2018年高考数学6 两条直线的位置关系教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题46 两条直线的位置关系1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3。掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l1：a1xb1yc10和l2：a2

2、xb2yc20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3距离公式(1）两点间的距离公式平面上任意两点p1（x1，y1），p2(x2,y2）间的距离公式为|p1p2|特别地，原点o(0，0)与任一点p（x，y)的距离|op（2)点到直线的距离公式平面上任意一点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d(3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：axbyc10，l2：axbyc20间的距离d高频考点一两条直线的平行与垂直例1、(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10,l2：xay30平行,则a等于（）a1

3、b2c0或2 d1或2(2）已知两直线方程分别为l1：xy1,l2：ax2y0,若l1l2，则a_.答案（1)d（2)2【感悟提升】（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件（2）在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【变式探究】已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：（1）l1l2；（2)l1l2。解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0，显然l1不平行于l2。当sin 0时,k1，k22sin 。要使

4、l1l2，需2sin ,即sin 。所以k，kz，此时两直线的斜率相等故当k,kz时，l1l2。方法二由a1b2a2b10，得2sin210，所以sin .所以k，kz.又b1c2b2c10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kz时，l1l2。(2)因为a1a2b1b20是l1l2的充要条件,所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kz.故当k,kz时，l1l2。【举一反三】(1）若直线l1：（a1)xy10和直线l2:3xay20垂直，则实数a的值为（)a. b。 c. d。(2）已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3）y50平行，则2a3b的最小值为_。解析(1

5、)由已知得3(a1)a0，解得a。（2)由两直线平行可得,a(b3）2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b）1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案(1）d(2）25高频考点二两条直线的交点与距离问题例2、(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_(2）直线l过点p（1，2）且到点a(2,3）和点b（4,5）的距离相等，则直线l的方程为_答案(1) （2）x3y50或x1解析（1)方法一由方程组解得（若2k10，即k,则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x

6、轴、y轴分别交于点a（4,0）,b(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k（x2),表示这是一条过定点p（2，1），斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段ab上(不包括端点），动直线的斜率k需满足kpakkpb.kpa，kpb。k.方法二当abl时，有kkab，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50。当l过ab中点时，ab的中点为（1，4）直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1。【感悟提升】(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程（2）利用距离公式应注意：点p(x0，

7、y0）到直线xa的距离dx0a|，到直线yb的距离d|y0b|;两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等【变式探究】(1)如图,设一直线过点（1,1），它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3:xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20。设所求直线方程为（x2y2）（xy1)0，即(1)x（2)y20。又直线过（1，1)，(1)（1)（2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.(2)正方形的中心为点c（1，0），一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解点c到直线x3y50的距离d.设与x3y5

8、0平行的一边所在直线的方程是x3ym0（m5),则点c到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去）或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70。设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0,则点c到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.【举一反三】 （1）曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l,则点p（3，2）到直线l的距离为()a。 b. c。 d.（2）若直线l1：xay60与l2：（a2）x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为（）a. b。 c. d。解析(1)曲线y2xx3上横坐标为1的点的纵

9、坐标为1，故切点坐标为(1，1）.切线斜率为kyx123(1）21，故切线l的方程为y（1)1x(1），整理得xy20.由点到直线的距离公式，得点p（3，2)到直线l的距离为.(2)因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d,故选b。答案(1)a(2)b高频考点三对称问题例3、已知直线l：2x3y10，点a（1,2)。求：(1）点a关于直线l的对称点a的坐标；（2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点a(1,2）对称的直线l的方程。解(1）设a（x，y），再由已知解得a.（2）在直线m上取一点，如m(2,0），

10、则m（2，0）关于直线l的对称点必在m上.设对称点为m（a，b)，则解得m。设m与l的交点为n，则由得n（4，3)。又m经过点n（4，3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.【方法规律】(1）解决点关于直线对称问题要把握两点，点m与点n关于直线l对称，则线段mn的中点在直线l上,直线l与直线mn垂直。（2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题。（3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质:若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;若点b在直线l1上,则其关于直线l的对称点b在直线l2上.【变式探究】 光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后

11、反射，求反射光线所在的直线方程.解法一由得反射点m的坐标为(1,2）。又取直线x2y50上一点p（5，0），设p关于直线l的对称点p（x0，y0)，由ppl可知,kpp。而pp的中点q的坐标为，又q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二设直线x2y50上任意一点p（x0,y0）关于直线l的对称点为p（x，y），则，又pp的中点q在l上，3270，由可得p点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.高频考点四直线关于直线的对称问题例4、已知直线l：2x3y1

