高中数学 第一单元 基本初等函数（Ⅱ）疑难规律方法学案

1、学必求其心得，业必贵于专精第一单元 基本初等函数(）1同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析,体会其转化作用,展现同角三角函数关系巧应用。一、知一求二型例1 已知sin ,，则tan _。解析由sin ，且sin2cos21，得cos ，因为，可得cos ,所以tan 2.答案2点评已知某角的弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.二、“1”的妙用例2 证明：.证明因为sin2xcos2x1，所以1（sin2xco

2、s2x）3，1(sin2xcos2x)2，所以。即原命题得证。点评本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系,对“1进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.三、齐次式型求值例3 已知tan 2，求值：(1）_；（2)2sin23cos2_.解析(1）因为cos 0，分子分母同除以cos ,得1.(2）2sin23cos2,因为cos2 0,分子分母同除以cos2，得1.答案（1)1(2)1点评这是一组在已知tan m的条件下,求关于sin 、cos 的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin 、cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式。（2)因为cos 0，所以分子

3、、分母可同时除以cosn （nn）。这样可以将所求式化为关于tan 的表达式，整体代入tan m的值求解。2单调不“单调”,应用很“奇妙三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容。利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等。下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助。一、信心体验-比较大小例1 比较cos ，sin，cos 的大小。解因为sin cos（）cos ，coscos ,又0cos cos ，即cos sin cos .点评比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性,一般按下列步骤进行.将不同名的三角函数化为

4、同名三角函数;用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小。由单调性得出各值的大小关系.二、重拳出击-求解最值例2 已知f(x）sin(2x），xr。求函数f(x）在区间，上的最小值和最大值.解因为当2k2x2k(kz），即kxk（kz）时，函数f(x）sin（2x)单调递增；当2k2x2k(kz），即kxk（kz）时，函数单调递减，所以f(x）sin(2x)在区间,上为增函数，在区间，上为减函数.又f()0，f（)，f（)1。故函数f(x）在区间，上的最大值为，最小值为1。点评求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是考试中经常出现的考点，解题过程中要注意将x看作一个整体。利用三角函数的单

5、调性求最值是三角函数基础知识的综合运用。三、触类旁通-解不等式例3 若0cos ，求的取值范围.解当时,不等式成立,当时，不等式不成立。当0，）（，2时，cos 0，则原不等式可化为tan ，根据正切函数的单调性得，;同理可得,当（，)时，.综上，的取值范围是（，）。点评利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解.3善用数学思想-巧解题一、数形结合思想例1 在（0，2)内,使sin xcos x成立的x的取值范围是_。解析在同一坐标系中画出ysin x，ycos x,x（0，2)的图象如图.由图知，x（，）。答案（，）点评求解三角函数的方程、不等式时

6、,通常利用函数的图象使问题变得更简单.二、分类讨论思想例2 证明：（1)ncos ，nz.证明当n为偶数时,令n2k，kz,左边cos .右边（1）2kcos cos ，左边右边。当n为奇数时,令n2k1，kz，左边cos 。右边（1）2k1cos cos ，左边右边。综上所述，(1)ncos ，nz成立.点评解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简,如果被化简式子中的角是k(kz）的形式，往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin(k）(1)ksin (kz）；cos(k）(1)kcos （kz)；sin（k）（1）k1sin (kz)；cos（k)（1）kcos (kz）等

7、。三、函数与方程的思想例3 函数f（x)cos xsin2x（x)的最大值是_。解析f（x)cos xsin2xcos2xcos x1(cos x)2，设cos xt，因为x，所以由余弦函数的单调性可知,cos x,即t，又函数f（t)（t）2在,上单调递增，故f(t）maxf（)，所以f(x）的最大值为.答案点评遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值。四、转化与化归思想例4 比较下列每组数的大小.(1）tan 1，tan 2，tan 3；（2)tan(）与tan（).解(1)因为tan 2tan（2），tan 3tan（3），又因为2，所以20.因为3，所以30。显然231

8、，而ytan x在(，)内是增函数，所以tan（2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1。（2）tan（）tan,tan（）tan。因为0tan，即tan(）tan（）.点评三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想。4三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象。下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会。一、定义域例1 函数y的定义域为_。

9、解析由题意得cos x,所以2kx2k，kz。即函数的定义域是2k,2k，kz。答案2k，2k，kz点评解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式,然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.二、值域与最值例2 函数ycos(x),x(0，的值域是_。解析因为0x，所以x，f(x）cos x的图象如图可知:cos cos（x）cos ，即y0,然后把x看做一个整体，根据ysin x的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间。四、周期性与对称性例4 已知函数f（x)sin（2x)（0）的最小正周期

10、为，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程是()a.x b。x c。x d。x解析由t，得1，所以f（x）sin（2x)，由2xk，kz，解得f(x)的对称轴为x，kz,所以x为f（x)的一条对称轴，选c。答案c点评解本题的关键是先由周期公式求得的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地,求解对称中心也有两种方法。五、奇偶性例5若函数f(x)sin(0，2)）是偶函数，则等于（)a。 b。 c. d。解析函数是偶函数,所以函数关于x0对称；由k可得函数的对称轴方程是x3k，kz，令3k0，解得3k，kz，

11、又0，2)，故.答案c点评解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数函数图象关于y轴对称;奇函数函数图象关于原点对称.5数形结合百般好，形象直观繁琐少 构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点,它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题。一、确定函数的值域例1定义运算ab为ab例如，121，则函数f（x)sin xcos x的值域为(）a。1,1 b.c. d.解析根据题设中的新定义，得f(x）作出函数f(x）在一个周期内的图象,如图可知函数f（x)的值域为。答案c点评有关三角

12、函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解。二、确定零点个数例2函数f（x)xsin x在区间0，2上的零点个数为_.解析在同一直角坐标系内,画出yx及ysin x的图象，由图象可观察出交点个数为2.答案2点评有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解。三、确定参数的值例3已知f（x）sin(x)（0），ff，且f(x）在区间上有最小值，无最大值，则_。解析f(x）sin（0)且ff，又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示，f(x)在处取得最小值。2k（kz），8k（kz）。0，当k1时，8；当k2时，16，此时在

13、区间内已存在最大值。故.答案点评本小题考查对yasin(x）的图象及性质的理解与应用,求解本题应注意两点：一是f（x)在处取得最小值；二是在区间内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题。四、判断函数单调性例4设函数f(x）(xr），则f(x）（)a.在区间上是增函数b.在区间上是增函数c.在区间上是减函数d。在区间上是减函数解析作出函数y的图象如图所示.由图象可知b正确.答案b点评形如f(x）asin（x)k(a0，0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解。五、确定参数范围例5当0x1时，不等式sin kx恒成立，则实数k的取值范围是_。解析作出函数ysin ，ykx的函数图象，如图所示。当k0时，显然成立;当0k1时，由图象可知：sin kx在x0,1上成立。综上所述,k1.答案(，1点评数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断。本题讨论ykx与ysin 的图象关系时,不要忘记k0的情况。六、研究方程的实根例6已知方程sink在0x上有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围,并求x1x2的值.解在同一坐标系内作出函数y1sin(0x)与y2k