高中数学 第三章 导数及其应用单元质量评估（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 导数及其应用单元质量评估(三） （120分钟150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一质点的运动方程为s=20+12gt2（g=9.8m/s2），则t=3s时的瞬时速度为()a.20m/sb.29。4m/sc.49.4m/sd。64.1m/s【解析】选b。v=s（t）=gt,所以当t=3时,v=3g=29。4(m/s).2。已知f（x）在x=x0处的导数为4,则limx0f(x0+2x)-f(x0)x=(）a。2b.8c。8d.1【解析】选b。limx0f(x0+2x)-f(x0)x

2、=limx0f(x0+2x)-f(x0)2x2=2limx0f(x0+2x)-f(x0)2x=2f(x0)=24=8。3。函数y=1x+lnx的单调递减区间是（）a。（0，+)b.(0,1)c。（，1)d.（，0）和（0,1)【解析】选b.y=-1x2+1x=x-1x2(x0),因为当0x1时,y0，当x1时y0。所以y=1x+lnx的单调递减区间为（0,1）.4.设函数f（x）=13x3-4x+4，则f（x)在0,3上的最小值为(）a。43b。43c。1d。0【解析】选a。f(x)=x2-4=（x+2)(x-2）.令f（x)=0，解得x1=-2（舍去）,x2=2。当x变化时,f（x），f（x

3、）的变化情况如表:x0（0,2)2（2,3)3f(x)-40+5f（x）4极小值431所以函数f（x）在0,3上有极小值-43,也是最小值.5。已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x）的图象如图所示，则该函数的图象是（)【解析】选b.由函数f(x）的导函数y=f（x）的图象自左至右是先增后减，可知函数y=f（x）图象的切线的斜率自左至右先增大后减小.6.若函数f(x)=kx3+3（k-1)x2k2+1在区间(0,4）上是减函数，则k的取值范围是(）a.-,13b。0,13c.0,13d。-,13【解析】选d。f（x）=3kx2+6(k-1）x.由题意知3kx2+6(

4、k1）x0,即kx+2k-20在（0,4)上恒成立，得k2x+2，x(0,4），又132x+21,所以k13.7.设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b,cr）,若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是(）【解析】选d.设h(x）=f(x)ex,则h（x）=（2ax+b)ex+(ax2+bx+c）ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex。由x=1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x=1时,ax2+2ax+bx+b+c=ca=0，所以c=a。所以f（x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2=aa=1，d中图象一

5、定不满足该条件。8。设底面为正三角形的直棱柱的体积为v，那么其表面积最小时,底面边长为（)a。3vb。32vc。34vd。23v【解析】选c。设底面边长为x,侧棱长为l,则v=12x2sin60l，所以l=4v3x2，所以s表=2s底+s侧=x2sin60+3xl=32x2+43vx。令s表=3x-43vx2=0，即x3=4v，解得x=34v.当0x34v时,s表34v时，s表0。所以当x=34v时,表面积最小。9.设函数f（x）=ex+x-2,g(x）=lnx+x2-3.若实数a，b满足f(a）=0,g（b）=0，则(）a.g(a）0f（b)b。f（b)0g（a）c.0g(a)f(b)d.f

6、(b）g（a)0【解析】选a。因为函数f(x)=ex+x2在r上单调递增，且f（0）=120，f（1）=e10,所以f(a)=0时a(0，1）。又g（x)=lnx+x2-3在（0，+)上单调递增，且g(1）=-20，所以g（a）0,且f(x）=ex+x2在r上单调递增,所以f(b)0.综上可知，g(a）0x1f(x2）+x2f（x1)，则称函数f（x)为“h函数”,给出下列函数：y=-x3+x+1；y=3x-2（sinx-cosx）;y=ex+1;f（x)=ln|x|,x0,0,x=0.其中函数是“h函数”的个数为（）a。4b。3c。2d。1【解析】选c.注意到不等式x1f(x1）+x2f（x

7、2)x1f(x2）+x2f（x1）(x1-x2)f(x1）-f（x2）0函数f(x）是在r上的增函数，对于,注意到当x=0与x=1时,相应的函数值相等,因此函数y=x3+x+1不是在r上的增函数；对于，注意到y=32(cosx+sinx）=322sinx+43220,因此函数y=3x-2(sinxcosx)是在r上的增函数;对于，注意到y=ex0,因此函数y=ex+1是在r上的增函数;对于,注意到当x=1与x=1时,相应的函数值相等，因此该函数不是在r上的增函数。综上所述，故选c。11。(2015全国卷)设函数f（x）是奇函数f（x)(xr）的导函数,f（-1）=0，当x0时，xf（x）-f（

8、x)0时，xf（x)f（x）0，故当x0时，g（x）0,所以g（x）在(0,+)上单调递减;又因为函数f（x）（xr)是奇函数，故函数g（x）是偶函数,所以g（x）在（-，0）上单调递增，且g(1）=g（1）=0.当0x1时,g（x）0，则f(x)0；当x-1时，g(x）0，综上所述,使得f（x)0成立的x的取值范围是（，1）（0,1).12.已知y=f（x)是（0，+)上的可导函数,满足(x-1)2f（x)+xf(x)0(x1）恒成立,f（1）=2,若曲线f（x）在点（1,2)处的切线为y=g（x)，且g(a）=2016，则a等于(）a.500.5b.501。5c.502。5d.-503。5

