工程矩阵理论周建华

1、1 工工 程程 矩阵理论矩阵理论 东南大学数学系 周建华 2 教材教材 工程矩阵理论工程矩阵理论 张明淳，东南大学出版社 参考书参考书 1.1.高等代数高等代数， 北京大学，高等教育出版社 2.Matrix Analysis2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 2004 (有中译本，机械工业出版社） 3 要要 求求 重点是基本理论，基本方法； 结合授课内容，熟悉课本； 通过例题，理解概念； 通过练习题，熟悉理论和方法。 4 本课程大致内容本课程大致内容 第0章 复习与引深 第1章 线性空

2、间与线性变换 第2章 内积空间、等距变换 第3章 矩阵的相似标准形 第4章 Hermite二次型 第5章 范数及矩阵函数 第6章 矩阵的广义逆 5 矩阵理论矩阵理论 1. k A计算 2.讨论矩阵序列的极限 3.Axb求线性方程组的近似解 6 第第0章章 复习与引深复习与引深 矩阵运算 线性方程组 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩 7 三、三、辐射防护的目的与任务辐射防护的目的与任务 辐射防护的主要目的是在保证不辐射防护的主要目的是在保证不 对伴随辐射照射的有益实践造成过度对伴随辐射照射的有益实践造成过度 限制的情况下为人类提供合适的保护。限制的情况下为人类提供合适的保护。 具体来讲，就是要防

3、止有害的确定性具体来讲，就是要防止有害的确定性 效应，并限制随机性效应的发生率，效应，并限制随机性效应的发生率， 使之达到被认为可以接受的水平。使之达到被认为可以接受的水平。 8 既要保护环境，保障从事辐既要保护环境，保障从事辐 射工作人员和公众成员，以及他射工作人员和公众成员，以及他 们的后代的安全和健康，又要允们的后代的安全和健康，又要允 许进行那些可能产生辐射照射的许进行那些可能产生辐射照射的 必要活动；提高辐射防护措施的必要活动；提高辐射防护措施的 效益，以促进核科学技术、核能效益，以促进核科学技术、核能 和其它辐射应用事业的发展。和其它辐射应用事业的发展。 9 1.矩阵的乘法中应注意

4、的问题矩阵的乘法中应注意的问题 (1) 存在非零零因子 例1 01 01 0 1 0 n n N 10 (2) 不可交换 11 （3）由此导致的一些问题 n乘法消去律不成立 n一些代数恒等式对矩阵不再成立 mmm m m m m m m m BABCBACBACABA BA 1122211 , 即相应的二项式定理成立可交换时与当 12 例3 1 1 Aknn次幂：矩阵的计算下述 解： kk k kk k k k k k kkk NCNICNICNICINIA NINIA 1122211 )()()()()( 可交换，与且 kk k kk k k k k k kk NCNCNCNCIA 1122

5、211 112211 11 22 11 0 00 000 kkknk n kkk kk k kk k k k k CCC C C C 13 （4）分块矩阵）分块矩阵 设 tn ij ns ij bBaA , qrqq r r pqpp q q BBB BBB BBB B AAA AAA AAA A 21 22221 11211 21 22221 11211 , 在一定条件下，ABC 也可以写成分块矩阵 将这两个矩阵分块： prpp r r CCC CCC CCC C 21 22221 11211 其中， 1122ijijijiqqj CA BA BA B 14 条件：上式有意义 .的行的分法一

6、致的列的分法与BA 15 一些常见的分块形式一些常见的分块形式 1. 分成 4 块 假设, ijij s nn t AaBb ： 11121112 21222122 1111122111121222 2111222121122222 AABB AB AABB A BA BA BA B A BA BA BA B 16 17 ns ij ns ij bBaA , 2.,A B均按行进行分块 )()()(BrArBAr 18 3. AB 按列分块， 不分块 )(),()(BrArABr 111 12 1 12 111 (,) , t n nnt nnn iiiiiti iii bb AB bb bb

7、b 19 4.AB将 视作一块， 按列分块。 .)()(,nBrArOAB则若 20 2. 线性方程组线性方程组 1. , bAx T s ns ij bbbbaA 21 , 其中， bArAr)(有解 2. .,)(nrrbArAr则有唯一解若 3. ( ), . r Ar Abrnnr若则通解中含有个 自由未知量 21 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 ,Ax ns ij aA 其中， 对于齐次线性方程组 1. 有非零解当且仅当 .)(nAr .,)(. 2个解向量则其基础解系中含若rnnAr 3.( ), . r Annr 若则其任意个线性无关的解向量是 其基础解系 22

