2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系学案北师大版

1、2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系学案北师大版2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系学案北师大版年级：姓名：8.5垂直关系必备知识预案自诊知识梳理1.直线与平面垂直图形条件结论判定ab,b(b为内的一条直线)aam,an,m,n,aab,b性质a,aba,b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的,那么这两个平面垂直l,l性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的,那么这条直线与

2、另一个平面垂直,=a,b,ba3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角的范围:0,90.4.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角.(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱的射线,则两射线所成的角叫作二面角的平面角.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条

3、直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()2.(2020黑龙江大庆高三三模)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是“lm,且ln”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.

4、充分必要条件d.既不充分又不必要条件3.(2020湖南湘潭模拟)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()a.若mn,n,则mb.若m,则mc.若m,n,n,则md.若mn,n,则m4.(2020新高考全国1,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为o),地球上一点a的纬度是指oa与地球赤道所在平面所成角,点a处的水平面是指过点a且与oa垂直的平面.在点a处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点a处的纬度为北纬40,则晷针与点a处的水平面所成的角为()a.20b.40c.50d.905.(201

5、9北京,文13)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.关键能力学案突破考点证明空间线面垂直【例1】(2020河北张家口二模,文18)如图,在三棱锥p-abc中,pb平面abc,平面pac平面pbc,pb=bc=2,ac=1.(1)证明:ac平面pbc;(2)求点c到平面pba的距离.思考证明线面垂直的常用方法有哪些?解题心得证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另

6、一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.对点训练1(2018全国2,文19)如图,在三棱锥p-abc中,ab=bc=22,pa=pb=pc=ac=4,o为ac的中点.(1)证明:po平面abc;(2)若点m在棱bc上,且mc=2mb,求点c到平面pom的距离.考点证明空间两条直线垂直【例2】(2020湖南湘潭三模,文17)如图,已知四棱锥p-abcd的底面为矩形,pa平面abcd,ab=3,ad=ap=4,e为pd的中点.(1)证明:aepc.(2)若m为线段bc上一点,且bm=1,求点m到平面pcd的距离.思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法?解题心得1.证明线线垂直的常用方法(1)利

7、用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.对点训练2在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,bad=bcd=90,adc=60,ad=cd且bb1平面abcd,bb1=2ab=2.(1)证明:acb1d;(2)求四棱锥c1-b1bd的体积.考点证明空间两个平面垂直【例3】(2020河北唐山一模,文19)如

8、图,三棱柱abc-a1b1c1的底面为等边三角形,且aa1底面abc,ab=22,a1a=3,d,e分别为ac,a1c1的中点,点f在棱cc1上,且fc=1.(1)证明:平面bef平面bdf;(2)求点d到平面bef的距离.思考证明面面垂直的常用方法有哪些?解题心得1.面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.2.三种垂直关系的转化由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化

9、,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.对点训练3(2019全国3,文19)图1是由矩形adeb,rtabc和菱形bfgc组成的一个平面图形,其中ab=1,be=bf=2,fbc=60.将其沿ab,bc折起使得be与bf重合,连接dg,如图2.(1)证明:图2中的a,c,g,d四点共面,且平面abc平面bcge;(2)求图2中的四边形acgd的面积.考点垂直关系中的存在问题【例4】如图,四边形abcd为梯形,abcd,pd平面abcd,bad=adc=90,

10、dc=2ab=2,da=3.(1)线段bc上是否存在一点e,使平面pbc平面pde?若存在,请给出bece的值,并进行证明;若不存在,请说明理由.(2)若pd=3,线段pc上有一点f,且pc=3pf,求三棱锥a-fbd的体积.思考探索性问题的一般处理方法是什么?解题心得线面垂直中的存在问题同“平行关系中的存在问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,再给出符合要求的证明.对点训练4(2020辽宁葫芦岛联考)如图1,在等腰梯形abcd中,ab=3,ad=2,cd=5.过点a作aecd,交cd于点e.将ade沿线段ae折起,使得点d在平面abce内的投影恰好是点e,

11、如图2.(1)若点m为棱ad上任意一点,证明:平面mbc平面deb.(2)在棱bd上是否存在一点n,使得三棱锥e-anc的体积为439?若存在,确定n点的位置;若不存在,请说明理由.1.转化思想:垂直关系的转化2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.3.线面角、二面角求法根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角

12、,步骤是作(找)证求(算)三步曲.也可用射影法:设斜线段ab在平面内的射影为ab,ab与所成角为,则cos=|ab|ab|;设abc在平面内的射影三角形为abc,平面abc与所成角为,则cos=sabcsabc.1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.在高考立体几何题目中,证明线、面平行或垂直关系是极易被扣分的,原因是存在着逻辑推理的不严谨性,或者表述上的不严谨性

