2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例训练新人教A版必修第二册VIP

1、2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例训练新人教a版必修第二册2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例训练新人教a版必修第二册年级：姓名：6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时余弦定理、正弦定理应用举例课后训练提升基础巩固1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50,乙观测的仰角为40,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(忽略两人的身高差距)()a.d1d2b.d120 md.d220 m解析仰角大说明距离小,仰角

2、小说明距离大,即d1d2.答案b2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得ac的长度为4 m,a=30,则其跨度ab的长为()a.12 mb.8 mc.33 md.43 m解析由题意知,a=b=30,所以c=180-30-30=120,由正弦定理,得absinc=acsinb,即ab=acsincsinb=4sin120sin30=43.答案d3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距塔68 n mile的m处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处,则这只船的航行速度为()a.1762 n mile/hb.346 n mile/hc.1722 n mile/hd.

3、342 n mile/h解析如图所示,在pmn中,由正弦定理,得pmsin45=mnsin120,mn=346,v=mn4=1762 n mile/h.答案a4.若某人在点a测得金字塔顶端仰角为30,此人往金字塔方向走了80米到达点b,测得金字塔顶端的仰角为45,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(参考数据31.732)()a.110米b.112米c.220米d.224米解析如图,设cd为金字塔,ab=80米.设cd=h,则由已知得(80+h)33=h,h=40(3+1)109(米).选项a最接近.故选a.答案a5.海上的a,b两个小岛相距10 n mile,从a岛望c岛和b岛成60的视角

4、,从b岛望c岛和a岛成75的视角,则b岛与c岛之间的距离是()a.103 n mileb.1063 n milec.52 n miled.56 n mile解析由题意,作出示意图,如图,在abc中,c=180-60-75=45.由正弦定理,得bcsin60=10sin45,解得bc=56(n mile).答案d6.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点a,b到点c的距离,已知ac=bc=1 km,且acb=120,则a,b两点间的距离为()a.3 kmb.2 kmc.1.5 kmd.2 km解析根据余弦定理ab2=ac2+bc2-2acbccos c,ab=

5、ac2+bc2-2acbccos120=1+1+21112=3(km).故选a.答案a7.某人从a处出发,沿北偏东60行走33 km到b处,再沿正东方向行走2 km到c处,则a,c两地的距离为 km.解析如图所示,由题意可知ab=33,bc=2,abc=150.由余弦定理,得ac2=27+4-2332cos 150=49,则ac=7.故a,c两地的距离为7 km.答案78.坡度为45的斜坡长为100 m,现在要把坡度改为30,则坡底要伸长 m.解析画出示意图,如图所示.bd=100,bda=45,bca=30,设cd=x,则(x+da)tan 30=datan 45,又da=bdcos 45=

6、10022=502,所以x=datan45tan30-da=502133-502=50(6-2)m.答案50(6-2)9.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,那么x= cm.解析如图所示,设蜘蛛原来在o点,先爬行到a点,再爬行到b点,易知在aob中,ab=10 cm,oab=75,abo=45,则aob=60.由正弦定理知,x=absinabosinaob=10sin45sin60=1063(cm).答案106310.如图,c,d两点与烟囱底部a在同一水平直线上,利用高为1.5 m的测角仪器,在点c1

7、,d1处测得烟囱顶部b的仰角分别是=45和=60,点c,d间的距离是12 m.计算烟囱的高.(结果精确到0.01 m)解如图,延长c1d1,交ab于点a1,在bc1d1中,bd1c1=180-60=120,c1bd1=60-45=15,由正弦定理,得c1d1sinc1bd1=bc1sinbd1c1,所以bc1=c1d1sinbd1c1sinc1bd1=12sin120sin15=(182+66)(m),从而a1b=22bc1=(18+63)(m),因此ab=a1b+aa1=18+63+1.529.89(m).即烟囱的高约为29.89 m.11.如图所示,在地面上共线的三点a,b,c处测得一建筑

8、物的仰角分别为30,45,60,且ab=bc=60 m,求建筑物的高度.解设建筑物的高度为h,由题图知,pa=2h,pb=2h,pc=233h.在pba和pbc中,分别由余弦定理,得cospba=602+2h2-4h22602h,cospbc=602+2h2-43h22602h.pba+pbc=180,cospba+cospbc=0.由,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度为306 m.能力提升1.如图,从气球a上测得其正前下方的河流两岸b,c的俯角分别为75,30,此时气球的高度ad是60 m,则河流的宽度bc是()a.240(3-1)mb.180(2-1)mc.120(3-