8、 1554 34233 23322 1 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx ：求下列线性方程组的解 例5 000000 22111000 431100 111111 初等行变换 增广矩阵 23 简化阶梯形矩阵 24 续例5 000000 22111000 431100 111111 初等行变换 增广矩阵 000000 22111000 26140100 540011 初等行变换 25 Gauss消元法消元法 阵化成阶梯形矩阵；用初等行变换将增广矩 确定自由未知量； 用回代法找出通解。 26 例6 0554 04233 03322 0

9、54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 础解系：求齐次线性方程组的基 00000 111000 31100 11111 初等行变换 增广矩阵 00000 221000 140100 40011 初等行变换 27 例7 1. ( )(); 2. H HH Asnbs r Ar A A A AxA b 设 是矩阵， 是 维列向量。证明： 线性方程组恒有解。 28 3.向量组的极大无关组和秩向量组的极大无关组和秩 . , 21 向量均是其极大无关组 个线性无关的，则其中任意的秩为量组若向rr s 29 例例8 30 4.矩阵的秩矩阵的秩 矩阵A

10、的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩 有关矩阵的秩的不等式： );()()(. 1BrArBAr ;)()(,. 3nBrArOBA tnns 则若 ;)()()(. 4nBrArBAr tnns );(),()(. 2BrArABr 31 例9 32 例10 33 矩阵的等价标准形 34 . 11snAr srBrnC ABC ：假设矩阵 的秩为 ，证明： 存在矩阵及矩阵 ， 使得（矩阵的满秩分解） 例 35 例12： 11121 22304 . 11425 22788 A 求的满秩分解 11121 00546 00000 00000 A 初等行变换 解： 61 110 5

11、5 64 001 55 00000 00000 初等行变换 36 线性空间和线性变换线性空间和线性变换 第一章第一章 37 第一节 线性空间的定义 用F表示实数全体（R）或复数全体（C）. .:数域实或复是是非空集合设定义）（，FV :上定义了两种运算及在FV :, ,; VV 对在 中有惟一的元素与之对应 记这个元素为称为 加 的和 法 :, ,. V kFV kk 对在 中有惟一的元素与之对应 记这个元素为称为 与 数 的积 乘 38 如果满足下述公理， 则称V是数域F上的线性空间， V中的元素称为向量。 1.,; 2.,()(); 3.,; 4.,; 5.,1; 6., , ()() ;

12、 7., ,(); 8., () V V VV VV V V k lF k lkl V k lFklkl V kF kkk 对 对 元使得 对使 对 对 对 对 39 例1 n FV . 1 nn FV . 2 . 3xFV . 4xFV n RFCV,. 5 CFCV,. 6 40 例1（续） CFRV,. 7 通常运算,. 8RFRV RFRV ,. 9 k kFkV V ,: ;,: : 对 对 定义新的运算 41 线性空间的性质 则上的线性空间是数域假设,FV ;. 1 中的零向量是惟一的V ;,. 2记为的负元素是惟一的对V ;,:. 3则若加法消去律 4., (),); Vx xx

13、 对向量方程有惟一解 记 ;) 1( ,),().(5特别地kk 或0. 6kk 42 第二节 基、维数和坐标 如： 在线性空间中可以定义线性组合、线性 表示、线性相关、线性无关，向量组的 极大线性无关组、秩等概念。 12 121122 12 12 . , . ,. s sss s s V k kkkkk 定义：设， ，若 不全为零的数 使得 则称向量组， ， 否 线性相关 线则 称，性无关， 43 一些重要结论 12 1.2, ,1. s j s js 若则线性相关 使可由其余个向量线性表示 1212 12 2., ,. ,. ss s 若线性无关 但线性相关 则 可由线性表示 而且 线性表

14、示的方法是惟一的 44 1212 12 3., ,. ts t ts 若可由线性表示 则线性相关 1212 12 1., ,. ts t ts 推论 若可由线性表示 且线性无关 则 1212 2., ,. ts st 推论 若与等价 且均 线性无关 则 45 例2 10 00 01 00 00 10 00 01 . 1 22211211 22 ，E，E，E，EF中在 2 3 2 2 2 13 243,31,32. 2xxxxxx，xF中在 12 3.,1,1VC FRi 12 4.,1,1VC FCi 46 定义（基，维数） 12 12 12 12 1 . 2 . . n n n n V V

15、V 若， ，满足条件 （） ， ，线性无关； （ ）均可由， ，线性表示, 则，称， ，是 的一组基， ,( )dimVVnV称 是 的记为或维数维。 47 注： .1,dim个向量线性相关中任意则命题：若nVnV .注：线性空间的基不一定存在如： V零空间- dim0 VF xdimxF 48 例3 . 1 n FV . 2 22 FV . 3xFV n .,. 4RFCV .,. 5CFCV .,. 6RFRV 49 定理1 dim, . VnVn V 若则 中任意 个线性无关的向量 均构成 的基 3 2 1 2 2 2 3 4: , ( )123, ( )3, ( )2 . F x f