13、.那么如何避免被扣分呢?需要对概念、公理、定理理解透彻.不要以主观臆断代替严密的科学论证.1.加强对基本概念理解.比如对异面直线的理解,两条直线不在同一个平面是简单的定义,如何才能不在同一个平面呢,哪些条件才能保证两条直线不在一个平面,只要直线不平行,并且不相交,那么就异面,对于不平行的条件,在平面几何中我们已经知道,如何能保证不相交呢,可以把其中一条直线放在一个平面,看另外一条直线和平面是否平行,这样对异面直线的概念就理解到位了.2.加强对公理、定理应用条件的理解.比如线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.这个定理它是五个条件推出一个结论,哪五个

14、条件?若平面外的直线是a,内的两条直线b,c相交于一点a,五个条件是:ab,ac,b在平面内,c在平面内,b和c相交于一个点a,五个条件推出了a,你要漏掉其中一个,便被扣分.再比如直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.它是三个条件推出一个结论.三个条件分别为:a在平面外,b,ab,结论是a,最容易漏掉的条件是:a在平面外,有的同学自以为它明明在平面外,我为什么还要写它!8.5垂直关系必备知识预案自诊知识梳理1.任意mn=oabab2.(1)直二面角(2)垂线交线b4.(1)两个半平面(2)垂直考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.a设l

15、,m,n均为直线,其中m,n在平面内,若l,则lm,且ln,反之若lm,且ln,当mn时,推不出l,故“l”是“lm,且ln”的充分不必要条件,故选a.3.c由mn,n,可得m或m与相交或m,故a错误;由m,可得m或m与相交或m,故b错误;由m,n,可得mn,又n,所以m,故c正确;由mn,n,可得m或m与相交或m,故d错误.4.b由题意知,如图,圆o为赤道所在的大圆.圆o1是在点a处与赤道所在平面平行的晷面.o1c为晷针所在的直线.直线oa在圆o所在平面的射影为直线ob,点b在圆o上,则aob=40,coa=50.又cao=90,oca=40.晷针与点a处的水平面所成角为40,故选b.5.若

16、l,m,则lm关键能力学案突破例1(1)证明pb平面abc,ac平面abc,pbac.取pc的中点d,连接bd.pb=bc,bdpc.平面pac平面pbc,平面pac平面pbc=pc,bd平面pbc,bd平面pac.又ac平面pac,bdac.pbbd=b,ac平面pbc.(2)解易知平面pba平面abc,ab为交线,在rtabc中,过点c作cmab,交ab于点m,则cm平面pba.又acbc=abcm,cm=25=255,即点c到平面pba的距离为255.对点训练1解(1)因为ap=cp=ac=4,o为ac的中点,所以opac,且op=23.连接ob,因为ab=bc=22ac,所以abc为等

17、腰直角三角形,且obac,ob=12ac=2.由op2+ob2=pb2知,opob.由opob,opac知po平面abc.(2)作chom,垂足为h.又由(1)可得opch,所以ch平面pom.故ch的长为点c到平面pom的距离.由题设可知oc=12ac=2,cm=23bc=423,acb=45.所以om=253,ch=ocmcsinacbom=455.所以点c到平面pom的距离为455.例2(1)证明因为pa平面abcd,dc平面abcd,所以pacd.因为底面abcd为矩形,所以adcd.又paad=a,所以cd平面pad.因为ae平面pad,则aecd.因为ad=ap=4,e为pd的中点

18、,所以aepd,且cdpd=d,所以ae平面pcd,又pc平面pcd,则aepc.(2)解因为pdcd,所以spcd=12pdcd=62,vp-cdm=13smcdpa=6.设点m到平面pcd的距离为h,因为vm-pcd=vp-cdm,所以13h62=6,所以h=322.对点训练2(1)证明由bad=bcd=90,ad=cd,易知abdcbd.所以ab=cb,adb=cdb.又ad=cd,所以acbd.因为bb1平面abcd,所以acbb1,所以ac平面bb1d.又b1d平面bb1d,所以acb1d.(2)解因为cc1bb1,所以点c1到平面b1bd的距离与点c到平面b1bd的距离相等.又已知

19、bb1=2ab=2,adc=60,根据(1)的结论知点c到平面b1bd的距离为d=32,bd=2,所以b1bd的面积s=1222=2,所以四棱锥c1-b1bd的体积v=13232=33.例3(1)证明因为aa1平面abc,所以aa1bd.因为abc为等边三角形,d为ac的中点,所以bdac.又aa1ac=a,所以bd平面acc1a1,所以bdef.在def中,de=3,ef=6,df=3,满足de2=df2+ef2,所以efdf.又bddf=d,所以ef平面bdf.又因为ef平面bef,所以平面bef平面bdf.(2)解作dmbf,垂足为m,由(1)可知平面bef平面bdf,dm平面bef,平面bef平面bdf=bf,所以dm平面bef,所以dm即为点d到平面bef的距离.由(1)得bddf,在rtbdf中,bd=6,df=3,bf=3,故dm=bddfbf=2,即点d到平面bef的距离为2.对点训练3(1)证明由已知得adbe,cgbe,所以adcg,故ad,cg确定一个平面,从而a,c,g,d四点共面.由已知得abbe,abbc,bebc=b,故ab平面bcge.又因为ab平面abc,所以平面ab