高中数学 第一讲 坐标系 1.1 平面直角坐标系练习 4-4

1、学必求其心得，业必贵于专精一平面直角坐标系课后篇巩固探究a组1。若点p（-2 015，2 016)经过伸缩变换x=12 016x,y=12 015y后所得的点在曲线y=kx上,则k=（)a.1b。-1c。2 016d.2 016解析因为点p(2 015，2 016),所以x=-2 0152 016,y=2 0162 015,将其代入y=kx，得k=xy=-1。答案b2。在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换x=7x,y=4y后,曲线c变为曲线x2+8y2=1,则曲线c的方程为()a。49x2+128y2=1b.49x2+64y2=1c.49x2+32y2=1d。249x2+12y2=1解析将伸缩

2、变换x=7x,y=4y代入x2+8y2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线c的方程为49x2+128y2=1。答案a3。曲线y=sinx+6经过伸缩变换x=4x,y=5y后的曲线方程是（）a。y=5sin4x+6b。y=15sin4x+6c.y=5sin14x+6d。y=15sin14x+6解析由伸缩变换x=4x,y=5y,得x=14x,y=15y.将其代入y=sinx+6中，得15y=sin14x+6,即y=5sin14x+6。答案c4.导学号73574002已知平面内有一条固定的线段ab,|ab=4.若动点p满足|pa-pb=3,点o为线段ab的中点,则|op的最小值是（)a。32b

3、.12c。2d.3解析以ab的中点o为原点,ab所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点p的轨迹是以a,b为焦点的双曲线的一支.2c=4,c=2。2a=3，a=32。b2=c2-a2=4-94=74。点p的轨迹方程为x294-y274=1x32.由图可知,当点p为双曲线与x轴的右交点时，|op最小,op的最小值是32。答案a5。点（2，3)经过伸缩变换2x=x,y=3y后得到的点的坐标为。解析由伸缩变换公式2x=x,y=3y得x=12x=1,y=3y=9,即变换后的点的坐标为(1，9).答案（1,9）6.到直线xy=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为。解析设动点

4、的坐标为(x,y),则依题意有|x-y|2=|2x+y|5，整理得x2+6xy-y2=0.答案x2+6xyy2=07.将椭圆x225+y29=1按:x=15x,y=13y变换后的曲线围成图形的面积为。解析设椭圆x225+y29=1上任意一点的坐标为p（x,y)，按变换后对应的点的坐标为p(x,y)，由:x=15x,y=13y得x=5x,y=3y.将其代入椭圆方程，得(5x)225+(3y)29=1，即x2+y2=1.因为圆的半径为1，所以圆的面积为.答案8。导学号73574003已知abc中角a，b,c的对边分别为a,b，c，且b2+c2=5a2,be,cf分别为边ac，ab上的中线,则be与

5、cf的位置关系是。解析如图,以abc的顶点a为原点o,边ab所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则a（0，0），b（c，0),fc2,0。设c（x，y）,则ex2,y2，所以kbe=-y2c-x,kcf=2y2x-c.由b2+c2=5a2,得ac|2+|ab2=5bc2，即x2+y2+c2=5（x-c）2+y2,整理得2y2=(2x-c)（2cx)。所以kbekcf=-2y2(2x-c)(2c-x)=1.所以be与cf互相垂直.答案垂直9.已知在等腰梯形abcd中,adbc,bcad，求证:ac|=|bd|.证明取bc所在直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设

6、a（a，h）,b（b,0),则d（a，h）,c(b，0)。所以ac=(b+a)2+h2，bd=(a+b)2+h2。所以ac|=|bd|。10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x=12x,y=13y后的图形。（1)5x+2y=0；(2）x2+y2=2。解(1）由伸缩变换x=12x,y=13y,得x=2x,y=3y,将其代入5x+2y=0，得10x+6y=0,即5x+3y=0。故经过伸缩变换x=12x,y=13y后，直线5x+2y=0变成了直线5x+3y=0。(2）将x=2x,y=3y代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是x214+y219=2，即x212+y22

7、9=1。故经过伸缩变换x=12x,y=13y后，圆x2+y2=2变成了椭圆x212+y229=1.11。导学号73574004在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程.（1）曲线y=2sinx4变换为正弦曲线y=sin x；（2)圆x2+y2=1变换为椭圆x29+y24=1.解（1)将变换后的曲线方程y=sin x改写为y=sin x.设满足题意的伸缩变换为x=x(0),y=y(0),将其代入y=sin x得y=sin x.将其即y=1sin x,与原曲线的方程比较系数得=14,1=2,=14,=12.所以满足题意的伸缩变换为x=14x,y=12y.即先