16、xxx fxxx fxxx 例证明 在中 向量 构成一组基 50 定义（坐标）： nn n xxx VV 2211 21 ,且的一组基是，设 1212 , nn x xx 则称是 在基的坐标下 1 2 12 ,(). n n x x x 或是 在基下坐标 列向量的 51 例5 12 12 ,( ,) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) . n n n Fx xx eee 中在基 下的坐标 52 例6 2 2 11122122 10010000 , 00001001 . ab FA cd EEEE 在中，在基 下的坐标 53 注注 线性空间的基是有序的。 基相当于几何空间中的坐标系。

17、 54 定理2 则 及下的坐标分别是在基假设 ., 2 , 1 , ,21 si XXV， ini ;. 1X ;. 2 22112211ssss XkXkXkXkkk .,. 3 2121 线性相关线性相关 ss XXX 55 例7 2 3 2 21 3 )(,2)(,1)( : xxxfxxxfxxf xF 关性中下述向量组的线性相判断 56 例例8 42 33 , 12 21 , 30 12 , 22 11 : 22 DCBA F关组中下述向量组的极大无求 57 形式记号 X x x x x x x X n n n n n ),(),( , 21 2 1 21 21 2 1 可形式地记成

18、则 下的坐标，在基是若 58 形式记号 , 2121 线性表示可由若 st 使得矩阵我们可以找到一个于是,Ats A st ),(),( 2121 59 形式记号的性质 A st ),(),( 2121 若 B tp ),(),( 2121 )(,(),( 2121 AB sp 则 60 例例9 , 21 线性无关设 n A nn ),(),( 2121 .,: 21 是可逆矩阵线性无关证明A n 61 定义(过渡矩阵) 且的基都是及设, 2121 V nn A nn ),(),( 2121 1212 , . nn A 则称 是从基到基 过渡矩阵的 .过渡矩阵一定是可逆的于是， 62 过渡矩阵

19、的性质 1212 1 1212 1., ,. nn nn A A 若从基到基的过渡矩阵是 则从基到基的过渡矩阵是 1212 1212 1212 2., , ,. nn nn nn A B AB 若从基到基的过渡矩阵是 从基到基的过渡矩阵是 则从基到基的过渡矩阵是 63 例10 。 ，F 的过渡矩阵 到基 从基 求中在 )5 , 3 , 2(),2 , 1 , 0(),3 , 2 , 1 ( ) 1, 1 , 2(),3 , 1 , 0(),1 , 0 , 1 ( 321 321 3 64 定理3(坐标变换公式) , 21 XV n下的坐标是 在基设 n , 21 在基,Y下的坐标是 的过到基而

20、从基 nn , 2121 则 ,A渡矩阵是 ,AYX 或 XAY 1 65 例11 在基求中在 2 3 1)(,xxxfxF 22 2, 23x x xxx 下的坐标。 66 第三节 子空间, 交与和 :,. , . VFWV WVF WVWV 定义 设 是数域 上的线性空间是 的非空子集 若关于 的 子空 运算也构成 上的线性空 间 间 则称是 的记 .:的子空间是例xFxFn .:中的运算应当相同的运算与注VW 67 定理1 . . WVWV W 设则是 的子空间 关于线性运算封闭 :.VV例如及 本身均是 的子空间 3 1 2 : ( , , )|3251 ( , , )|3250 R

21、Vx y zxyz Vx y zxyz 例如中集合 68 两类重要的子空间 1.| . s nn AFVFA VAx 设 称 是齐次线性方程组的解空间 )( . ,., | . 2 21 2121 1 21 s ss s i iii s ，LW W FkkW V，。FV 记是其生成元 生成的子空间是由称 集合上的线性空间是设 69 命题： ;),(. 1 21 WLW js 则若 1212 1212 2. (,)(,) , st st LL 与等价； 1212 1212 3.,(,) dim (,)(,). ss ss L Lr 的极大无关组是的基， 故， 70 例例12 .),( )2 ,

22、1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 3 , 2(),1 , 1 , 2 , 1 ( , 4321 4321 4 的一组基及其维数求 已知中在 LW F 71 例13 .),( 11 11 , 11 11 , 21 12 , 12 21 , 22 的一组基求 中在 DCBALW DCBA F 72 例14 .,| 22 的一组基中子空间求 Fyx xy yx WF 73 例15 2 2 2 2 10 ,: 21 | ,. A WXFAXXA FW 设证明 是的子空间 并求的一组基 74 定理2 2 2 211 1 ,. 121 1 ,. AB A BF 例：

23、已知 将扩充成的一组基 . V V 有限维线性空间 的子空间的基 均可扩充成 的一组基 75 子空间的交与和 . 21 V，VV假设 21221121 2121 | | : 使得 且 定义 V，VVVV VVVVV 76 子空间的交与和 1212 :.3VVVVV，都是定的子空间理 77 注：交与并的区别 则若命题，LVLV ts ),(),(: 212211 ),( 212121ts LVV 78 定理4（维数定理） 12 121212 , dim()dimdimdim V VV VVVVVV 假设有 79 例16 ., ,|,| 212121 21 22 的及维数及求 子空间设 VVVVV

