高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学案（含解析）2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精1.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例提出问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml溶液的圆柱形易拉罐问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可问题2：如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x,列出圆柱表面积s2x2（x0)，求s最小时,圆柱的半径、高即可1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路 1在求实际问题的最大（小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去2在解决实际优化问题时

2、，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围利用导数解决面积、体积最值问题如图，acb45，|bc3，过动点a作adbc,垂足d在线段bc上且异于点b，连接ab,沿ad将abd折叠,使bdc90（如图所示)当bd的长为多少时，三棱锥a。bcd的体积最大？在如图所示的abc中,设|bdx(0x3)，则|cd|3x.由adbc,acb45知，adc为等腰直角三角形，所以|ad|cd|3x。由折叠前adbc知，折叠后，如图所示,addc，adbd，且bddcd,所以ad平面bcd.又bdc90，所以sbcdbdcd|x（3x)于是va。bcdadsbcd（

3、3x）x（3x）（x36x29x）令f(x)(x36x29x），由f（x）(x1)(x3)0，且0x3，解得x1。当x(0,1）时，f(x）0；当x（1，3）时，f(x)0.所以当x1时，f（x）取得最大值f（1），即va。bcd取得最大值.故当bd1时,三棱锥abcd的体积最大利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式yf（x）（2)求函数f(x)的导数f(x）,并解方程f（x）0，即求函数可能的极值点（3）比较函数f(x）在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f（x)的最大值或最小值（4)根据实际问题的意义给出答案如右图，要设计一矩形广告牌

4、,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm。怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告牌面积最小？解：设广告牌的高和宽分别为x cm、y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25。两栏面积之和为2(x20）18 000，由此得y25.广告牌面积为s(x）x25x，s(x）2525.令s（x）0，得x140;令s(x）0，得20x140。函数s（x)在(140，）上单调递增，在(20，140)上单调递减,s(x)的最小值为s(140）当x140时，y1

5、75，即当x140，y175时，s(x）取得最小值24 500，故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时,可使广告牌的面积最小.利用导数解决费用最省问题为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位:万元)与隔热层厚度x（单位：cm)满足关系：c（x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1）求k的值及f(x)的表达式(2)隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？并求出最小值(1)由题设,每

6、年能源消耗费用为c(x)(0x10),再由c（0)8，得k40，因此c(x）.而建造费用为c1（x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x）20c（x)c1(x)206x6x（0x10)(2)f（x）6，令f(x）0，即6，解得x5或x（舍去）当0x5时,f（x）0;当5x10时，f（x）0，故x5是f(x）的最小值点，对应的最小值为f（5)6570.当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元解决优化问题应关注两点(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域(2）一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f（x)在给定区间内只有一个极

7、值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f（x）0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本p(元）关于速度v（千米/时）的函数关系是pv4v315v。(1）求全程运输成本q(元）关于速度v的函数关系式（2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值解：(1）qpv4v315v400v26 000(0v100）(2）q5v。令q0，则v0(舍去）或v80。当0v80时,q0；当80v100时，q0，v80千米/时时，全程运输

8、成本取得极小值，即最小值，且qminq(80)(元）。利用导数解决利润最大问题某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(单位：百万元）,可增加销售额约为t25t（单位：百万元，且0t5）(1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大？(2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x（单位：百万元),可增加的销售额约为x3x23x(单位：百万元）请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大(注：收益销售额投入）(1）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)

9、百万元，则有f(t）(t25t）tt24t(t2）24(0t3），当t2时，f（t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大（2）设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为（3x)百万元,又设由此获得的收益是g（x)，则g(x)3x34x3(0x3），g（x）x24。令g(x）0，解得x2(舍去）或x2.当0x2时，g（x)0；当2x3时，g(x)0，故g（x）在上是减函数当x2时，g（x）取最大值，即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大利润最大问题的解决方法利润问题是经济生活中最为常见的问题一般来说,利润等于总收入减去总