9、1)md.30(3+1)m解析由题意知,在rtadc中,c=30,ad=60 m,ac=120 m.在abc中,bac=75-30=45,abc=180-45-30=105,由正弦定理,得bc=acsinbacsinabc=120226+24=120(3-1)m.答案c2.起重机装置示意图如图所示,已知支杆bc=10 m,吊杆ac=15 m,吊索ab=519 m,起吊的货物与岸的距离ad为()a.30 mb.1532 mc.153 md.45 m解析在abc中,ac=15 m,ab=519 m,bc=10 m,由余弦定理得cosacb=ac2+bc2-ab22acbc=152+102-(519

10、)221510=-12,sinacb=32.又acb+acd=180,sinacd=sinacb=32.在rtadc中,ad=acsinacd=1532=1532 m.答案b3.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔ab的高度,在塔的同一侧选择c,d两个观测点,且在c,d两点测得塔顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得bcd=120,c,d两地相距500 m,则电视塔ab的高度是()a.1002 mb.400 mc.2003 md.500 m解析设ab=x,在rtabc中,acb=45,bc=ab=x.在rtabd中,adb=30,bd=3x.在bcd中,bcd=120,cd=500 m,由

11、余弦定理得(3x)2=x2+5002-2500xcos 120,解得x=500 m.答案d4.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站a,发现其北偏东45,与观测站a距离202海里的b处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站a东偏北(045)的c处,且cos =45.已知a,c两处的距离为10海里,则该货船的船速为()a.485海里/时b.385海里/时c.27海里/时d.46海里/时解析因为cos =45,045,所以sin =35,cos(45-)=2245+2235=7210.在abc中,bc2=(202)2+102-2202107210=340,所以bc=285,该货船的船

12、速为28512=485海里/时.答案a5.如图,为测得河对岸塔ab的高,先在河岸上选一点c,使点c在塔底b的正东方向上,测得点a的仰角为60,再由点c沿北偏东15方向走10 m到位置d,测得bdc=45,若ab平面bcd,则塔ab的高是m.解析在bcd中,cd=10 m,bdc=45,bcd=15+90=105,dbc=30.由正弦定理得,bcsin45=cdsin30,bc=cdsin45sin30=102(m).在rtabc中,tan 60=abbc,ab=bctan 60=106(m).答案1066.甲船在a处观察乙船,乙船在它的北偏东60方向的b处,两船相距a n mile,乙船正向北

13、行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船应沿方向行驶才能追上乙船;追上时甲船行驶了 n mile.解析如图所示,设在c处甲船追上乙船,乙船到c处用的时间为t,乙船的速度为v,则bc=tv,ac=3tv,又b=120,则由正弦定理bcsincab=acsinb,得1sincab=3sin120,sincab=12,cab=30,甲船应沿北偏东30方向行驶.又acb=180-120-30=30,bc=ab=a n mile,ac=ab2+bc2-2abbccos120=a2+a2-2a2-12=3a(n mile).答案北偏东303a7.海上某货轮在a处看灯塔b在货轮北偏东75,距离为126 n m

14、ile;在a处看灯塔c,在货轮的北偏西30,距离为83 n mile;货轮向正北由a处航行到d处时看灯塔b在其东偏南30,求:(1)a处与d处之间的距离;(2)灯塔c与d处之间的距离.解由题意,画出示意图.(1)在abd中,由已知得adb=60,b=45,ab=126 n mile.由正弦定理得ad=absin60sin 45=24(n mile).(2)在adc中,由余弦定理得cd2=ad2+ac2-2adaccos 30=242+(83)2-2248332=192,故cd=83(n mile).答:(1)a处与d处之间的距离为24 n mile;(2)灯塔c与d处之间的距离为83 n mile.8.在某次地震时,震中a(产生震动的中心位置)的南面有三座城市b,c,d,三座城市在同一直线上.已知b,c两市相距20 km,c,d两市相距34 km,c市在b,d两市之间,如图所示.某时刻c市感到地表震动,8 s后b市感到地表震动,20 s后d市感到地表震动.已知震波在地表传播的速度为1.5 km/s,求震中a到b,c,d三市的距离.解由题意可知,在abc中,ab-ac=1.58=12(km).在acd中,ad-ac=1.520=30(km).设ac=x km,则ab=(12+x)km,ad