24、V Fyx xy yx VFyx yy xx V F 80 例17 12 12 112212 4 1212 (1,2,1,0),( 1,1,1,1), (2, 1,0,1),(1, 1,3,7) (,),(,) ,. VLVL FVV VV 设 。 求的子空间的基及维数 81 例18 . |,| 2212 1121 , 4413 2211 1111 2121 4 2 4 1 的基及维数，求 已知 VVVV BxFxVAxFxV BA 82 直和 1212 112212 1212 .,. , . V VVVV VV VVVV 定义 设若， 惟一的使得， 则称是记为直和。 83 定理5 :, 21

25、 则下述条件是等价的设VVV ;. 1 21 直和VV ;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 3 21 VV ;dimdim)dim(. 4 2121 VVVV .,. 5 2121 的基的基合在一起就是将VVVV 84 例19 12 12 |,| n n TT n n F VA AA VA AA FVV 已知的子空间 ， 证明：。 85 例20 2 12 12 ,. |,| n n nn n AFAA VxFAxVxFAxx FVV 设且 ， 证明：。 86 多个子空间的直和 1212 1 1212 .,. ,1,2, , ss s iii i ss V VVVVVV V is VVVVVV

26、定义设若， 惟一的使得，则称 是，记为直和。 87 定理6 ;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 3 ji ij VV s i i s i i VV 11 dimdim. 4 .,. 5 2121 的基的基合在一起就是将 ss VVVVVV ;. 1 21 直和 s VVV :, 21 则下述条件是等价的设VVVV s 88 89 第四节 线性映射 .:.,( ), . fSTxS yf x yxfxyf 定义 设有映射若则 称 为的 在 下的，称 为 在 下的像原像 90 .:. ( ),; ( )( ),; ,. fST f STf f af babf ff 定义 假设映射 若则称 是 若由

27、必能推得则称 是 若 满射 单射 既是满射又是单射 则是双射称 : (:, ,). 7 ST fST fg TS gfIfgI 定理是双射 是可逆映射 存在映射 使得 91 定义： ,. : 1.,()( ); 2.,()( )( ). . V UF f VU xV kF f kxkf x x yV f xyf xf y fVU 设均是数域 上的线性空间 若映射满足条件 则称 是到 的线性映射从 ).,(UVHomUV的线性映射全体记为到从 VV到自身的线性映射称为 上的线性变换。 92 例21 1.,: ,( ). s nns n AFfFF xFf xAx 假设映射定义为 2.: : (

28、) ,( ( )( ). nn n fF xF x p xF xf p xp x 映射定义为 93 例22 3.,: ,(). n nn nn n n n AFfFF XFf XXA 假设映射定义为 94 例23 性变换：考虑下列变换是否为线 是一给定向量。上的线性空间，是数域假设VFV 0 . 0 )(,. 1xfVx . 0 )(,. 2xxfVx 95 注 换：下述变换肯定是线性变 ;)(,:xOVxVVO .)(,:xxIVxVVI 96 线性映射的性质：线性映射的性质： ;)(. 1 : f UVf是线性映射。则：假设 1212 11 2., ()(); ss ss iiii ii

29、V k kkF fkk f 若 则 12 12 3., (),(),(); s s V fffU 若线性相关， 则线性相关 97 12 12 4.(,), ( )( (),(),(); s s VLf R fL fff 若则 的值域 5. ( )|( ) K fxVf xV f 是的子空间， 称为 的核子空间。 98 例24 定义为：其中： 和维数：的值域及核子空间的基求线性映射 : 33 xFxFf f )( )(xpxpf 99 例25 . : ( ), s n ns n AFf fFF f xAxxF 设求线性映射 的 值域及核子空间的基和维数， 其中：定义为： ).)(),(AKARf

30、记为的值域及核子空间分别 100 线性变换的运算 ,( ,),( ,), , f fHom V UgHom U WkF kfffgf 假设 定义如下： 它们都是线性映射。 101 线性映射的运算的性质： 则：假设).,(,VVHomhgf );().(1ghfhfg ;)(. 2fhfghgf 3.().fg hfhgh 102 线性映射（变换）的矩阵： 选定基偶：设).,(UVHomf ;,: 21s V n U,: 21 Afff ns ),()(,),(),( 2121 若 Af则称 是 在选定基偶下的矩阵。 且如,VU Afff ss ),()(,),(),( 2121 Af则称 是线

