2021届高考数学教学案：第12章 第讲　绝对值不等式含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第12章 第3讲绝对值不等式含解析第3讲绝对值不等式考纲解读1。理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式(重点）2掌握|axbc，|axbc，|xa|xb|c型不等式的解法(难点）考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点内容预测2021年将会考查：绝对值不等式的解法；绝对值性质的应用及最值；根据不等式恒成立求参数的取值范围以解答题的形式呈现，属中档题型.1.绝对值不等式(1）定理如果a，b是实数，那么|aba|b，当且仅当ab0时，等号成立（2）如果a，b，c是实数，那么ac|abbc.当

2、且仅当(ab）(bc）0时,等号成立，即b落在a，c之间(3）由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式a1a2an|a1|a2|an。|a|b|ab|ab|。2绝对值不等式的解法（1）形如axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解(2)绝对值不等式|xa与|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a或x0）型不等式的解法axbccaxbc（c0）,|axb|caxbc或axbc（c0）1概念辨析(1）不等式|x1|x2|2的解集为。（)(2)若x|c的解集为r，则c0.（）（3)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和（）（4）对aba|b当且仅当

3、ab0时等号成立()答案（1）(2）(3）(4) 2小题热身（1)设a，b为满足ab|ab b。|ab|ab|cab|ab d。ab|a|b|答案b解析ab0,ab|a|bab。(2）若不等式|kx42的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析由kx4|22kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.（3）函数yx3|x3的最小值为_答案6解析因为x3|x3|（x3）(x3)|6，当3x3时,|x3|x36，所以函数y|x3x3的最小值为6。(4）不等式x1|x52的解集是_答案(，4)解析x1x5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差而数轴上满足|x1x52的点的数是4，结合数轴可知，满足x1

4、|x5|2的解集是(，4）题型 一解绝对值不等式 1(2019全国卷)已知f（x）|xax|x2|（xa)（1)当a1时，求不等式f（x）0的解集;（2）若x(，1)时，f(x）0，求a的取值范围解（1）当a1时，f(x)|x1|x|x2(x1）当x1时，f(x)2（x1)20；当x1时,f（x)0。所以，不等式f（x）0的解集为（，1)（2)因为f（a）0，所以a1。当a1，x（,1）时，f(x）（ax)x(2x)（xa）2（ax)（x1)0.所以，a的取值范围是1,）2设函数f(x)2x1|x4|。(1)解不等式f(x）2；(2)求函数yf(x)的最小值解（1)解法一：令2x10，x40分

5、别得x，x4。原不等式可化为：或或原不等式的解集为x.解法二:f（x)2x1|x4|画出f(x）的图象，如图所示求得y2与f(x）图象的交点为（7,2），.由图象知f（x）2的解集为x.（2)由（1）的解法二知,f（x)min。解|xa|xbc或|xa|xbc的方法(1）零点分段法令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集(2）利用xaxb的几何意义数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xaxb|xa（xb）|

6、ab|.(3)图象法：作出函数y1xaxb|和y2c的图象，结合图象求解见举例说明2。提醒:易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏 （2019石家庄模拟）设函数f(x)x1|.（1）求不等式f(x)5f(x3)的解集;(2)已知关于x的不等式2f(x）|xax4在1，1上有解，求实数a的取值范围解（1）不等式f(x)5f（x3)，即x1x2|5,等价于或或解得2x3.所以原不等式的解集为x2x3(2）当x1，1时，不等式2f(x)xa|x4，即xa|2x，所以xa|2x在1，1上有解，即2a22x在1,1上有解，解得2a4，所以实数a的取值

7、范围为2,4题型 二绝对值不等式性质的应用 角度1用绝对值不等式的性质求最值1（1)对任意x,yr,求x1|xy1|y1|的最小值；（2)对于实数x，y，若x11，|y21，求|x2y1的最大值解(1）x，yr，x1x|（x1）x1,当且仅当0x1时等号成立，y1y1|(y1）(y1)2,当且仅当1y1时等号成立,|x1|x|y1|y1123，当且仅当0x1，1y1同时成立时等号成立，x1|x|y1|y1|的最小值为3。(2)x2y1|（x1）2（y1)|x1|2（y2）212y2|25,即x2y1的最大值为5。角度2用绝对值不等式的性质证明不等式2设a0，x1|,|y2，求证:|2xy4a.

