2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例巩固练习新人教A版必修第二册

1、2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例巩固练习新人教a版必修第二册2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例巩固练习新人教a版必修第二册年级：姓名：6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例课后训练巩固提升一、a组1.已知两个力f1,f2的夹角为90,它们的合力大小为10 n,合力与f1的夹角为60,那么f1的大小为()a.53 nb.5 nc.10 nd.52 n解析:|f1|=10

2、cos60=5.故选b.答案:b2.已知a,b,c,d四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形abcd为()a.梯形b.菱形c.矩形d.正方形解析:由题意知,ab=(3,3),dc=(2,2),所以abdc.又因为|ab|dc|,所以四边形abcd为梯形.答案:a3.在abc中,ab=c,bc=a,且ca0,则abc是()a.锐角三角形b.钝角三角形c.直角三角形d.无法确定解析:ac2,则b=-2,b为锐角,abc的形状无法确定.答案:d4.在rtabc中,abc=90,ab=8,bc=6,d为ac中点,则cosbdc=()a.-725b.725c.0d.12

3、解析:如图,建立平面直角坐标系,则b(0,0),a(0,8),c(6,0),d(3,4),db=(-3,-4),dc=(3,-4).又bdc为db,dc的夹角,cosbdc=dbdc|db|dc|=-9+1655=725.答案:b5.已知p为abc内部任一点(不包括边界),且满足(pb-pa)(pb+pa-2pc)=0,则abc一定为()a.直角三角形b.等边三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形解析:由题意,ab(cb+ca)=0,即ab边上的中线与ab垂直,故该三角形是等腰三角形.答案:d6.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为n;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为.解

4、析:因为f1=(2,3),f2=(3,1),所以合力f=f1+f2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小为52+42=41(n).答案:41(5,4)7.已知a,b,c是单位圆上的三点,且oa+ob=oc,其中o为坐标原点,则aob=.解析:如图所示,由|oa|=|ob|=|oc|=1,oa+ob=oc,得四边形oacb为边长为1的菱形,且aob=120.答案:1208.在四边形abcd中,已知ab=(4,-2),ac=(7,4),ad=(3,6),则四边形abcd的面积是.解析:bc=ac-ab=(3,6)=ad,四边形abcd为平行四边形.又abbc=43-26=0,平行四边

5、形abcd为矩形.|ab|=42+(-2)2=25,|bc|=32+62=35,s=|ab|bc|=2535=30.答案:309.如图所示,一物体受到两个大小均为60 n的力的作用,两力的夹角为60,且有一力方向水平,求合力的大小及方向.解:设向量oa,ob分别表示两力,以oa,ob为邻边作平行四边形oacb,oc即为合力.由已知可得oac为等腰三角形,且coa=30.过点a作adoc于点d,则在rtoad中,|od|=|oa|cos30=6032=303.故|oc|=2|od|=603,即合力的大小为603n,方向与水平方向成30角.10.如图所示,在等腰直角三角形acb中,acb=90,c

6、a=cb,d为bc的中点,e是ab上的一点,且ae=2eb.求证:adce.证明:adce=(ac+cd)(ca+ae)=ac+12cbca+23ab=ac+12cbca+23cb-23ca=ac+12cb13ca+23cb=-13|ca|2+13|cb|2.因为ca=cb,所以-13|ca|2+13|cb|2=0,即adce,故adce.二、b组1.已知点p在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点p的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点p的坐标为(-10,10),则5秒后点p的坐标为()a.(-2,4)b.(-30,25)c.(10,-5)d.(5,-

7、10)解析:点p的位移为5v=(20,-15).点p的起始位置为(-10,10),5秒后点p的位置为(10,-5).答案:c2.在abc中,设o是abc的外心,且ao=13ab+13ac,则bac=()a.30b.45c.60d.90解析:因为ao=13ab+13ac,所以o也是abc的重心.又因为o是abc的外心,所以abc是等边三角形,故bac=60.答案:c3.在abc中,设bc=a,ca=b,ab=c,若ab=bc=ca,则abc的形状为()a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形解析:因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=

8、0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故abc是等边三角形.答案:b4.已知abc的外接圆半径为1,圆心为o,且3oa+4ob+5oc=0,则ocab的值为()a.-15b.15c.-65d.65解析:因为3oa+4ob+5oc=0,所以3oa+4ob=-5oc,所以9oa2+24oaob+16ob2=25oc2.因为a,b,c在圆上,所以|oa|=|ob|=|oc|=1.代入原式得oaob=0,所以ocab=-15(3oa

9、+4ob)(ob-oa)=-15(3oaob+4ob2-3oa2-4oaob)=-15.答案:a5.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.解析:如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|oa|=4,|ob|=8,则aob=60.又|v2|=2,|v1|=|v2|tan60=23.即河水的流速是23km/h.答案:236.已知aob,点p在直线ab上,且满足op=2tpa+tob(tr),则t=.解析:op=2t(oa-op)+tob,(2t+1)op=2

10、toa+tob,op=2t2t+1oa+t2t+1ob.a,b,p三点共线,2t2t+1+t2t+1=1,t=1.答案:17.有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船,现船沿与河岸成60角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设两岸平行,流速均匀.(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;(2)求这条河河水的流速.解:(1)如图,u是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60角的静水中的船速,则v与u的夹角为30.由题意知,u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形,其中ob=v,oc=u,oa=bc=w.由向量加法的三角形法则知,oc=oa+ob,即u=w+v.(2)|v|=10km/h,而|bc|=|ob|sin30=1012=5(km/h),这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.8.已知abc是等腰直角三角形,abc=90,d是bc边的中点,bead,垂足为点e,延长be交ac于点f,连接df,求证:adb=fdc.证明:如图,以b为原点,bc所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设a(0,2),c(2,0),则d(1,0),ac=(2,-2).设af=ac,则bf=ba+af=(0,2)+