8、使曲线y=2sinx4上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14，得到曲线y=2sin14(4x)=2sin x,再将其纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变,得到正弦曲线y=sin x。(2）将变换后的椭圆方程x29+y24=1改写为x29+y24=1.设满足题意的伸缩变换为x=x(0),y=y(0),将其代入x29+y24=1,得2x29+2y24=1，即32x2+22y2=1。将其与x2+y2=1比较系数得32=1,22=1,即=3,=2.所以满足题意的伸缩变换为x=3x,y=2y.即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆x29+y

9、2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变,得到椭圆x29+y24=1。b组1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后，其图形可能是（)a。正方形b.矩形c.菱形d。正方形、菱形或矩形解析正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的。若顶点在坐标轴上,则变换后的图形可能是菱形或正方形；若顶点在象限内,则变换后的图形可能是矩形或正方形.答案d2.到两定点的距离之比等于常数k(k0）的点的轨迹是（)a.椭圆b。抛物线c.圆d。直线或圆解析以两定点a,b所在的直线为x轴，以ab的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).设a（-a，0),b（

10、a，0），p（x，y)，pa|=k|pb|。显然当k=1时,点p的轨迹是直线(即线段ab的中垂线）;当k1，且k0时,代入两点间的距离公式化简可知点p的轨迹为圆。答案d3.在同一平面直角坐标系中,在伸缩变换:x=x(0,1),y=y(0,1)的作用下，仍是其本身的点的坐标为.解析设点p(x，y）在伸缩变换:x=x(0,1),y=y(0,1)的作用下得到点p(x,y),依题意得x=x,y=y.因为0，0，1,1,所以x=y=0，即p（0,0）为所求。答案(0，0)4.在平面直角坐标系xoy中,直线l:x=-2交x轴于点a。设p是l上一点，m是线段op的垂直平分线上的一点，且满足mpo=aop。当

11、点p在l上运动时,则点m的轨迹e的方程是。解析如图所示，连接om,则|pm=|om|.因为mpo=aop，所以动点m满足mpl或m在x轴的负半轴上.设m(x，y)，当mpl时,|mp|=|x+2，|om|=x2+y2，|x+2=x2+y2，化简得y2=4x+4（x1）。当m在x轴的负半轴上时，y=0（x-1)。综上所述,点m的轨迹e的方程为y2=4x+4(x-1）或y=0（x-1）。答案y2=4x+4(x1）或y=0（x-1）5.已知b村庄位于a村庄的正西方向1 km处，原计划在经过b村庄且沿着北偏东60的方向上埋设一条地下管线l，但在a村庄的西北方向400 m处,发现一古代文物遗址w.根据初

12、步勘察的结果，文物管理部门将遗址w周围100 m内的范围划为禁区。试问，埋设地下管线l的计划需要修改吗?解以a为坐标原点,正东方向和正北方向分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则a（0，0),b（-1 000，0）.由w位于a的西北方向及aw|=400,得w(2002,2002).由直线l经过点b且倾斜角为9060=30,得直线l的方程是x-3y+1 000=0.点w到直线l的距离为d=|-2002-2006+1 000|1+(-3)2=1 000-2002-20062=500100（2+6)114100,所以埋设地下管线l的计划不需要修改.6。导学号73574005圆c：

13、x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为12，在压缩过程中,圆上的点的横坐标保持不变。(1）求压缩后的曲线方程.(2)过圆c上一点p(2,2）的切线，经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系？解设圆上一点p（x,y)，压缩后的点为p（x，y），则x=x,y=12y,即x=x,y=2y.（1）将其代入x2+y2=4，得（x）2+（2y）2=4,即x2+4y2=4,则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.(2）因为点p(2,2)满足（2）2+(2)2=4，所以点p在圆上.故过点p的切线方程为2x+2y=4,压缩后变为2x+22y=4，即x+2y=22，即压缩后的方程为x+2y=22。由x+2y=22

14、,x2+4y2=4,联立得x2-22x+2=0，由=8-42=0，得直线x+2y=22与曲线x2+4y2=4相切.7.导学号73574006由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6 km处,丙舰在乙舰北偏西30,两舰相距4 km。某时刻甲舰发现商船的某种求救信号。由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s。若甲舰赶赴救援,则行进的方位角应是多少？解设a，b,c,p分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.以ab所在直线为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a(3，0），b(3，0),c(5,23)。由题意，得pb|=pc，所以点p在线段bc的垂直平分线上.因为kbc=3,线