31、性变换 在所选基下的矩阵。 103 例26 104 例27 2 22 2 2 2 11122122 (,) 32 (), 34 . ,. fHom FF abbc f X abcabcd ab XF cd fEEEE 定义为： 其中， 求 在基下的矩阵 105 定理8 1212 12 12 ( ,) :,;:, , ( ),. sn s n fHom V U VU AVX fAX 若在基偶 下的矩阵是在的坐标是 则在基下的坐标是 106 定理9 在选定基偶：设),(UVHomf ;,: 21s V n U,: 21 。下的矩阵是A在新的基偶则f P ss ),(),( 21 2 1 Q nn

32、),(),( 21 2 1 下的矩阵是APQB 1 12 ,( ,), s fHom V VA f 特别是 若在基下的矩阵是 则 在新的基 P ss ),(),( 21 2 1 下的矩阵是. 1 APPB 107 例28 33 3 22 123 : ( ( )( ),( ) ( )13,( )1,( )12 . fF xF x f p xp xp xF x p xxxpxx p xxx 求线性变换 在基 下的矩阵 108 定理10 下，则在基设 下的矩阵分别是的基在假设 s s Fk BAVVVHomgf , ,),(, 21 21 ;. 1kAkf的矩阵是 ;. 2BAgf 的矩阵是 ;.

33、3ABfg的矩阵是 。的矩阵是可逆，并且，矩阵可逆 11 . 4 AfAf 对线性映射的矩阵有类似的性质。 109 第五节 线性映射的值域及核子空间 (.11.,)fHom V U假设定理则 ;)(UfRf是满射 .)(fKf是单射 110 值域的计算 即矩阵是 下的在基偶若 , ,:;,:),( 2121 A UVUVHomf ns Afff ns ),()(,),(),( 2121 )(),(),()( 21s fffLVf由于 ).()(dimArfR 111 核子空间的计算 1212 12 12 ( ,):,;:, , ( ),. ns n s fHom V UVU AVX fAX 若

34、在基偶下的 矩阵是在的坐标是 则在基下的坐标是 ;)(AXfK因此， 12 12 , ,( ) n rjj n r XXXAXX VK f 从而，若是的基础解系，是以为 坐标的 中的向量，则是的基。 dim( )( ).K fnr A 112 定理12（线性映射的维数定理） 则假设).,(UVHomf VfKfRdim)(dim)(dim 113 则设推论).,(,dim:VVHomfV 是满射是单射可逆fff 注：对无限维空间，推论不成立。 114 例29 2 22 2 (,) ,() ( )( ) fHom FF ababbc Xf X cdcdda R fK f 设定义为： 对 求及的一

35、组基及维数。 115 定义（不变子空间）： ( , ),.,( ),fHom V V WVWfW Wf 设若有 则称是 的不变子空间。 的不变子空间。均是则设例fFKfRVVHomf)(),().,(. 116 为何要讨论不变子空间？ 117 为何要讨论不变子空间？ 118 例30 2 ( , ),. . fHom V Vff IO fV OO 设且证明： 在 的任意基下的矩阵均相似于 119 线性空间的同构 120 121 122 123 第二章 内积空间、等距变换内积空间、等距变换 124 第一节 基本概念 本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间 约定：数域F指实数域R或复数域C , 1.

36、,0; 2.,; 3.,; 4., , VFV V V V kFkk FRVFCV 定义：假设 是数域 上的线性空间， 在 上定义了一个二元函数若 则称是的。定义了内积的线性空内积内积空间 欧基里德空 间称为。 当时称 是，当时称间是酉空间。 125 例1 .,. 1 Tn RV .,. 2AtrBBARV Tnn .)()()(),(,. 3 1 1 3 dxxgxfxgxfxRV .,. 4 Hn CV 126 内积的性质 ;,. 1 ;,. 2kk ;,. 3 1111 ji s i t j j i s i t j jjii lklk 0,. 4V对任意 127 度量矩阵 的坐标是的基，

37、是设VV n , 21 ji n i n j ji yx, 11 则 ,),(,),( 2121 T n T n yyyYxxxX YAX T 12 (,), ijn nn AAV 其中，称 是度在基下的量矩阵。 ;, T AARF则若 H AACF则若, 128 向量的模（长度） 的模（长度）定义为定义：设,V , 是单位向量。，则称若1 性质： ；且0, 0,. 1V ;. 2kk . 1 ,是单位向量则故若 129 C-B不等式 ,V 线性相关。，而且，等号成立 130 三角不等式 ,V 定义：向量 ， 间的距离定义为 )( ，d ：三角不等式的距离形式 ),(),(),(,dddV 1

