2018年高考数学 空间向量及其运算教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题43 空间向量及其运算1。了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模）为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合ab共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b（

2、b0）,ab的充要条件是存在实数，使得ab(2)共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y），使pxayb（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z,使得pxaybzc,把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角，记作a,b，其范围是0a，b,若a,b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则ab|cosa，b叫做向量a,b的数量

3、积，记作ab,即ab|ab|cos（a0,b0）cos高频考点一空间向量的线性运算例1、(1）已知在空间四边形oabc中，a,b，c，点m在oa上，且om2ma，n为bc中点，则等于（）a.abcbabcc.abcd。abc(2）如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，o为ac的中点化简；用,表示，则。答案(1)b(2）解析（1）显然（)abc。【感悟提升】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行

4、四边形法则仍然成立【变式探究】三棱锥oabc中，m,n分别是oa，bc的中点，g是abc的重心，用基向量，,表示，.解()（).。高频考点二共线定理、共面定理的应用例2、已知e、f、g、h分别是空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da的中点，(1）求证：e、f、g、h四点共面；（2）求证：bd平面efgh;(3）设m是eg和fh的交点，求证：对空间任一点o，有（)证明（1)如图,连接bg，则(）,由共面向量定理的推论知:e、f、g、h四点共面（2)因为（）,所以ehbd。又eh平面efgh,bd平面efgh，所以bd平面efgh.（3）找一点o，并连接om，oa，ob,oc，od,oe，o

5、g，如图所示由(2)知，同理，所以，即eh綊fg，所以四边形efgh是平行四边形所以eg,fh交于一点m且被m平分故()(）【感悟提升】(1）证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明a，b，c三点共线，即证明，共线，亦即证明（0)(2）证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明p，a，b，c四点共面，只要能证明xy或对空间任一点o,有xy或xyz(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【变式探究】如图，正方体abcda1b1c1d1中，e是a1b上的点,f是ac上的点，且a1e2eb，cf2af，则ef与平面a1b

6、1cd的位置关系为高频考点三空间向量数量积的应用例3、如图所示，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分别是ab、cd的中点（1)求证：mnab，mncd；（2)求mn的长;(3)求异面直线an与cm所成角的余弦值(1）证明设p,q，r.由题意可知，|p|qr|a,且p、q、r三向量两两夹角均为60。()(qrp)，(qrp）p（qprpp2)（a2cos60a2cos60a2）0。.即mnab.同理可证mncd.（2)解由（1）可知(qrp）,2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp）a2a2a22（)2a2.|a.mn的长为a。(3）解设向量与的夹角为。（)(qr），

7、qp，（qr）(qp）(q2qprqrp）(a2a2cos60a2cos60a2cos60)(a2）.又|a，|cosaacos.cos.向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线an与cm所成角的余弦值为。【方法技巧】数量积的应用(1）求夹角，设向量a，b所成的角为,则cos，进而可求两异面直线所成的角；（2）求长度(距离),运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；（3)解决垂直问题，利用abab0(a0，b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。【变式探究】如图所示，四棱柱abcda1b1c1d1中,底面为平行四边形，以顶点a为端点的三条棱长都为1,且两两夹

8、角为60.（1）求ac1的长；(2)求证:ac1bd；(3）求bd1与ac夹角的余弦值解（1)记a，b，c，则a|b|c1，a,bb，cc,a60，abbcca。2（abc）2a2b2c22(abbcca)1112（）6,|,即ac1的长为.(2）abc，ba,（abc)(ba)abb|2bc|a|2abacbcac|bc|cos60|a|c|cos600。，ac1bd.1.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，,点分别在上，交于点将沿折到位置,（)证明:平面；(）求二面角的正弦值【答案】()详见解析；（）。【解析】（)由已知得,，又由得，故。因此，从而.由,得。由得。所以，

9、.于是,故。又，而，所以。（）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，,，,，.设是平面的法向量，则,即，所以可取。设是平面的法向量，则,即,所以可取。于是， .因此二面角的正弦值是。2。【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，ac是下底面圆o的直径，ef是上底面圆o的直径，fb是圆台的一条母线.(i）已知g，h分别为ec,fb的中点,求证：gh平面abc；（ii）已知ef=fb=ac=，ab=bc.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】（ii）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以

10、可得故.设是平面的一个法向量。 由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为。从而为二面角的平面角.又，是圆的直径，所以从而,可得所以二面角的余弦值为.3。【2016高考天津理数】（本小题满分13分)如图，正方形abcd的中心为o，四边形obef为矩形，平面obef平面abcd，点g为ab的中点，ab=be=2。（i）求证：eg平面adf;（ii)求二面角o-ef-c的正弦值；（iii）设h为线段af上的点,且ah=hf，求直线bh和平面cef所成角的正弦值.【答案】（）详见解析(）（）【解析】依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴,轴、轴的正方向建立空间直角坐标系

11、，依题意可得,.（i）证明:依题意，。设为平面的法向量，则，即 。不妨设，可得，又,可得,又因为直线，所以。（iii）解：由,得.因为，所以,进而有,从而，因此.所以,直线和平面所成角的正弦值为。4。【2016年高考北京理数】(本小题14分）如图,在四棱锥中，平面平面，,，,，。（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3)在棱上是否存在点,使得平面？若存在，求的值;若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】(1）因为平面平面，所以平面,所以,又因为，所以平面；(2）取的中点，连结,，因为，所以。又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以。因为，所以

