高中数学 第三章 函数的应用单元质量评估

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 函数的应用单元质量评估 (90分钟120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的）1.(2017哈尔滨高一检测)函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0的零点个数为(）a。0b。1c.2d.3【解析】选c.当x0时，令x2+2x-3=0，得x=3;当x0时，令2+lnx=0，得x=e2.所以函数有两个零点.2。已知函数f(x）=ax-2(a0,a1),f(x0）=0且x0（0，1)，则(）a.a=2b。1a2d。a2【解析】选c.因为x0(0,1），所以f(0)f（1）0,即（12）

2、（a-2)0，所以a2。3.下列是关于函数y=f(x),xa，b的几种说法：若x0a，b且满足f（x0）=0,则(x0,0）是f(x)的一个零点；若x0是f(x）在a,b上的零点，则可用二分法求x0的近似值;函数f（x）的零点是方程f(x)=0的根,但f(x）=0的根不一定是函数f(x）的零点；用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.那么以上叙述中,正确的个数为(）a。0b.1c.3d.4【解析】选a.因为中x0a，b且f(x0)=0,所以x0是f（x)的一个零点，而不是（x0，0）,所以错误；中因为函数f（x)不一定连续,所以错误;中方程f(x）=0的根一定是函数f(x)的零点，所以错误；中

3、用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值,所以也错误.4.函数f（x）=x-2lnx在定义域内的零点的个数为(）a.0b。1c。2d。3【解析】选c.由题意可知f（x)的定义域为(0，+).在同一直角坐标系中画出函数y1=x2|(x0),y2=lnx(x0）的图象,如图所示:由图可知，函数f(x)在定义域内的零点个数为2。5.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f（x）-1没有零点的是()【解析】选c。把y=f（x）的图象向下平移1个单位后,只有选项c中的图象与x轴无交点。6.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1=5.06x0。15x2，l2=2x,其

4、中x为销售量(单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(）a。45。606万元b。45.6万元c.46。8万元d。46。806万元【解析】选b.设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,则总利润l=l1+l2=5。06x-0。15x2+2（15x)=-0。15x2+3。06x+30=-0。15（x10。2)2+45。606(0x15且xn)。所以当x=10时,l取得最大值,即获得最大利润,lmax=-0。15102+3.0610+30=45.6(万元)。【误区警示】本题易错在直接把l1和l2相加作为总利润,另外求最大值时要根据实际意义取整数值。7.(2017合肥高一

5、检测）若方程x2mx+3=0的两根满足一根大于1,一根小于1,则m的取值范围是（）a.（2，+)b.(0,2）c.(4，+)d。（0，4）【解析】选c.令f（x)=x2-mx+3，根据题意可知f(1）0,即1m+34。8。某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元67891011日均销售量/桶480440400360320280设销售单价在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元,且y=ax2+bx+c(a0).则该运营部要想获得最大利润,每桶水的销售单价在进价的基础上应增加()a。3元b。4元c。5元d。6.5

6、元【解析】选d.由题意可知每桶水的销售单价在进价的基础上增加x元时，日均销售量为48040(x+5-6)=(520-40x）桶。故y=x(52040x）200=-40x2+520x-200=-40（x2-13x)-200=-40x-1322+1490。易知当x=132时，ymax=1490。故该运营部要想获得最大利润,每桶水的销售单价在进价的基础上应增加6。5元.9.下列函数中,随着x的增大，其增大速度最快的是（)a.y=0。001exb。y=1000lnxc。y=x1000d。y=10002x【解析】选a。增大速度最快的应为指数型函数，又因为e2。7182，故y=0。001ex增大速度最快.

7、10。有浓度为90的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作,要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg2=0。3010， lg3=0.4771）（）a.19b。20c。21d。22【解析】选c.操作次数为n时的浓度为910n+1，由910n+110，得n+1-1lg910=-12lg3-121。8，所以n21.11.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0。500。992.013.98y0。990。010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是（）a.y=2xb。y=x2-1c。y=2x-2d。y=log2x【解析】选d。将x=0。5

8、0，y=-0。99代入计算,可以排除a；将x=2.01,y=0。98，代入计算,可以排除b，c。12。(2017成都高一检测）记x表示不超过x的最大整数，如1.3=1，-1.3=-2。记函数f(x）=x-x,若方程1f（x)=logax有且仅有3个实数根,则正实数a的取值范围为（）a。(3，4b。3，4）c。2，3）d。(2，3【解析】选b。由题意得:方程1f（x）=1+xx，所以方程1-f（x）=logax有且仅有3个实数根，即1+x-x=logax有且仅有3个实数根，即函数y=1+xx和函数y=logax的图象有三个不同的交点,分别作出两函数的图象，如图所示,要使得函数y=1+xx和函数y