38、31 正交性 定义：若向量 ， 的内积为零，则称 ， 是正交的。 。记 222 ，则勾股定理：若 132 标准正交基 定义： 由两两正交的非零向量组成的向量组。正交向量组称为 由两两正交的单位向量组成的向量组称标准正交向量组为。 作为正交向量组的基称为是。正交基 作为标准正交向量组的基称为是。标准正交基 133 标准正交基下的内积 XYYX VV H nn , , 2121 则，的坐标是 下在的标准正交基，是设 n C YX, 134 Schmidt正交化方法 是线性无关的。设V s , 21 正交化： :令 1 11 1 1 11 1 1 11 13 2 22 23 33 1 11 12 2

39、2 11 , , , , , , , , , , s s ss ss ss 单位化： si i i i , 2 , 1 1 135 例2 12 12 25 V V 假设 在基 ，下的度量矩阵是。 求 的一组标准正交基。 136 例3 3 1 1 ( ), ( )( ) ( ) . VR x f x g xf x g x dx V 在中定义内积： 求 的一组标准正交基 137 酉矩阵 . H nAA AI定义： 阶复矩阵 称为是，若酉矩阵 1H A AA 命题： 是酉矩阵 的标准正交基。的行（列）向量组是 n CA 138 定理1 , 21 的标准正交基是设V n U nn ),(),( 212

40、1 是酉矩阵。是标准正交基则，U n , 21 139 Schmidt正交化方法的应用正交化方法的应用 140 注 使得的基，则有标准正交基是如果 nn V, 2121 T nn ),(),( 2121 对角元均大于零。是上三角矩阵，且其主其中，T 141 矩阵的UT分解 142 例4 143 定理2 12 121212 , , s ssnsssn WVW V 假设是 的子空间，是的标准正交基， 则存在使得是 的标准正交基。 144 第二节 正交补空间 ,.WVVWW 定义：设若，称 。，称，对若 2121221121 ,WWWWVWW 12 (,),., 3 . sj WLVWj 则 定：

41、设 理 145 正交补空间 记定义：设,VW WVW | VW易证这是 的子空间，称的正交补空间是。 ,.4WVVWW ：若则定理 ,.VWUWUUW 而且，若且则 .,WWVW 则推论：若 146 正交补空间的计算 .: s nns ACf CC 假设定义线性映射为： ( ), n f xAxxC ？和问题：如何计算 )()(AKAR 147 正交补空间的计算 148 例5 1201 0121, 1012 |. A Wx Ax W 设 求的一标准正交基。 149 一个几何问题 空间中点到直线的距离： P Q 150 空间中向量到子空间的距离： V 0 0 151 使得求已知,.,WVVW )

42、,(min),( dd W ,.6WVV定：假设理则 ),(min),( dd W W W（称 是 在 中的正投影）。 152 例6 中的正投影。在求假设 中，已知在 WLW R ).,( ).2 , 1 , 2(),3 , 1, 2(),1, 2 , 1 ( 21 21 3 153 例7 154 应用-Fourier系数 155 最小二乘解 , s n ACAxb 设求线性方程组的 最佳近似解。 156 第三节 等距变换 ( , ).VfHomV V定义：设 是内积空间，若 ,)(),(ffV, f称 是等距变换。 ,;FRf若称 是正交变换,.FCf若是酉变换称 157 例8 定义为：是酉

43、矩阵。设 nn CCfA: n CxAxxf,)( 158 定理7 ( , ). 1 . 2 . 3 . 4 . VfHom V V f f f f 设 是内积空间，下述条件等价： （） 保持长度不变； （ ） 保持内积不变； （ ） 将标准正交基变为标准正交基； （ ） 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。 159 ( )f 关于直线的反射关于直线的反射 ( )f 160 欧氏空间中的反射欧氏空间中的反射 161 镜像变换 162 11 163 例9 164 第三章 矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形 165 矩阵与线性变换 本章的目的： n对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 n对给定的线性空

44、间上的线性变换，找线性空间的一 组基，使得线性变换的矩阵最简单。 166 第一节 特征值与特征向量 167 矩阵的相似对角化 168 线性变换的特征值、特征向量 169 线性变换的可对角化问题 170 例1 ,),(),( 33T zyxXCCHomf定义为： z yx yx Xf 2 )( 的特征值、特征向量。求f 171 线性变换的特征值、特征向量的计算 172 例2 ,),( 222222 CXCCHomf定义为： XXf 11 11 )( 的特征值、特征向量。求f 173 定理1 .,BIAICBA nn 是相似的，则若 注：定理的逆命题不成立； . 1 多项式。可定义线性变换的特征.

