小组的概率解：(1）由题图知3个课外兴趣小组的总人数为60。用a表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则a表示“选取的成员至少参加2个小组”于是p(a）1p（a)1。(2)用事件b表示“选取的成员参加不超过2个小组”,用b表示“选取的成员参加3个小组，所以p（

12、b）1p(b)1。1利用互斥事件的概率加法公式可以求一些复杂事件的概率,但一定要注意公式使用前提,一是两两互斥，二是有一个发生2利用互斥事件与对立事件的概率公式有助于解决较复杂的古典概型问题，可以把一个复杂事件分成几个简单的互斥事件或者考虑一个事件的对立事件往往能达到化繁为简的目的课下能力提升(十八)一、填空题1从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是_至少有一个红球；至少有一个白球恰有一个红球；都是白球至少有一个红球；都是白球至多有一个红球;都是红球解析:对于，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球,一个红球，故

13、两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于，“恰有一个红球”，则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件;对于，“至多有一个红球为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件答案：2口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个，从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0。23，则摸出黑球的概率是_解析：摸出红球的概率p10.45,摸出黑球的概率为10。450。230。32。答案：0.323.如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成，射手命中、的概

14、率分别为0。15、0。20、0。45，则不中靶的概率是_解析：设射手“命中圆面”为事件a，“命中圆环”为事件b，“命中圆环”为事件c，“不中靶”为事件d，则a,b，c,d彼此互斥，故射手中靶概率为p（abc)p（a)p（b)p(c）0150。200。450。80。因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率p（d)1p(abc)10.800。20。答案：0。204袋中有2个白球和3个黑球,从中任取两个球,则取得的两球中至少有1个白球的概率是_解析：从5个球中任取两个球含10个基本事件，取得的两球中没有白球的含3个基本事件，且此事件与事件a:“取得的两球中至少有一个白球”对立，则p（a）1p（）

15、1.答案：5事件a，b互斥，它们都不发生的概率为，且p（a)2p（b)，则p(）_解析:因为事件a，b互斥,它们都不发生的概率为,所以p(a）p（b)1。又因为p(a）2p(b)，所以p(a）p(a),所以p(a)，所以p（）1p(a)1.答案：二、解答题6判断下列给出的每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从110各10张)中,任取一张（1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃和

16、“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件（2)既是互斥事件，又是对立事件从40张扑克牌中，任意抽取1张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌，两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件从40张扑克牌中任意抽取1张“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10,因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件7某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1）该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率解：（1）设“该队员中属于一支球队为事件a，则事件a的概率为p（a).(2）设“该队员最多属于两支球队”为事件b，则事件b的概率为p（b)1。8甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则算甲赢，否则算乙赢(1)若以a表示“和为6”的事件,求p(a）；（2)现连玩三次,以b表示“甲至少赢一次”的事件，c表示“乙至少赢两次”的事件,则b与c是否为互斥事件？试说明理由;（3)这种游戏规则公平吗？试说明理由解:（1）令x、y分别表示甲、乙出的手指数，则基本事件可表示为坐标中的数表