高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精31。1两角差的余弦公式提出问题问题1：当60，30时，cos cos 等于多少？提示：cos cos cos 60cos 30.问题2：cos 60cos 30cos（6030)成立吗？提示：不成立问题3：cos cos cos（)成立吗？提示：不一定问题4：单位圆中（如图），aox,box，那么a，b的坐标是什么？与的夹角是多少?提示:a(cos ，sin ），b（cos ，sin )与的夹角是。问题5：你能用几种方法计算的数量积？提示：|cos(）cos()（cos ，sin ）(cos ，sin )cos cos sin sin .问题6：根据上面的计算可以得

2、出什么结论？提示：cos（）cos cos sin sin .导入新知两角差的余弦公式公式cos（）cos_cos_sin_sin_简记符号c()使用条件，为任意角化解疑难1公式c(）的结构特点及适用条件（1）公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式（2）公式的适用条件公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的相当于公式中的角，相当于公式中的角。可用两角差的余弦公式展开，因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角2公式的巧记两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和给角求值问题例1求下列

3、各式的值（1)cos 75cos 15sin 75sin 195；（2）sin 46cos 14sin 44cos 76；（3)cos 15sin 15.解(1）cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin（18015）cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60。(2）sin 46cos 14sin 44cos 76sin（9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.（3）cos 60，sin 60,cos 15sin 15

4、cos 60cos 15sin 60sin 15cos（6015)cos 45。类题通法利用公式c()求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),正用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值活学活用1cos(x27）cos（x18）sin（x27）sin(x18）_.答案：2求的值答案：给值(式）求值问题例2(1）若sin sin ，cos cos ,则cos(）的值为(）a.b.c.d1(2),为锐角,cos（),cos（2)

5、,求cos 的值解（1）a（2)，为锐角，0.又cos（）0,0，02.又cos(2),02,sin(），sin(2），cos cos(2)(）cos（2)cos()sin(2）sin（）.类题通法给值求值的解题策略（1）已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角（2）由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有：()；;2（）（）；2(）(）活学活用若sin，cos,且0,求sin(）的值答案:给值求角问题例3(1）已知，均为锐角,且sin ，sin ，则_.（2)已知cos(），cos

6、()，且,，求角的值解(1)（2)由，cos（），可知sin（）.又,cos（)，sin（),cos 2cos（）（）cos()cos（）sin()sin（）1.，2，2，故。类题通法已知三角函数值求角的解题步骤（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；（3）结合三角函数值及角的范围求角活学活用已知，都是锐角，cos ,sin(）,求角的值答案：典例已知,为锐角,cos ，sin()，则cos _.解析因为为锐角，cos ，所以sin .因为，为锐角,所以0.又sin(），所以0或。由cos ，得，从而，于是co

7、s()，所以cos cos（)cos（）cos sin(）sin 。答案易错防范本题若不能利用sin（)将的范围进一步缩小为0或，误认为（0,），则会得出cos()，进而得出cos 或的错误答案成功破障已知，sin(),sin，求cos的值答案:随堂即时演练1cos(）cos sin（)sin 化简为()asin（2)bcos（2）ccos dcos 答案：c2设，若sin ，则cos（）a. b.c d答案：b3计算：cos(42）cos 18sin 42 sin（18）_.答案：4已知sin，则cos 的值为_答案：5若x,且sin x，求2cos2cos x的值答案：课时达标检测一、选择

8、题1cos 165的值是（)a。b.c. d。答案：d2满足cos cos sin sin 的一组，的值是（）a， b，c, d,答案:b3已知cos，0，则cos 等于()a. b。c. d。答案：a4已知cosm，则cos xcos（）a2m b2mc。m dm答案：c5已知abc的三个内角分别为a，b,c,若a(cos a，sin a)，b(cos b,sin b），且ab1，则abc一定是(）a直角三角形 b等腰三角形c等边三角形 d等腰直角三角形答案：b二、填空题6计算：（cos 75sin 75）_。答案：7已知sin sin sin 0和cos cos cos 0,则cos（）的值是_答案：8已知cos（),cos（），2，则cos 2_。答案:1三、解答题9已知向量a（cos ，sin ），b（cos ,sin )，|ab,求cos(）的值解:a(cos ,sin )，b（cos ,sin ）,ab（cos cos ，sin sin ）ab ，22cos（），cos（）。10已知sin ,cos ，、均为第二象限角，求cos（）的值解：由sin ，为第二象限角，cos 。又由cos ，为第二象限角,sin .cos(）cos cos sin sin 。11已知cos，sin，且,求co