2017-2018学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 第2节 用数学归纳法证明不等式举例创新应用教学案 -5

1、学必求其心得，业必贵于专精第2节 用数学归纳法证明不等式举例核心必知贝努利(bernoulli）不等式如果x是实数，且x1，x0,n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx问题思考在贝努利不等式中,指数n可以取任意实数吗？提示：可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化事实上:当把正整数n改成实数后，将有以下几种情况出现：（1)当是实数，并且满足1或者0时，有（1x）1x(x1）（2）当是实数，并且满足011）已知sn1（n1，nn),求证：s2n1（n2，nn）精讲详析本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围,因为n1,nn,因此应验证n02时不等式成立（1)当n2时，s2211，

2、即n2时命题成立（2）假设nk（k2,kn）时命题成立，即s2k11。则当nk1时，s2k111111.故当nk1时，命题也成立由（1)、(2)知，对nn，n2,s2n1都成立利用数学归纳法证明不等式的关键是由nk到nk1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩等手段，例如在本题中采用了“”的变形1证明不等式：12（nn）证明：(1）当n1时，左边1，右边2，不等式成立（2)假设当nk(k1）时，命题成立，即12.当nk1时，左边12，现在只需证明2，即证:22k1，两边平方，整理：01，显然成立2成立即12成立当nk1时，不等式成立由(1)（2)知，对于任何正整数n原不等式都成立。设pn（

3、1x）n，qn1nxx2,nn，x(1,）,试比较pn与qn的大小，并加以证明精讲详析本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值,猜想pn与qn的大小关系,然后利用数学归纳法证明(1）当n1，2时,pnqn.(2)当n3时，（以下再对x进行分类）若x（0，），显然有pnqn.若x0，则pnqn。若x（1，0)，则p3q3x30，所以p3q3。p4q44x3x4x3(4x）0，所以p4q4。假设pkqk(k3)，则pk1（1x)pk(1x)qkqkxqk1kxxkx21（k1)xx2x3qk1x3qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1，0）时，pnqn。(1)利用数学归纳法

4、比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立(2)本题除对n的不同取值会有pn与qn之间的大小变化，变量x也影响pn与qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n，而忽视其他变量（参数)的作用2已知数列an，bn与函数f（x)，g(x），xr，满足条件：b1b，anf(bn）g(bn1）(nn)若函数yf（x)为r上的增函数，g（x)f1（x),b1,f（1）1，证明:对任意nn，an1an。证明：因为g（x）f1（x），所以ang（bn1）f1(bn1），即bn1f(an)下面用数学归纳法证明an1an（nn)(1）当n1

5、时,由f(x）为增函数,且f(1）1,得a1f(b1)f(1)1,b2f(a1)f(1）1，a2f（b2)f（1）a1,即a2a1，结论成立（2）假设nk时结论成立,即ak1ak。由f(x）为增函数,得f(ak1）f(ak)即bk2bk1，进而得f(bk2)f（bk1)即ak2ak1.这就是说当nk1时,结论也成立根据（1)和(2)可知，对任意的nn,an1，即，a。(1)n1时，已证（2)假设当nk(k1，kn)时,则当nk1时，有。，0，也成立由(1)、(2）可知，对一切nn,都有，a的最大值为25.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断,猜想出结论, 然后用数学归纳法证

6、明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的,特别是在求解存在型或探索型问题时3对于一切正整数n，先猜出使tnn2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明,并再证明不等式:n（n1）lg（123n)解：猜想当t3时,对一切正整数n使3nn2成立下面用数学归纳法进行证明当n1时，313112，命题成立假设nk(k1，kn)时,3kk2成立,则有3kk21.对nk1，3k133k3k23kk22（k21）3k21.(3k21)(k1)22k22k2k（k1)0，3k1（k1）2，对nk1，命题成立由上知，当t3时,对一切nn，命题都成立再用数学归纳法证明：n（n1)lg（123n）当n1时,1（1

7、1）0lg 1，命题成立假设nk(k1，kn）时，k(k1）lg(123k)成立当nk1时，（k1)（k2）k（k1)2（k1）lg(123k)lg 3k1lg（123k)lg(k1)2lg123k（k1)命题成立由上可知，对一切正整数n，命题成立本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用全国卷将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考命题的一个新亮点考题印证（大纲全国卷)函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4,5）、qn（xn，f（xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1）证明:2xnxn13;（2）求数列xn的通项公式命题立意本题考查

8、数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力解（1）用数学归纳法证明：2xnxn13。当n1时,x12,直线pq1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2,所以2x1x23。假设当nk时,结论成立，即2xkxk13。直线pqk1的方程为y5（x4)，令y0，解得xk2。由归纳假设知xk2443；xk2xk10,即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由、知对任意的正整数n，2xnxn13.(2）由(1）及题意得xn1.设bnxn3，则1，5,数列是首项为,公比为5的等比数列因此5n1，即bn，所以数列xn的通项公式为xn3.一、选择题1用数学归纳法证明不等式12(n2,n

9、n)时，第一步应验证不等式(）a12b12c1(n2，nn）时的过程中,由nk到nk1时，不等式的左边（)a增加了一项b增加了两项,c增加了两项，又减少了一项d增加了一项，又减少了一项解析：选c当nk时，左边.当nk1时，左边。故由nk到nk1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项二、填空题5证明1n1(n1），当n2时，要证明的式子为_解析：当n2时，要证明的式子为213。答案：2136用数学归纳法证明：当nn，12222325n1是31的倍数时,当n1时原式为_，从k到k1时需增添的项是_解析:当n1时，原式为12222325112222324。从k到k1时需增添的项是25k25k125

10、k225k325k4.答案：1222232425k25k125k225k325k47利用数学归纳法证明“”时,n的最小取值n0应为_解析：n01时不成立，n02时,0，0a0.答案:三、解答题9用数学归纳法证明：12（n2，nn)证明：(1)当n2时，12，命题成立(2)假设当nk时命题成立,即12，当nk1时，1右边,所以原不等式成立；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边假设nk时（k3且kn)时，不等式成立，即2k2k2。那么nk1时2k1222k22(2k2）22k22。又因为2k22(k1)2k22k3(k3)(k1）0，即2k12(k1)2成立根据和可知，2n2n2对于任何nn都成立11已知等比数列an的首项a12，公比q3，sn是它的前n项和求证：.证明:由已知，得sn3n1,等价于，即3n2n1.（*）法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1时，左边3，右边3,所以（)成立假设当nk时，(*）成立，即3k2k1,那么当nk1时,3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以当nk1时