高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2.4 切割线定理 2.5 相交弦定理学案 北师大版-1

1、学必求其心得，业必贵于专精24&2.5切割线定理相交弦定理对应学生用书p231切割线定理(1）文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项(2)符号语言：从o外一点p引圆的切线pt和割线pab，t是切点,则pt2papb。（3)图形语言：如图所示推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理）2相交弦定理(1）文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)符号语言：o的两条弦ab和cd相交于圆内的一点p，则papbpcpd.(3)图形语言：如图所示1由相交弦定

2、理知，垂直于弦的直径平分弦那么,直径被弦分成的两条线段与弦有何关系?提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项2如图，圆外一点p引圆的两条割线能否有paabpccd?提示:只有papc时才有papbpccd成立对应学生用书p23切割线定理的应用例1如图所示，o1与o2相交于a,b两点，ab是o2的直径，过a点作o1的切线交o2于点e，并与bo1的延长线交于点p。pb分别与o1,o2交于c，d两点求证:(1)papdpepc;（2）adae。思路点拨本题主要考查切割线定理的应用解题时由割线定理得papepdpb，再由切割线定理知pa2pcpb可得结论，然后由(1）进一步可证adae。精解详

3、析(1）pae，pdb分别是o2的割线，papepdpb。又pa,pcb分别是o1的切线和割线,pa2pcpb。由得papdpepc。(2）连接ad，ac,ed，bc是o1的直径，cab90。ac是o2的切线又由（1)知,aced。abed.又ab是o 2的直径,，adae。讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式1（湖北高考）如图，p为o外一点，过p点作o的两条切线，切点分别为a，b.过pa的中点q作割线交o于c，d两点若qc1,cd3,则pb .解析：由切割线定理，得qa2qcqd4qa2,

4、则pbpa2qa4。答案：4相交弦定理的应用例2如图，已知在o中,p是弦ab的中点，过点p作半径oa的垂线分别交o于c,d两点，垂足是点e.求证:pcpdaeao。思路点拨由相交弦定理知pcpdappb，又p为ab的中点,所以pcpdap2。在rtpao中再使用射影定理即可精解详析连接op，p为ab的中点，opab，appb。peoa，ap2aeao。pdpcpapbap2，pdpcaeao.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起,经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论2（湖南高考）如图,已知ab，bc是o的两条弦,aobc，ab，bc2，则o的半径等于 解析：设ao,bc的交点

5、为d，由已知可得d为bc的中点，则在直角三角形abd中,ad1，设圆的半径为r，延长ao交圆o于点e，由圆的相交弦定理可知bdcdadde，即(）22r1，解得r.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用例3如图所示，已知pa与o相切，a为切点，pbc为割线，弦cdap,ad、bc相交于e点,f为ce上一点，且de2efec。（1）求证：pedf；(2)求证：ceebefep.（3)若cebe32，de6,ef4，求pa的长思路点拨本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用解题时先证ceddef，同时利用平行关系可证（1）；然后证明defpea,结合相交弦定理可证（2)；最后由切割线定理可求p

6、a。精解详析(1）证明:de2efec，deecefed.def是公共角，ceddef。edfc.cdap,cp.pedf。(2）证明:pedf,defpea，defpea。depeefea，即efepdeea.弦ad，bc相交于点e，deeaceeb。ceebefep.（3）de2efec，de6,ef4，ec9。cebe32,be6.ceebefep,964ep.解得ep.pbpebe，pcpeec。由切割线定理得pa2pbpc.pa2。pa.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用3如图，e是o内两弦ab和cd的交点,直线ef

7、cb，交ad的延长线于点f，fc与圆交于点g。求证:(1）dfeefa；（2)efgcfe.证明:(1)efcb，defdcb.dcb和dab都是上的圆周角,dabdcbdef。dfeefa，dfeefa.(2)由（1）知：dfeefa，.即ef2fafd.由割线定理得fafdfgfc。ef2fgfc，即.又efgcfe，efgcfe.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用难度中档，是高考命题的热点内容考题印证(新课标全国卷）如图，p是o外一点,pa是切线，a为切点，割线pbc与o相交于点b，c,pc2pa，d为pc的中点，ad的延长线交o于点e。证明:(1)beec；（2）adde2pb

