高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业（九）生活中的优化问题举例 2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精课时作业（九)生活中的优化问题举例a组基础巩固1有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为()a18b10c8 d1解析：设正方形的边长为x，则v（82x）（52x）x2（2x313x220x),v4（3x213x10),令v0,得x1，所以当x1时,容积v取最大值为18.答案：d2若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为()a2r2 br2c4r2 d.r2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为r，母线长为l，则rrcos，l2rsin，s侧2rcos2rsin4r2sinco

2、s。s4r2（cos2sin2)4r2cos20，.当，即rr时，s侧最大且(s侧）max2r2.答案：a3用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒的容积最大时,在四角截去的正方形的边长为（）a6 b8c10 d12解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为v cm3,由题意，得vx(482x)2（0x24)，v12（24x）（8x)令v0，则在（0，24)内有x8,故当x8时，v有最大值答案：b4某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为p元，销售为q，销量q（单位：件)

3、与零售价p（单位:元）有如下关系：q8 300170pp2，则最大毛利润为（毛利润销售收入进货支出）()a30元 b60元c28 000元 d23 000元解析:设毛利润为l(p）,由题意知，l（p）pq20qq（p20）(8 300170pp2)(p20）p3150p211 700p166 000，所以l（p)3p2300p11 700。令l(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，l（30)23 000.根据实际问题的意义知,l(30)是最大值，即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元答案：d5要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，

4、则它的长为_cm，宽为_cm,高为_cm时，可使表面积最小解析：设底面两邻边长分别为x cm,2x cm,则高h.表面积s4x22（x2x）4x2(x0)s8x(x327）令s0，解得s在(0，）内的唯一可能的极值点为x3，x3时函数取极值,且就是它的最小值答案：6346做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为_dm时最省料解析：设底面边长为x dm，则高h，其表面积为sx24xx2，s2x,令s0，得x8,则高h4(dm)答案：47一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）当帐篷的顶点o到底面中心o1的距离为_时，帐篷的体积最大解

5、析：设oo1为x m，底面正六边形的面积为s m2，帐篷的体积为v m3。则由题设可得正六棱锥底面边长为(m），于是底面正六边形的面积为s6()2(82xx2)帐篷的体积为v(82xx2）(x1)(82xx2)(82xx2）（1612xx3)，求导数,得v（123x2）令v0,解得x2或x2（不合题意，舍去)当1x2时，v0;当2x4时,v0.所以当x2时，v最大答案：2 m8一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元,问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小？解析:设轮船速度为x(x0）千

6、米/时的燃料费用为q元,则qkx3，由6k103，可得k。qx3.总费用yx2。y。令y0，得x20。当x(0，20)时，y0，此时函数单调递减,当x(20，)时，y0，此时函数单调递增当x20时，y取得最小值,此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小b组能力提升9统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升）关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？解析：（1)当x40时，

7、汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时,要耗油2.517.5（升)(2）当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x)升,依题意得h(x)x2（0x120)，h(x)（0x120)令h(x）0，得x80。因为x（0，80)时，h(x）0，h（x)是减函数；x（80，120）时，h（x）0，h（x）是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h（80)11.25（升）因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11。25升10为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要

8、建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x（单位:cm）满足关系：c(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）求k的值及f(x)的表达式；（2)隔热层修建多厚时，总费用f（x)达到最小，并求最小值解析：（1)设隔热层厚度为x cm，由题设,每年能源消耗费用为c(x）,再由c(0)8，得k40，因此c（x）.而建造费用为c1(x）6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）20c(x）c1（x)206x6x(0x10）(2）f(x)6。令f(x）0,即6，解得x5或x（舍去)当0x5时，f（x）0；当5x10时，f(x）0。故x5时是f（x)的最小值