12、0，求直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如m(2,0)，则m（2,0)关于直线l的对称点m必在直线m上设对称点m（a,b)，则解得m。设直线m与直线l的交点为n，则由得n(4，3)又m经过点n（4，3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020。【感悟提升】解决对称问题的方法(1)中心对称点p（x，y)关于q（a，b)的对称点p（x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2）轴对称点a（a，b)关于直线axbyc0（b0)的对称点a（m,n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决【变式探究】在等腰直角三角形abc中,a

13、bac4，点p是边ab上异于a,b的一点，光线从点p出发，经bc，ca发射后又回到原点p（如图)若光线qr经过abc的重心，则ap等于(）a2 b1c。d。答案d解析建立如图所示的坐标系：可得b（4，0），c（0，4)，故直线bc的方程为xy4，abc的重心为，设p(a，0)，其中0a。故选b.方法二：（直接法) y ,yaxb与x 轴交于,结合图形与a0 ,（ab）2a（a1）0a.a0，0b,当a0时，极限位置易得b1，故答案为b。4（2013重庆卷)已知圆c1：(x2）2(y3）21，圆c2：(x3)2(y4)29，m,n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn的最小

14、值为()a5 4 b. 1c62 d。【答案】a【解析】如图，作圆c1关于x轴的对称圆c1：（x2）2(y3）21，则pm|pn|pn|pm。由图可知当c2，n，p,m，c1在同一直线上时，|pm|pn|pnpm|取得最小值，即为|c1c2|135 4，故选a.图131.直线2xym0和x2yn0的位置关系是（)a.平行 b。垂直c.相交但不垂直 d。不能确定解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率为k2，则k1k2，且k1k21。故选c.答案c2。 “a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行的（)a。充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d。既不充分也不必要

15、条件解析依题意得，直线ax3y30和直线x(a2）y10平行的充要条件是解得a1，因此选c。答案c3.过两直线l1：x3y40和l2:2xy50的交点和原点的直线方程为（)a.19x9y0 b。9x19y0c。19x3y0 d.3x19y0解析法一由得则所求直线方程为:yxx,即3x19y0.法二设直线方程为x3y4（2xy5）0，即(12)x（3）y450，又直线过点（0,0），所以(12）0(3)0450,解得，故所求直线方程为3x19y0。答案d4.直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是(）a。x2y10 b.2xy10c。x2y30 d.x2y30解析设所求直线上任一点（x，y），

16、则它关于直线x1的对称点(2x,y）在直线x2y10上，即2x2y10，化简得x2y30.答案d5.若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2:2x6y30的距离为,则m()a.7 b. c。14 d.17解析直线l1：x3ym0（m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m，故选b.答案b6。已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直,则cos的值为（)a. b。 c。2 d.解析依题设，直线l的斜率k2，tan 2，且0,），则sin ，cos ，则coscossin 22sin cos 。答案a7。已知直线l1过点(2,0)且倾斜角为30,直线l2过点(2，

17、0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为（）a.(3，） b。（2，) c.(1，) d。8。从点(2，3)射出的光线沿与向量a（8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()a。x2y40 b.2xy10c.x6y160 d.6xy80解析由直线与向量a（8，4）平行知：过点（2，3）的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2),其与y轴的交点坐标为(0，2),又点（2，3)关于y轴的对称点为（2，3），所以反射光线过点（2，3)与（0，2），由两点式知a正确。答案a9.若三条直线y2x，xy3,mx2y50相交于同一点，则m的值为_。解析由得点(1，2)满足方程

18、mx2y50，即m12250，m9.答案910.已知直线l过点p(3，4）且与点a(2,2），b（4，2)等距离，则直线l的方程为_。解析显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3），即kxy43k0,由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案2x3y180或2xy2011。直线l1的斜率为2,l1l2，直线l2过点(1，1）且与y轴交于点p，则p点坐标为_.解析因为l1l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k2，又直线l2过点（1,1）,所以直线l2的方程为y12(x1）,整理得y2x3，令x0，得y3，所以p点坐标为（0,3）。答案(0，3）12。已知入射光线经过点m(3，4),被直线l：xy30反射,反射光线经过点n（2，6），则反射光线所在直线的方程为_。13。设mr，过定点a的动直线xmy0和过定点b的动直线mxym30交于点p（x,y）,则|pa|pb|的最大值是_。解析易知a(0,0)，b(1,3)且两直线互相垂直，即apb为直角三角形,|papb|5。当且仅当|pa|pb|时，等号成立。答案514.在平面直角坐标系内,到点a（1，2）,b(1，5），c