9、【解析】选c。令f(x)=x2f（x)，则f(x）=2xf(x)+x2f（x）=x2f(x)+xf（x）,当x1时，f（x)0,f(x)在（1，+）上递增；当0x1时，f(x)0.由f(x)0，解得x0,因此函数f（x)在0，1上单调递增,所以x0,1时,f(x)min=f（0)=-1。根据题意可知存在x1,2,使得g（x)=x2-2ax+41，即x2-2ax+50，即ax2+52x能成立,令h(x）=x2+52x，则要使ah（x）在x1，2能成立,只需使ah（x)min,又函数h(x）=x2+52x在x1，2上单调递减,所以h(x）min=h（2)=94，故只需a94。答案:94,+三、解答

10、题（本大题共6个小题，共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分)已知函数f(x）=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2，试求函数的极大值与极小值的差.【解析】f(x)=3x2+2ax+b。因为f(x）在x=2处有极值,所以f(2)=0，即12+4a+b=0.因为f(1）=-3,所以2a+b+3=-3.由,得a=-3，b=0。所以f（x)=x3-3x2+c.令f(x)=3x26x=0,得x1=0,x2=2。当x（,0）(2,+)时，f(x)0；当x(0,2）时，f（x)0且交点坐标为p（a，0）。又f（x）=3x2

11、2ax,则f（a)=a2，所以曲线在点p处的切线方程为y=a2(x-a）,即g（x)=a2x-a3，令h（x）=f(x)-g（x）=x3-ax2-a2x+a3，h（x)=3x22ax-a2=(3x+a)(x-a），函数h(x）在区间(0，a）上单调递减,在区间(a，+)上单调递增,所以当x=a时,h（x）有最小值，所以h（x）0,则f(x）g(x).20.（12分)已知函数f(x)=12x2-alnx(ar）。(1)求f（x）的单调区间.（2)设g（x）=f（x）+2x，若g（x)在1，e上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围.【解析】（1)f(x)=x-ax=x2-ax（x0）。若

12、a0，则f(x）0，所以此时只有递增区间（0，+）.若a0,当f（x）0时,得xa，当f(x)0时,得0xa.所以此时递增区间为(a,+），递减区间为(0,a）.（2）g(x)=xax+2=x2+2x-ax(x0），设h(x)=x2+2x-a(x0)。若g（x）在1，e上不单调，则h（1）h(e)0.所以（3a）（e2+2e-a)0，所以3ae2+2e.同时g（x）仅在x=e处取得最大值.所以只要g（e）g（1)即可.得出:ae22+2e-52所以a的范围为3,e22+2e-52.21。（12分)若函数f（x)=ax3-bx+4,当x=2时，函数f（x）有极值43。(1）求函数的解析式。（2）

13、若方程f(x)=k有3个不同的根，求实数k的取值范围。【解析】f(x）=3ax2-b.（1）由题意得f(2)=12a-b=0,f(2)=8a-2b+4=-43,解得a=13,b=4.故所求函数的解析式为f（x）=13x34x+4。(2）由（1）可得f（x)=x2-4=（x-2）（x+2）,令f(x）=0,得x=2或x=-2。当x变化时,f（x），f（x）的变化情况如下表:x（-，2)-2(2,2)2(2，+）f(x)+00+f(x)283-43因此,当x=2时，f（x）有极大值283,当x=2时，f(x）有极小值43，所以函数f(x)=13x34x+4的图象大致如图所示。若f（x）=k有3个不

14、同的根,则直线y=k与函数f（x）的图象有3个交点,所以43k283。【延伸探究】若本题（2）中“若方程f(x）=k有3个不同的根改为“若方程f(x)=k有2个不同的根”结果如何呢?若改为“若方程f(x)=k有1个根”呢?【解析】由上面的解法可知:当k=43或k=283时，方程有两个不同的实数根;当k283或k-43时方程只有1个实数根。22.（12分）（2017全国甲卷)设函数f(x)=（1x2）ex。(1)讨论f(x)的单调性。（2）当x0时，f（x)ax+1，求a的取值范围.【解析】（1)f（x）=（1-2x-x2）ex，令f(x)=0得x=12，当x(,-12)时,f（x）0;当x(-1-2，1+2)时，f（x)0;当x（-1+2，+）时,f(x）0;所以f(x)在（-，-12),(-1+2,+）单调递减;在（-1-2，-1+2）单调递增.（2）f(x)=(1-x2）ex，当a1时，设函数h(x）=（1-x)ex, h(x)=-xex0(x0)，因此h（x)在0，+)单调递减,而h(0)=1,故h（x)1,所以f（x)=（x+1）h（x)ax+1； 当0a1时,设函数g(x）=ex-x1,g（x)=ex10(x0）,所以g（x）在0，+）单调递增,而g（0）=0，故exx+1,当0x1,f(x)(1-x)(x+1)2,(