9、=logax的图象有三个不同的交点,则loga31，且loga41,解得3a0,f（1)0，所以下一步可断定方程的根所在的区间为12,1。答案：12,114.（2017衡水高一检测）已知增函数f（x）=x3+bx+c，x1,1,且f12f-120,则f（x)的零点的个数为_.【解析】因为函数f(x）=x3+bx+c是增函数,所以函数f（x）=x3+bx+c至多有一个零点，又因为f12f-120，且函数f(x)连续,所以f(x)在-12,12上有零点,故f（x）的零点的个数为1。答案：115。(2017成都高一检测)某产品的总成本y（万元）与产量x(台)之间的函数关系式是y=0。1x2-11x+

10、3000,若每台产品的售价为25万元，则当产品的利润取最大值时，产量x等于_。【解析】产量为x台，设利润为s万元，则s=25xy=25x（0.1x2-11x+3000）=0.1x2+36x-3000=-0.1（x180）2+240,则当x=180时，产品的利润取得最大值。答案：18016。(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位:小时）与储藏温度x(单位：)满足函数关系y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数)。若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是_小时.【解题指南】把题中两组时间与温度的值代入函数解析式，利用方程思

11、想解题。【解析】由题意得192=eb,48=e22k+b,解得eb=192,e11k=12,当x=33时，y=e33k+b=（e11k)3eb=123192=24。答案：24三、解答题(本大题共4个小题，共40分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分)（2017金华高一检测)证明:方程lnx+2x6=0在2,e内有根.【证明】令f(x)=lnx+2x6，由于f（x)在2，e内是一条连续曲线，且有f(2)=ln2+46=ln220,f（e）=ln e+2e-6=2e50,所以f（x)=lnx+2x-6在2，e内有零点，即方程lnx+2x6=0在2，e内有根.18.(10分

12、）若二次函数f(x）=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1，一个零点大于3，求实数a的取值范围。【解析】因为二次函数f（x)=-x2+2ax+4a+1的图象开口向下，且在区间(-，-1)，(3，+)内各有一个零点,所以f(-1)0,f(3)0,即-(-1)2-2a+4a+10,-32+2a3+4a+10,即2a0,10a-80.解得a45。19.（10分）(2017孝感高一检测)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象,当x(0,12时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点a

13、（10，80），过点b(12，78)；当x12,40时，图象是线段bc，其中c（40，50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳。（1）试求y=f(x)的函数关系式.(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳？请说明理由.【解析】（1)当x（0,12时,设f（x)=a(x10)2+80，过点（12,78),代入得，a=12,则f(x）=12(x-10）2+80，当x12，40时，设y=kx+b,由过点b(12，78），c(40,50)得k=-1,b=90,即y=-x+90,则函数关系式为f(x）=-12(x-10)2+80,x(0,12,-x+90,x(12,4

14、0.（2）由题意得,062或1262,得4x12或12x28,即4x28,则老师在x(4,28)时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.【补偿训练】（2017荷泽高一检测)旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元。旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数为30人或30人以下,每张飞机票的价格为900元;若旅游团的人数多于30人，则给予优惠,每多1人,每张机票的价格减少10元，但旅游团的人数最多有75人。（1)写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式。(2)旅游团的人数为多少时,旅行社可获得最大利润.【解析】（1)设旅游团人数为x，飞机票价格为y元.

15、当30x75时，y=900-10(x-30）=-10x+1200。故所求函数为y=900(1x30,xn),-10x+1 200(30x75,xn).（2)设利润函数为f(x),则f（x）=yx-15000= 900x-15 000(1x30,xn),-10x2+1 200x-15 000(30x75,xn).当1x30时,f(x）max=f（30)=12000；当3012000。故旅游团的人数为60时,旅行社可获得最大利润。20.（10分)今年冬季,我国大部分地区遭遇雾霾天气,给人们的健康、交通安全等带来了严重影响。经研究,发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓

16、.为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量p(单位:mg/l）与过滤时间t（单位：小时)间的关系为p(t）=p0ekt（p0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中p0为t=0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90的污染物。（1）求常数k的值。（2）试计算污染物减少到40至少需要多少时间。（精确到1小时，参考数据:ln0.2-1。61，ln0.31。20,ln0。4-0.92,ln0.50。69，ln0.90。11）【解析】（1)由已知,当t=0时,p=p0;当t=5时，p=90%p0。于是有90%p

17、0=p0e5k,解得k=15ln0.9（或0.022）.(2）由(1)，知p=p0e(15ln0.9)t，当p=40%p0时,有0。4p0=p0e(15ln0.9)t，解得t=ln0.415ln0.9-0.9215(-0.11)=4.600.1142。故污染物减少到40%至少需要42小时.【补偿训练】某皮鞋厂从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1。3万双，1.37万双,由于产品质量好，款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了使推销员在推销产品时,接受的订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,目前产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，同时厂里暂时也不准备增加设备和工人.现就月份x，产量y（万双）给出四种函数模型:y1=0。1x+1,y2=-0。05x2+0.35x+0。7，y3=0。48x12+0.52，y4= 0.812x+1.4.假如你是厂长，你将利用哪个模型去估算以后几个月的产量?【解析】借助计算器或计算机作出函数y1=0。1x+1,y2=-0.05x2+0。35x+0。7,y3= 0。48x12+0。52,y4=0。812x+1.4的图象,观察图象发现,函数y1以及函数y3都是一直增长的