高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精11。2弧 度 制角度制与弧度制提出问题问题1：在角度制中,把圆周等分成360份，其中的一份是多少度?提示：1.问题2：半径为1的圆的周长是2,即周长为2时，对应的圆心角是360，那么弧长为时，对应的圆心角是多少？提示：180.问题3：在给定半径的圆中,弧长一定时，圆心角确定吗？提示：确定导入新知1角度制与弧度制(1)角度制定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角:周角的作为一个单位(2）弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角2任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0

2、.3角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.化解疑难角度制和弧度制的比较（1）弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制(2）1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同(3)无论是以“弧度”还是以“度为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值（4）用“度作为单位度量角时，“度”(即“）不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.角度与弧度的换算提出问题问题1:周角是多少度？是多少弧度？提示:360，2。问题2:半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？提示：180，.问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位

3、制，那么它们之间如何换算?提示：180.导入新知1弧度与角度的换算角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.302.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度030456090120135150180弧度0化解疑难角度与弧度互化的原则和方法（1)原则：牢记180 rad，充分利用1 rad，1 rad进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad;nn rad。弧度制下的扇形的弧长及面积公式导入新知扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，（02）为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llr扇

4、形的面积sslrr2化解疑难扇形的弧长及面积公式的记忆（1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形:|lr|。(2)扇形的面积公式slr与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高），可以类比记忆角度与弧度的换算例1把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1）72；(2)300;(3)2;（4）。解（1)7272；（2)300300；(3)22；(4）40。类题通法角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到:度数弧度数，弧度数度数活学活用已知15，,1，105,，试比较，的大小答案：扇形的弧长公式及面积公式的应用例2(1）已知扇形的

5、周长为8 cm,圆心角为2，则扇形的面积为_ cm2。(2)已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长,那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少?解(1)4（2)设扇形的弧长为l，由题意得2r2rl，所以l2（1）r，所以扇形的圆心角是2（1）,扇形的面积是rl(1)r2。类题通法弧度制下涉及扇形问题的攻略（1)明确弧度制下扇形的面积公式是slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角）(2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组）求解注意:运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的

6、前提是为弧度活学活用已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？答案：r cm时，2，扇形面积最大,最大面积为 cm2。用弧度制表示角的集合例3用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界）的角的集合解（1）如题图，330角的终边与30角的终边相同,将30化为弧度，即，而7575，终边落在阴影部分内（不包括边界)的角的集合为.(2）如题图，30,210，这两个角的终边所在的直线相同,因此终边在直线ab上的角为k，kz，又终边在y轴上的角为k，kz，从而终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为。类题通法用弧度制表示角应关注的三点（

7、1）用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算注意单位要统一（2）在表示角的集合时，可以先写出一周范围（如，02）内的角,再加上2k，kz。（3）终边在同一直线上的角的集合可以合并为x|xk，kz；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为。在进行区间合并时，一定要做到准确无误活学活用以弧度为单位，写出终边落在直线yx上的角的集合答案：k，kz典例若角的终边与角的终边关于直线yx对称，且（4，4),则_。解析如图所示,设角的终边为oa,oa关于直线yx对称的射线为ob，则以ob为终边且在0到2之间的角为,故以ob为终边的角的集合为2k，kz。（4,4

8、），42k4（kz），k（kz）kz，k2，1,0,1，.答案，多维探究在弧度制下,常见的对称关系如下（1）若与的终边关于x轴对称，则2k（kz)；(2)若与的终边关于y轴对称，则(2k1)(kz)；(3）若与的终边关于原点对称，则(2k1)（kz）；(4)若与的终边在一条直线上,则k(kz）活学活用1若和的终边关于x轴对称，则可以用表示为（）a2k (kz)b2k （kz)ck (kz）dk （kz）答案:b2在平面直角坐标系中，的终边与的终边分别有如下关系时，求.(1）若,的终边关于x轴对称；（2）若，的终边关于y轴对称；（3）若，的终边关于原点对称;(4)若，的终边关于直线xy0对称答案

9、：(1）2k,kz（2)2k，kz(3)2k,kz(4)2k,kz随堂即时演练1下列命题中,错误的是（）a“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位b1的角是周角的,1 rad的角是周角的c1 rad的角比1的角要大d用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关答案：d2若2 rad，则的终边在()a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限答案：c3135化为弧度为_，化为角度为_答案:6604已知半径为12 cm，弧长为8 cm的弧，其所对的圆心角为,则与角终边相同的角的集合为_答案:5设角570，。(1）将用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；（2)将用角度制表示出来,并在7200之间找出与

10、它有相同终边的所有角答案：(1）；在第二象限；（2）108；在7200之间与有相同终边的角的大小为612和252。课时达标检测一、选择题1下列命题中,正确的是（)a1弧度是1度的圆心角所对的弧b1弧度是长度为半径长的弧c1弧度是1度的弧与1度的角之和d1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角答案：d21 920化为弧度数为（）a.b.c. d.答案：d3.是(）a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角答案:b4圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()a。 b。c. d2答案：c5集合p|2k(2k1）,kz,q44，则pq等于()ab|4，或0c44d

11、|0答案：b二、填空题6用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_答案：|2k2k，kz7如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的_倍答案:38若角的终边与的终边相同，则在0，2上，终边与的终边相同的角有_答案：，三、解答题9已知800。（1）把改写成2k（kz，02）的形式，并指出是第几象限角;(2)求，使与的终边相同，且.解：（1）8003360280，280，800（3）2.与角终边相同，是第四象限角(2）与终边相同的角可写为2k,kz的形式，而与的终边相同，2k，kz.又，2k，kz，解得k1，2。10如图，动点p，q从点a（4,0）出发，沿圆周运动，点p按逆时针方向每秒钟转弧度，点q按顺时针方向每秒钟转弧度，求p，q第一次相遇时所用的时间及p，q点各自走过的弧长解：设p，q第一次相遇时所用的时间是t,则tt2，所以t4(s），即p，q第一次相遇时所用的时间为4 s.p点走过的弧长为4,q点走过的弧长为4。11如图，已知扇形aob的圆心角为120，半径长为6，求弓形acb的面积解