11.泰勒展开式与高考试题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明泰勒展开式与高考试题 在本讲中,我们将专注于由泰勒展开式命制高考试题的方法和途径,由此,揭秘高考命题专家命制高考试题的手段和方向,以利于命制更优秀的试题,为预测高考试题服务.母题结构:(超越函数的泰勒展开式):ex=1+ex(其中01);ln(1+x)=x-+-+(-1)n-1+(-1)n()n+1.母题解析:略. 1.指数函数 子题类型:(2010年课标高考理科试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.()若a=0,求f(x)的单调区间; ()若当x0时,f(x)0,求a的取值范围.解析

2、:()当a=0时,由f(x)=ex-1-x(x)=ex-1,由此列表,由表知,f(x)在(-,0)上递减.在(0,+)上递增;()由ex=1+ex(其中0时,(x)=ex-1-2ax(x)=ex-2a(x)在(0,ln2a)上单调递减当0xln2a时,(x)(0)=0f(x)在(0,ln2a)上单调递减当0xln2a时,f(x)f(0)=0,不合题意.综上,a的取值范围是(-,.点评:由ex=1+ex(其中01)当x0时,ex1+x+x2;因此可直接的命制如上试题;由此,还可直接的命制:1.(2010年课标高考文科试题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.()若a=,求f(x)的单调区间;

3、 ()若当x0时,f(x)0,求a的取值范围. 由ex=1+ex(其中0-1)1-e-11-=(x-1),由此可命制:2.(2010年全国高考试题)设函数f(x)=1-e-x.()证明:当x-1时,f(x); ()设当x0时,f(x),求a的取值范围. 由ex=1+ex(其中01)e-x=1-+(-1)n+(-1)n+1ex(其中00时,f极小值(x)=f(1+)=(1+ln),无极大值;()当a=1时,f(x)=+ln(x-1),由ln(x-1)x-2,要证f(x)x-1,只需证1;由x21-x-1|1-x|11.点评:由ln(1+x)=x-+-+(-1)n-1+(-1)n()n+1ln(x

4、+1)xln(x-1)x-2,由此,如上试题;由此,还可直接的命制:5.(2010年全国高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.()若x(x)x2+ax+1,求a的取值范围; ()证明:(x-1)f(x)0. 由ln(x+1)x(x-1)lnxx-1(x0)ln-1(x0)lnx1-=(x0)ln(x+1)(x-1),由此可命制:6.(2006年全国高考试题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围.7.(2015年山东高考试题)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中ar.()讨论函数f(x)极值点的个数,并

5、说明理由; ()若x0,f(x)0成立,求a的取值范围. 由ln(x+1)(x-1)(x+1)ln(x+1)x,由此可命制:8.(2006年全国高考试题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围. 由ln(x+1)(x-1)(x+1)ln(x+1)x(x+1)2ln(x+1)x+x2(x-1),由此可命制:9.(原创试题)设函数f(x)=(x+1)2ln(x+1)-x2.()证明:当x0时,f(x)x; ()若对所有x0都有f(x)ax,求a的取值范围. 由ln(1+x)=x-+-+(-1)n-1+(-1)n()n+1ln(1-x)=-

6、x-()n+1;-得:ln=2(x+)当x(0,1)时,ln2(x+),由此可命制:10.(2015年北京高考试题)已知函数f(x)=ln.()求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;()求证:当x(0,1)时,f(x)2(x+); ()设实数k使得f(x)k(x+)对x(0,1)恒成立,求k的最大值. 3.指对函数 子题类型:(2006年全国高考试题)已知函数f(x)=e-ax.()设a0,讨论y=f(x)的单调性;()若对任意x(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围.解析:()由f(x)定义域为x|x1,(x)=(x2-);当02时,(x)=(x+)(x-)f(x)在(-,-)

7、、(,1)和(1,+)上单调递增,在(-,)上单调递减;()当x(0,1)时,f(x)1e-ax1ln-ax0lnax;当a2时,ln2xax;当a2时,令g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-ax,则(x)=+-a=(x+)(x-)g(x)在(0,)上单调递减g(x)g(0)=0ln1.12.(2013年课标高考试题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).()设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; ()当m2时,证明f(x)0. 4.子题详解:1.解:()由(x)=(x+1)(ex-1)f(x)在(-,-1)和(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减;()当x

8、0时,f(x)0当x0时,x(ex-1-ax)0当x0时,ex1+ax;当x0时,ex1+x当a1时,ex1+x1+ax;当a1时,令g(x)=ex-ax-1,则(x)=ex-ag(x)在(0,lna)上递减g(x)-1时,由f(x)(x+1)(1-e-x)xexx+1;()当x0时,f(x)=1-e-x0f(x)0ax+10a0;由f(x)(ax+1)(1-e-x)x(e-x-1)(ax+1)+x0;令g(x)=(e-x-1)(ax+1)+x,则g(0)=0,(x)=e-x(a-1-ax)+1-a;当0a时,由exx+1-x1-ex(x)e-xa-1+a(1-ex)+1-a=(2a-1)(e

9、-x-1)0g(x)g(0)=0;当a时,由e-x1-x-xe-x-1(x)=e-x(a-1-ax)+(1-a+ax)-ax(e-x-1)(a-1-ax)+a(e-x-1)=(e-x-1)(2a-1-ax)当x(0,)时,(x)0g(x)2时,令g(x)=f(x)-ax,则(x)=ex+e-x-a=e-x(e2x-aex+1)g(x)在(0,ln)上单调递减g(x)2时,令h(x)=f(x)-(ax+x3)(x0),则(x)=ex+e-x-(a+x2)(x)=ex-e-x-2x=(x)(0)=0(x)在0,+)上单调递增;由(0)=2-a0h(x)在(0,x0)上单调递减当x(0,x0)时,h

10、(x)h(0)=0当x(0,x0)时,f(x)ax+x3.综上,a(-,2.5.解:()由x(x)x2+ax+1lnxx+aa-1;()当0x1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1lnx-x+10;当x1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=lnx+x(lnx+-1)(由lnx1-)0(x-1)f(x)0.6.解:当a1时,由ln(x+1)(x+1)ln(x+1)xf(x)ax对于x0恒成立;当a1时,令g(x)=f(x)-ax,则(x)=ln(x+1)+1-a,由(x)=0x=ea-1-1g(x)在(0,ea-1-1)内递减g(x)g(0)=0f(x)ax,不合

11、.7.解:()由(x)=(2ax2+ax-a+1);当0a时,(x)0f(x)在(-1,+)上单调递增,无极值点;当a时,f(x)有两个极值点;()由ln(x+1)知,a(x-x2)a(1-x)a(1-x2)10a1时,ln(x+1)a(x-x2)f(x)0成立;当a1时,f(x)在(0,(-1)内递减f(x)f(0)=0,不符合,舍去;当a0时,f(x)在(-1),+)内递减f(x)-1)成立;()由()知,当a1时,对所有x0都有当x0时,f(x)ax;当a1时,令g(x)=f(x)-ax,则(x)=2(x+1)ln(x+1)-x+1-a(x)=2ln(x+1)+10(x)在0,+)上单调递增;由(0)=1-a0g(x)在(0,x0)上单调递减当x(0,x0)时,g(x)g(0)=0当x(0,x0)时,f(x)2(x+)k(x+)对x(0,1)恒成立;当k2时,令g(x)=f(x)-k(x+),则(x)=(x)-k(1+x2)=(x2-)g(x)在(0,)上单调递减当0x时,g(x)g(0)=0f(x)1exlnx+1ex(lnx+)1;由ex=1+ex(其中0ex(