8、证明因为|x1|,|y2|,所以2xy42(x1)(y2）2x1y2|2a。即|2xy4a.1证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式a|b|ab|ab进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明2用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|ab|a|b|(a，br)和|ab|accb|（a,br)，通过确定适当的a,b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值 1已知x,yr，且|xy，|xy|，求证：|x5y1。证明|x5y3(xy）2（xy），由绝对值不等式的性质，得x5y|3(xy)2（xy)|3（x

9、y）|2(xy）3|xy2xy321.即x5y1.2已知函数f（x）|x4|xa（ar）的最小值为a。(1)求实数a的值；(2）解不等式f(x）5。解(1)f（x)x4|xa|a4|a，解得a2.(2)由（1）知,f（x）|x4|x2故当x2时，由2x65,得x2，当2x4时，显然不等式成立，当x4时，由2x65,得41的解集；（2）若x（0，1）时不等式f（x)x成立，求a的取值范围解（1）当a1时，f（x）|x1|x1|，即f(x）故不等式f（x）1的解集为x。（2）当x（0,1)时|x1ax1|x成立等价于当x(0,1）时ax1|0，|ax1|1的解集为0x，所以1,故0a2。综上,a的

10、取值范围为(0，2条件探究将本例中的函数改为“f(x）|2x1|xa|”,若x（1,0)时，f(x）1有解，求a的取值范围解当x（1,0）时,f(x)1有解xa|2x有解2xxa2x有解3x3，x1，3a1，即实数a的取值范围是（3，1）两招解不等式问题中的含参问题（1）第一招是转化把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为r是指不等式的恒成立问题；不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f（x)a恒成立af（x)max,f（x）a恒成立a4。当x1时，12x2x24，解得x；当1x4,无解；当x时,2x12x24，解得x。综上所述，函数f(x)的定义域为

11、xx或x.（2）函数f(x）的定义域为r，即|2x1|2x1a0在r上恒成立，即a(|2x1|2x1|）min。因为|2x12|x1|2x1|2x2（2x1)（2x2)|3，所以a3,即实数a的取值范围为（，3) 组基础关1（2019衡水模拟）已知函数f（x)x2|。(1）求不等式f（x1）xf（x3)的解集;(2)若函数g（x）log2f(x3)f(x）2a的值域为r，求实数a的取值范围解(1)由已知不等式，得x1|x|x1|。因为x0，不等式又可化为或解得1x1或x1。所以不等式f(x1）0)当xa时，xa4x,解得x,这与xa0相矛盾，故不成立当xa时，ax4x，解得x.又不等式的解集是

12、x|x2，2，解得a10。解法二：由f(x)x4x，得|xa4x（a0）不等式|xa|4x(a0）的解集为xx2x2是方程|xa|4x的解，2a42，解得a10或a6。a0，a10.组能力关1(2019华中师范大学第一附中模拟)已知函数f（x)|xa|x2|.(1）当a1时，求不等式f（x）7的解集；（2)若f（x)|x4|x2a的解集包含0,2，求实数a的取值范围解（1）当a1时,f（x)当x1时，由f（x）7得2x17，解得x3；当1x2时，f（x）7无解；当x2时，由f（x）7得2x17，解得x4.所以f（x）7的解集为(，34,）（2)若f(x）x4|x2a|的解集包含0，2，则|xa

13、x2a|x4|x2|在0,2上恒成立所以当x0，2时，|xax2a|x4|x2|2，即(xax2a)max2恒成立又xa|x2a|（xa)(x2a)|a|,所以a|2，故2a2。所以实数a的取值范围是2，22已知函数f(x）|2xa2x3|,g（x）x1|2.(1)解不等式：|g（x)5；（2)若对任意的x1r，都有x2r,使得f（x1)g（x2）成立，求实数a的取值范围解(1）由|x12|5,得5x125，所以7|x13，解不等式得2x4，所以原不等式的解集是x|2x4（2)因为对任意的x1r，都有x2r，使得f(x1）g(x2）成立，所以y|yf(x)yyg（x），又f（x)2xa2x3（

14、2xa）(2x3)a3，g（x)x1|22，所以a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围是a|a1或a53（2019安徽师大附中、马鞍山二中阶段测试）已知函数f（x）x2。(1）解不等式:f（x）f（x1）2；(2）若a0，求证：f（ax)af(x)f（2a）解(1）由题意，得f(x)f（x1)x1|x2|.因此只要解不等式x1|x2|2。当x1时，原不等式等价于2x32，解得x1；当1x2时，原不等式等价于12,解得1x2;当x2时，原不等式等价于2x32，解得2x.综上，原不等式的解集为xx.(2）证明:由题意得f（ax）af（x)ax2ax2ax22aax|ax22aax|2a2|f(2a），所以f（ax)af(x)f（2a）成立4(2019武汉模拟)已知函数f（x）|2x1x1