12、。如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以。又，所以。所以直线与平面所成角的正弦值为。(3)设是棱上一点，则存在使得。因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即,解得.所以在棱上存在点使得平面，此时。5。【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，在三棱台中，平面平面,be=ef=fc=1，bc=2,ac=3。（i）求证:ef平面acfd；(ii）求二面角b-adf的平面角的余弦值.【答案】（i）证明见解析；（ii）【解析】()延长，,相交于一点，如图所示因为平面平面，且，所以平面,因此又因为，所以为等边三角形,且为的中点，则所以平面（)方法一：过点作于q，连结因

13、为平面，所以，则平面，所以所以是二面角的平面角在中，得在中，,得所以二面角的平面角的余弦值为方法二：如图，延长，相交于一点，则为等边三角形取的中点,则，又平面平面，所以,平面以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系由题意得，,，,，因此，设平面的法向量为，平面的法向量为由，得,取；由，得,取于是，所以，二面角的平面角的余弦值为6.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图,在四棱锥p-abcd中,adbc，adc=pab=90，bc=cd=ad，e为边ad的中点，异面直线pa与cd所成的角为90. （)在平面pab内找一点m，使得直线cm平面pbe,并说明理由；(

14、）若二面角p-cd-a的大小为45，求直线pa与平面pce所成角的正弦值.【答案】(）详见解析；(）.【解析】（）在梯形abcd中，ab与cd不平行.延长ab,dc，相交于点m(m平面pab），点m即为所求的一个点.理由如下:由已知，bced，且bc=ed.所以四边形bcde是平行四边形。，所以cdeb从而cmeb.又eb平面pbe，cm平面pbe,所以cm平面pbe。（说明：延长ap至点n，使得ap=pn，则所找的点可以是直线mn上任意一点）（)方法一：由已知，cdpa，cdad，paad=a，所以cd平面pad.从而cdpd.所以pda是二面角pcd-a的平面角。所以pda=45。设bc=

15、1，则在rtpad中，pa=ad=2.过点a作ahce，交ce的延长线于点h，连接ph.易知pa平面abcd，从而pace.于是ce平面pah。所以平面pce平面pah.过a作aqph于q，则aq平面pce.所以aph是pa与平面pce所成的角。在rtaeh中，aeh=45，ae=1，所以ah=.在rtpah中，ph= ，所以sinaph= =.方法二:作ayad，以a为原点，以 ，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0，0，0)，p（0，0，2)，c（2，1，0),e（1，0，0)，所以=（1,0，2），=(1,1，0），=（0，0,2）设平面pce的

16、法向量为n=(x，y,z),由 得 设x=2，解得n=（2，-2,1)。设直线pa与平面pce所成角为，则sin= = .所以直线pa与平面pce所成角的正弦值为 .【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，,且底面，点,分别在棱，bc上。（1）若p是的中点，证明：；（2)若平面,二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；(2）。【解析】解法一 由题设知，两两垂直，以为坐标原点,，,所在直线分别为轴，轴,轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为， ， ，其中,，（1)若是的中点，则,，于是,，即；（2）由题设知,，是平面内的

17、两个不共线向量.设是平面的一个法向量,则，即,取，得，又平面的一个法向量是，而二面角的余弦值为，因此,解得,或者(舍去），此时,设，而，由此得点,，平面，且平面的一个法向量是，即,亦即,从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.（2)如图d,过点作交于点，则平面，平面,平面，过点作于点,连结,则，为二面角的平面角,，即,从而连结，由平面，又是正方形，所以为矩形，故，设，则 ，过点作交于点，则为矩形，,因此，于是，,再由得，解得，因此，故四面体的体积.【2015高考上海，理19】（本题满分12分)如图,在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大

18、小.【答案】 【解析】解:如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、因为，所以，因此直线与共面，即、共面设平面的法向量为，则，又，故，解得取,得平面的一个法向量又，故因此直线与平面所成的角的大小为1（2014广东卷）已知向量a(1,0，1）,则下列向量中与a成60夹角的是(）a（1,1,0） b（1,1，0） c（0，1，1） d（1，0，1）【答案】b【解析】本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示设所求向量是b，若b与a成60夹角，则根据数量积公式,只要满足即可，所以b选项满足题意2（2014重庆卷如图1。3所示,四棱锥p。abcd中，底面是以o为中心的菱形，po底面abcd，

19、ab2,bad，m为bc上一点，且bm，mpap。（1)求po的长；（2)求二面角a.pmc的正弦值图13【解析】解：(1）如图所示，连接ac，bd，因为四边形abcd为菱形,所以ac bdo，且acbd.以o为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系o .xyz.因为bad，所以oaabcos，obabsin1，所以o(0，0，0）,a（,0，0)，b(0，1，0),c（，0，0）,（0，1，0)，（，1,0）由bm,bc2知，从而，即m.设p(0，0，a），a0，则(,0,a）,。因为mpap，所以0，即a20，所以a或a（舍去），即po。由n20，n20，得故可取

20、n2(1，2）从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos.5已知a，b是异面直线，a，ba，c，db，acb，bdb且ab2，cd1，则异面直线a，b所成的角等于()a30b45c60d90答案c解析如图，设a，b，c，则abc，所以cos,，所以异面直线a，b所成的角等于60，故选c.6在空间四边形abcd中，则的值为答案0解析方法一如图,令a，b，c，则()（)（)a（cb)b（ac)c（ba）acabbabccbca0.方法二如图，在三棱锥abcd中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直0，0，0.0.7a，b,c，d是空间不共面四点，且0,0，0，则bcd的形状是三角形（填锐角、直角、钝角中的一个）答案锐角解析因为()（）220，所以cbd为锐角同理bcd，bdc均为锐角8设oabc是四面体，g1是abc的重心，g是og1上的一点,且og3gg1，若xyz，则(x，y，z）为答案（，）解析如图所示，取bc的中点e，连接ae.()（）()(）,xyz