8、2.命题立意本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理自主尝试(1）连接ab，ac。由题设知papd,故padpda。因为pdadacdca，padbadpab，dcapab,所以dacbad，从而。因此beec.(2）由切割线定理得pa2pbpc.因为papddc，所以dc2pb，bdpb。由相交弦定理得addebddc，所以adde2pb2.对应学生用书p25一、选择题1.如图，已知o的两条弦ab，cd相交于ab的中点e，且ab4，dece3，则cd的长为(）a4b5c8 d10解析:选b设cex,则de3x.根据相交弦定理，得x(x3)2

9、2，x1或x4(不合题意，应舍去)则cd3115.2。如图，点p是o外一点，pab为o的一条割线,且paab，po交o于点c，若oc3，op5，则ab的长为(）ab2cd解析:选b设paabx，延长po交圆于点d。因为papbpcpd，oc3,op5,所以pc2，pd8.所以x2x16，所以x2.3如图，acb90，cdab于点d，以bd为直径的圆与bc交于点e，则(）acecbaddb bcecbadabcadabcd2 dceebcd2解析:选a在直角三角形abc中，根据直角三角形射影定理可得cd2addb，再根据切割线定理可得cd2cecb，所以cecbaddb。4如图，ca，cd分别切

10、圆o1于a,d两点，cb，ce分别切圆o2于b,e两点若160，265，判断ab，cd，ce的长度，下列关系正确的是()aabcecd babcecdcabcdce dabcdce解析：选a因为160，265，所以abc18012180606555，所以21abc,所以abbcac，因为ca，cd分别切圆o1于a，d两点，cb，ce分别切圆o2于b，e两点,所以accd，bcce，所以abcecd.故选a.二、填空题5如图，圆o是abc的外接圆，过点c的切线交ab的延长线于点d，cd2,ab3，则bd的长为 解析：由切割线定理得：dbdadc2，即db(dbba)dc2，db23db280，d

11、b4.答案：46如图，从圆o外一点p引圆o的切线pa和割线pbc，已知pa2，pc4,圆心o到bc的距离为，则圆o的半径为 解析：记圆o的半径为r.依题意得pa2pbpc，pb2，bcpcpb2,所以r2.答案：27如图，o的弦ed，cb的延长线交于点a，若bdae,ab4，bc2，ad3，则de ；ce 。解析:由切割线定理得abacadae,即463(3de），解得de5；易知，又aa，故abdaec，故bcebda90，.在直角三角形abd中，bd，ce2。答案：528.如图，已知圆中两条弦ab与cd相交于点f，e是ab延长线上一点，且dfcf,affbbe421。若ce与圆相切，则线段

12、ce的长为 解析：设bex，则fb2x，af4x,由相交弦定理得dffcaffb，即28x2，解得x,ae，再由切割线定理得ce2ebea，所以ce.答案：三、解答题9如图，p为圆o外一点，pa,pb是圆o的两条切线，a，b为切点,op与ab相交于点m，且点c是上一点求证：opcocm.证明：连接ob，由切线长定理，得papb,pmab，po平分apb。又pbob，在rtopb中，ob2opom,oboc,oc2opom，即，ocpomc，opcocm。10。如图，两个同心圆的圆心是o，大圆的半径为13，小圆的半径为5,ad是大圆的直径大圆的弦ab,be分别与小圆相切于点c,f.ad，be相交

13、于点g，连接bd。（1)求bd的长(2）求abe2d的度数(3）求的值解：（1)连接oc，因为ab是小圆的切线，c是切点，所以ocab,所以c是ab的中点因为ad是大圆的直径，所以o是ad的中点所以oc是abd的中位线所以bd2oc10.(2）连接ae。由(1)知c是ab的中点同理f是be的中点即ab2bc，be2bf，由切线长定理得bcbf.所以babe。所以baee。因为ed，所以abe2dabeebae180。(3）连接bo,在rtocb中，因为ob13，oc5，所以bc12，ab24。由（2）知obgobcoac。因为bgoagb,所以bgoagb.所以.11.如图，在rtbde中,b

14、de90，bc平分dbe交de于点c，accb交be于点a，abc的外接圆的半径为r。(1)若e30，求证：bcbdred。(2）若bd3，de4，求ae的长解：（1）证明：取ab的中点为o，abc是直角三角形,ab是斜边，o是外接圆的圆心，连接co，所以boco，bcoobc，因为bc是dbe的平分线，所以dbccba,所以ocbdbc，所以ocdb(内错角相等，两直线平行)，所以，把比例式化为乘积式得bdcedeoc，因为ocr，所以bdceder.因为d90，e30，所以dbe60,所以cbedbe30，所以cbee，所以cebc，所以bcbdred.（2）过点c作choe，垂足为h.bd3，de4，根