45、 2 174 特征多项式的计算 175 主子式与子式 176 主子式与子式 177 特征多项式的计算 , ij n n Aa 定：设理2则 nn nnn bbbbAI 1 2 2 1 1 阶主子式）的（其中，jAb j j ) 1( , 1 1 n i ii ab特别地，.) 1(Ab n n 178 矩阵的迹 1 ( ),. n ijn nii i AaaAtr A 定义：设称为 的，记为迹 则的特征值为命题：若,)( 21nnnij aA ,)( 1 n i i Atr . 1 i n i A .),()(,BABtrAtrBA相似，则推论：若 179 例3 的特征值。求设AA b b b

46、 a a a H nn ., 2 1 2 1 180 化零多项式 ( )( ), ( )0. f xf AO Af x 设是多项式。若 则 的特征值均是的根 2 . 01 AA A 例：已知证明： 的特征值只能是 或 。 181 第二节 Hamilton-Cayley定理 ,( ).( ). n n AFCIAC AO ：则定理3设 ( , ),( )( ).fHom V VCfC fO：设是 的特征多项式，则定理4 是上三角矩阵。使得存在酉矩阵引理：对AUUUCASchur Hnn , 182 例4 . 53 43 100 AA求设 32)( 2 C 183 例5 100 122 103 1

47、12 AA 已知，求。 2 ) 1)(1()(C 184 最小多项式 . A A 定义：矩阵 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为 的最小多项式 1( ), ( ) ( )| ( ). m xxA m xx 性质 ：若分别是矩阵 的最小多项式、化零多项式， 则 式是唯一的：任意矩阵的最小多项性质2 有相同的最小多项式。相似，则：如果矩阵性质BABA,3 小多项式）定义：（线性变换的最 185 定理5 000 ( ),( ) ( )|( ),()0()0 m x C xA m xC xC mC 设分别是矩阵 的最小多项式和特征多项式， 则，并且，对。 186 例6 a a a a a

48、 a a a a 1 1 ,0 1 , 式：求下列矩阵的最小多项 187 例7 的最小多项式。求设AA b b b a a a H nn ., 2 1 2 1 188 例8 ,),( 222222 CXCCHomf定义为： XXf 11 11 )( 的最小多项式。求f 189 第三节 可对角化的条件 目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵； 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在 空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。 190 已知的判别方法 6n nAAn：矩阵 相似于对角阵有 个线性无关定理的特征向量。 7：矩阵的属于不同特征值的特征向定理量线性无关。 12 12 1 ,2 11,2

49、11 12,2221 ,2 , , , 8 , i s s iit ii ttsst s A A ：若是矩阵 的互不相同的特征值， 是 的属于特征值 的线性无关的特征向量，则 定理 线性无关。 191 线性变换的可对角化问题 9ffn： 可对角化有 个线性无关的定理特征向量。 0:1f的属于不同特征值的特征向定理量线性无关。 12 12 1 ,2 11,211 12,2221 ,2 , , , 1 , 1 , i s s iit ii ttsst s f f ：若是线性变换 的互不相同的特征值， 是 的属于特征值 的线性无关的特征向量，则 定理 线性无关。 ( , ).VnfHom V V假设

50、 是 维线性空间， 192 特征子空间 0 ( , ),fHom V Vf定义：设是 的特征值。称 0 0 |( )VVf 的特征子空间。的相应于特征值为 0 f 193 可对角化的条件 194 例9 ,),( 222222 CXCCHomf定义为： XXf 11 11 )( 。相应的特征子空间的基的特征值及求 f 195 定理12 1 ()( )() dim. i i s r i i i fHom VVC Vr 设，的特征多项式是， 则 196 定理13 1 ( , )( )() i s r i i fHom V VC 设的特征多项式是， 则下述条件是等价的： 是可对角化的；f . 1 ;d

51、im. 2 i rVi i ， s VVVV 21 . 3 197 例10 ,),( 222222 CXCCHomf定义为： XXf 22 11 )( ; .2相应的特征子空间的基的特征值及求f 下的矩阵；在基求 22122111 ,.1EEEEf 2 2 3.Cf 问：是否存在的基，使得 的矩阵为对角阵？为什么？ 198 定理14 的最小多项式无重根。相似于对角阵矩阵AAnn 12 1 , ()(1) . is s i i nMM MMO r Msn 引理：若 阶矩阵满足 则 199 例11 相似于对角阵。则满足阶矩阵若AAAAn, 2 200 例12 .3 .)5(,103 2 IA rI

52、ArIAACA nn 求行列式 并且，满足已知 201 第四节 Jordan标准形 问题： 如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的 矩阵与之相似。 等价的问题： 若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空 间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。 202 Jordan形矩阵 1 1 k k Jo a a a rdan 定义：形如的矩阵称为块。 1 2 i s J J JJJordanJoa J rd n 形如（其中， 均是块）的矩阵称为形矩阵。 AJordanJJA若矩阵 与形矩阵 相似，则称 是 的标准形。 203 例13 1000 0200 0120 0001 , 000

