2018年高考数学07 二次函数与幂函数教学案 文

1、学必求其心得，业必贵于专精07 二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念；结合函数yx,yx2,yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 1幂函数（1）幂函数的定义一般地,形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数（2）常见的5种幂函数的图象(3）常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域rrr0，)xxr，且x0值域r0，）r0, )yyr，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2。二次函数(1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f（x)ax2bxc（a0）顶点式：f(x）a（xm）2n(a0）

2、，顶点坐标为（m，n）零点式：f(x）a(xx1)（xx2）（a0)，x1，x2为f（x）的零点（2）二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f（x)ax2bxc(a0)图象定义域（，）(，)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x对称高频考点一 幂函数的图象和性质例1、（1）已知幂函数f（x）kx的图象过点,则k等于（）a. b1 c。 d2（2)若(2m1)（m2m1)，则实数m的取值范围是（)a。 b.c（1，2） d。【解析】(1)由幂函数的定义知k1。又f，所以，解得，从而k。(2）因为函数yx的定义域为0，)，【答案】(1）

3、c（2)d【方法规律】（1）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;（2）的正负:当0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；当0时,图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降(3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键【变式探究】 (1)幂函数yf（x)的图象过点(4，2),则幂函数yf(x)的图象是()（2）已知幂函数f(x)（n22n2)xn 23n(nz）的图象关于y轴对称，且在(0,）上是减函数，则n的值为（)a3 b1c2 d1或2【解析】(1）设f（x）x(r)，则42，因此f

4、（x)x,根据图象的特征，c正确（2）幂函数f（x)（n22n2）xn 23n在（0，）上是减函数,n1,又n1时，f（x）x2的图象关于y轴对称，故n1.【答案】(1）c（2)b高频考点二二次函数的图象与性质例2、已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时,求f(x)的最值；（2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；（3)当a1时，求f(x|）的单调区间其图象如图所示，又x4，6，f（|x|）在区间4,1）和0，1）上为减函数，在区间1，0）和1,6上为增函数【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，

5、常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图），再“定量”(看图求解)，事半功倍【变式探究】 (1）设abc0，二次函数f(x）ax2bxc的图象可能是（）（2）若函数f（x)(xa）（bx2a）(常数a，br）是偶函数,且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x）_【解析】(1)由a,c，d知,f（0)c0，从而由abc0,所以ab0时，f（x）ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f（x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增f（x)minf().当

6、1，即0a1时,f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f（x）在0,1上递减f(x）minf(1)a2。9分【方法与技巧】1二次函数的三种形式（1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2）已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小）值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f（x）更方便2研究二次函数的性质要注意：(1）结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论3利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较【失误与防范】1对于函数yax2bx

7、c，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点1。【2016高考新课标3理数】已知,，则（ )（a） （b） （c) （d）【答案】a【解析】因为，所以，故选a1（2014全国卷）若函数f(x)cos 2xasin x在区间是减函数，则a的取值范围是_【答案】(,22（2014浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)xa（x0）,g(x）logax的图像可能

8、是(） ab cd【答案】d【解析】只有选项d符合，此时0a1ln 42f（1），则（）aa0，4ab0ba0，4ab0ca0,2ab0daf（1），所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0.【答案】a3在同一坐标系内，函数yxa（a0）和yax的图象可能是（)【解析】若a0，yxa的图象知排除a，b选项,但yax的图象均不适合，综上选b.【答案】b4函数f(x)x22axa在区间(，1）上有最小值,则函数g(x)在区间（1，）上一定（)a有最小值 b有最大值c是减函数 d是增函数【答案】d5若关于x的不等式x24x2a0在区间（1,4)内有解，则实数a的取值范围是

9、（)a(,2） b(2，)c(6，) d(，6）【解析】不等式x24x2a0在区间（1，4）内有解等价于a(x24x2）max，令f（x)x24x2，x（1，4），所以f(x)f(4）2，所以a0,则f（a）f(b）的值()a恒大于0 b恒小于0c等于0 d无法判断【解析】依题意，幂函数f(x)在（0，)上是增函数，解得m2，则f(x)x2 015。函数f（x)x2 015在r上是奇函数，且为增函数由ab0，得ab，f（a）f(b)，则f（a)f(b）0。【答案】a7已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【解析】作出函数yf（x）的图象如图则当0k,得

10、，即prq。【答案】prq9若f(x）x22ax与g（x)在区间1，2上都是减函数,则a的取值范围是_【答案】(0，110已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，f（x）（x1)2，若当x时,nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_【解析】当x0时，x0，f（x）f(x)（x1)2，x，f（x)minf(1)0,f(x）maxf(2)1，m1，n0，mn1.mn的最小值是1。【答案】111已知幂函数f(x)x(m2m)1(mn)的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2a）f（a1)的实数a的取值范围解幂函数f（x)的图象经过点(2，），12已知函数f(x）x2（2a1）x3。(1)当a2，x2,3时,求函数f(x）的值域;(2)若函数f(x）在1，3上的最大值为1，求实数a的值解(1）当a2时，f（x）x23x3,x2，3，对称轴x2，3,f(x）minf3,f(x）maxf（3)15,值域为。（2）对称轴为x.当1，即a时，f(x）maxf（3）6a3，6a31，即a满足题意；当1，即a时，f（x)maxf（1）2a1，2a11，即a1满足题意综上可知，a或1。13已知函数f(x)ax2bxc(a0,br,cr)(1）若函数f（x）的最小值是f（1）0,且c1,