10、成本，而总收入等于产量乘价格由此可以得到利润与产量的函数关系式,进而用导数求最大利润某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨）与每吨产品的价格p（元/吨)之间的关系式为p24 200x2，且生产x吨的成本为r50 000200x（元)问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解：依题意,每月生产x吨时的利润为f（x）x(50 000200x）x324 000x50 000(x0）f（x）x224 000，令f（x）0，解得x1200,x2200（舍去）当0x0,当x200时f（x)0，x200时,f（x）取最大值,最大值为f（200）200324 00020050 0

11、003 150 000。故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为315万元（12分）如下图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底ab是半椭圆的短轴，上底cd的端点在椭圆上，记cd2x,梯形的面积为s.（1)求面积s以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；(2）求面积s的最大值 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a处，乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的b处，乙厂到河岸的垂足d与a相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站c,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问:供水站c建在岸边何

12、处才能使水管费用最省？解：如右图所示，依题意，点c在线段ad上，设c点距d点x km，则ac50x，因为bd40，所以bc .设总的水管费用为y元，则y3a（50x)5a（0x50),y3a.令y0,解得x130,x230(舍去）当0x30时，y0;当30x50时，y0，所以当x30时,y取得最小值，此时ac503020(km)，即供水站建在a，d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（)a6 mb8 mc4 m d2 m解析：选c设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为s m2,则有s4x

13、hx24xx2x2.s2x，令s0得x8,因此h4（m)2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（)a13万件 b11万件c9万件 d7万件解析：选c因为yx281,所以当x9时,y0，所以函数yx381x234在（9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9时函数取最大值3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_解析：设圆柱形水桶的表面积为s,底面半径为r（r0）,则水桶的高为,所以sr22rr2(r0)，求导数,得s2r，令s0，解得r3。当0r3时

14、，s0；当r3时，s0,所以当r3时,圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省答案:34某产品的销售收入y1（万元)是产量x（千台)的函数:y117x2(x0),生产成本y2(万元）是产量x（千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台解析：设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0），y6x236x6x(x6)令y0,解得x0或x6.经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点答案：65一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形abcd（如下图所

15、示，其中o为圆心,c,d在半圆上），设boc,木梁的体积为v（单位:m3),表面积为s(单位：m2）(1)求v关于的函数表达式（2)求的值，使体积v最大（3)问：当木梁的体积v最大时，其表面积s是否也最大？请说明理由解：（1）等腰梯形abcd的面积sabcdsin sin cos sin ，.故木梁的体积v（)10（sin cos sin )，。(2）由(1)知v（）10(2cos2cos 1）10(2cos 1)(cos 1），。令v(）0,得cos 或cos 1（舍去)，。当时，cos 1，v()0，v(）为增函数；当时，0cos 0，右侧l(p）0，所以l(30)是极大值，根据实际问题的

16、意义知,l(30）是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元5某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁,当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为（)a32米,16米 b30米，15米c40米，20米 d36米,18米解析：选a设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米,其他两边的边长均为y米，则xy512,则所用材料lx2y2y（y0)，求导数，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去）当0y16时，l0；当y16时，l0。所以y16是函数l2y（y0)的极小值点,也是最小值点此时，x32。所以当堆料场的长为3

17、2米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省二、填空题6已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为_米解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y2（x0），所以y2。令y0,解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y0;当x200时，y0。所以当x200时，y取得最小值,故其周长至少为800米答案：8007要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大，则高为_ cm。解析：设该漏斗的高为x cm，体积为v cm3，则底面半径为 cm，vx(202x2)（400xx3）（0x20），则v（4003x2）令v0，解得x1，x2（舍去）当0x时,v0；当x2

18、0时,v0。所以当x时,v取得最大值答案：8如下图,内接于抛物线y1x2的矩形abcd，其中a，b在抛物线上运动，c，d在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析：设cdx，则点c的坐标为，点b的坐标为，矩形abcd的面积sf（x)xx，x(0，2)由f（x）x210,得x1(舍去)，x2，x时，f(x）0，f(x)是递增的,x时，f（x)0,f（x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.答案：三、解答题9某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数式为y3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解:由题意得,本年度每辆车的投入成本为10（1x)，每辆车的出厂价为13(10。7x），年利润为f(x)y（30。9x）3 2403 240（0。9x34.8x24.5x5),则f（