53、 100 002 , 000 100 012 , 200 120 001 , 200 020 011 , 200 120 011 , 200 020 001 ?形矩阵下列矩阵是否为Jordan 204 Jordan标准形的存在性、唯一性 标准形。的也是的一个排列，则是其中， 标准形，而的是矩阵若 JordanAKJJJJJJ J J J KJordanA J J J J siii i i i s s s , , 21 2 1 21 2 1 的。标准形是存在的、唯一矩阵的 块的次序外，除了相差 Jordan Jordan 205 唯一性的证明思路 000 1., ()() ; kk AJk r

54、AIr JI若 与 相似，是数，则对一切正整数 nk nk NrNrNnn kk 若 若 则矩阵若 , 0 , 1 )()(, 0 1 0 10 . 2 1 等于矩阵，则是若 kk IJrIJrJordanJ)()(. 3 0 1 0 块的块数。为主对角元的的，以中阶数JordankJ 0 206 定理15 0 0 A AJordan kJordan 设是矩阵 的特征值。 则 的标准形中以为主对角元 的 阶块的块数为： )()(2)( 11 kkk BrBrBr IAB 0 其中， 207 例14 24 ( )(1) (2) , (2 )4, A C r AI AJordan 已知矩阵 的特征

55、多项式是 且 求 的标准形。 208 例15 24 2 ( )(1) (2) , (2 )4, (2 )3, A C r AIr AI AJordan 已知矩阵 的特征多项式是 且 求 的标准形。 209 例16 , 411 301 621 A Jordan标准形：求下列矩阵的 , 786 675 161613 B .) 1()( 3 xxCA 2 ) 1)(3()(xxxCB 210 分块矩阵的最小多项式 , , 16 , AO M OB M A B ：若 则矩阵的最小多项式间 定理 有关系： ).(),()( BAM mmm 211 Jordan标准形与最小多项式 1 ( )() ,7 .

56、 1 i s r i i i i Am xx AJordanJordan r ：假设矩阵 的最小多项式是 则 的标准形中以 为主对角元的块的 最高阶数为 定理 的最小多项式无重根。相似于对角阵特别地，AA 212 例17 形。的可能的求 项式分别是的特征多项式和最小多已知 JordanA xxxmxxxC A 252 )2)(1()(,)2() 1()( 213 例18 4 2 ( )( ) A C xm xx AAJordan 已知 的特征多项式和最小多项式均是 求 及的标准形。 214 例19 11 22 ,. H nn ab ab A ab AJordan 设 求 的标准形。 215 例

57、20 2 ( )( )1, . tr Ar A AA 已知 证明： 216 例21 , 126 103 , 114 P Jordan A 求相似变换矩阵将下列 矩阵变成其标准形： , 786 675 161613 B .) 1()( 3 xxCA 2 ) 1)(3()(xxxCB 217 存在性的证明思路 218 存在性的证明思路 219 存在性的证明思路 220 存在性的证明思路 221 存在性的证明思路 222 存在性的证明思路 223 存在性的证明思路 224 存在性的证明思路 225 第五节 特征值的分布 . nn ij aA 设 的谱；的特征值的集合为称AA ,( )AAA谱半径称

58、的特征值的模的最大值为 的记为。 iniiiiii aaaaR 111 记： |, iiii Cz zAiaR称第 个之为 的盖尔园； 1 n i i GCA 称为 的盖尔园系。 226 定理20 的盖尔园系中。的特征值必定在矩阵AA 227 例22 . 61 104 A设 中没有特征值。中有两个特征值，但 21 CC 228 K-区 , n n ACAn k nk k 定义：设在 的 个盖尔园中， 有 个园构成一连通区域，但与 其余个园不相交，则称这 个连通区域为一 区。 229 例23 210 021 012 A 010 5 . 030 05 . 10 B 230 定理21 个特征值。的区

59、中有且仅有的盖尔园的kAkA An An 推论：如果 的 个盖尔园互不相交， 则 有 个互不相等的特征值。 231 例24 5 . 001. 002. 0 14. 09 . 001. 0 11. 002. 01 A 区。的盖尔园均是1 T A 232 谱半径的估计 12 11 11 , max,max, ij n n nn ijij i nj n ji Aa aa ：定22设理 .,)( 21 A则， 233 例25 5 . 001. 002. 0 14. 09 . 001. 0 11. 002. 01 A 234 例26 . 6)(. 211 123 321 AA证明：设 235 应用 23

60、6 对角占优矩阵 237 对角占优矩阵 238 第四章 Hermite二次型二次型 239 第一节 H阵、正规阵 nHermite二次型与Hermite矩阵 n标准形 n惯性定理（唯一性） n正定性 240 Hermite矩阵、 Hermite二次型 数定义一复变量、复值函设, nn CA ,)( 1, ji n ji ij H xxaAXXXf T n xxxX),( 21 其中， 可以证明： AARxxxfCx H nj ),(, 21 241 Hermite矩阵、 Hermite二次型 , () H HermiteH Hermite AAA f X 矩阵阵若称 是，简称。 这时的称为是二