高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入能力深化提升 2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 数系的扩充与复数的引入能力深化提升类型一复数的概念【典例1】（1）（2017郑州高二检测)设i是虚数单位，若复数m+(mr)是纯虚数，则m的值为（)a。3b。1c。1d.3(2)（2016天津高考)i是虚数单位,复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为_。【解题指南】(1)利用复数代数形式的乘除运算化简，m+（mr），然后由实部等于0,虚部不等于0，求得m的值。（2)把复数z整理为代数形式.【解析】（1）选a.因为m+=m+=m+3i为纯虚数,所以m+3=0，即m=-3。(2）已知(1+i）z=2,所以z=1i,所以z的实部为1。答案：1【延伸探究】若本例（1

2、）中复数改为（mr）,则m=_。【解析】=为纯虚数，所以所以m=2.答案：2【方法总结】处理复数概念问题的两个注意点（1)当复数不是a+bi(a，br）的形式时，要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部.（2）求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.【巩固训练】（2017天津高考）已知ar，i为虚数单位,若为实数,则a的值为_.【解析】=i为实数,则=0，a=2。答案：2类型二复数的代数运算【典例2】（1)i是虚数单位，若=a+bi(a，br）,则lg（a+b）的值是（）a.-2b.-1c.0d.(2)已知复数z1=2-3i,z2=，则等于(）a.4+3ib.3+

3、4ic.3-4id。4-3i（3)(2017海口高二检测）计算:(4i5）（6+2i7)+（7+i11）(43i）。.【解析】（1)选c。因为=，所以a=，b=-，a+b=1,所以lg（a+b)=0.（2)选d。=43i。（3)（4-i5)（6+2i7）+(7+i11）（4-3i)=（4i）(6+2i3）+（7+i3)（4-3i）=（4i）（62i）+(7-i)（4-3i)=4739i.=(15+8i)（1-2i）=1-38i。【延伸探究】本例(2）中已知条件不变,则z1z2=_.【解析】z1z2=i。答案:i【方法总结】进行复数代数运算的策略(1）复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则

4、进行计算。复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算（合并同类项）.复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a+bi）2=a2+2abib2与（a+b)2=a2+2ab+b2；在除法运算中,关键是“分母实数化(分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi）（a-bi）=a2+b2与（a+b)（a-b）=a2-b2。（2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i的幂写成最简单的形式。（3）利用复数相等，可实现复数问题的实数化，其步骤是：按照题设条件把复数整理成其代数形式，由复数相等的充要条件列

5、出方程组，通过解方程组达到解决问题的目的.一般可以解决如下问题:解复数方程；复系数方程有实解问题；求轨迹问题。【巩固训练】已知复数z=(1+2i）（-2+i）-。(1）计算复数z。(2)若z2+(2a1)z-(1i）b-16=0，求实数a，b的值.【解析】(1)z=（1+2i）（-2+i)-=43i-=4-3i(2-i)=62i.（2)因为z2+(2a-1)z-（1i)b-16=0,所以(62i）2+(2a-1)（62i)-（1i)b16=0,所以32+24i6（2a1）2(2a1）i-b+bi16=0，所以2212a-b+（26-4a+b）i=0，根据复数相等的充要条件,所以解得a=3,b=

6、-14.类型三复数的几何意义【典例3】(1)已知复平面上正方形的三个顶点是a（1，2)，b（-2，1),c（1,2），求它的第四个顶点d对应的复数。(2）已知关于x的实系数方程x22ax+a24a+4=0的两根分别为x1，x2,且|x1|+x2=3,求a的值。【解析】(1）设d（x,y)，则=-对应的复数为:(x+yi）-(1+2i)=（x1）+（y-2）i，=对应的复数为：(12i）（2+i)=13i,因为=，所以(x-1）+(y-2)i=1-3i,所以解得所以点d对应的复数为2-i。（2）=4a2-4（a24a+4）=16a16,若0,则方程有实根,且x1x2=(a2)20，所以|x1+|

7、x2|=|x1+x2|=2a=3,所以a=，又16a160,所以a=。若0,则方程有两个共轭虚根,且|x1|+|x2|=2|x1|=2=2|a2=3，所以a=或,又16a-160，所以a=.综上a=或.【方法总结】复数的两个常用性质(1）复数z=a+bi（a，br)、复平面内的点z(a，b)、向量=（a,b）是一一对应的.（2)设z=a+bi（a，br),则|z=。【巩固训练】如图,在复平面内,复数z1，z2对应的向量分别是，,则复数z1z2对应的点位于（)a。第一象限b。第二象限c。第三象限d.第四象限【解析】选d.由已知=（-2，1），=（0，1),所以z1=2-i,z2=i，z1z2=1

8、-2i,它所对应的点为(1,2）,在第四象限.【补偿训练】设z=a+bi(a，br），求在复平面上满足列条件的点的集合所组成的图形.（1)|a2，且bb.【解析】(1)在复平面上,满足不等式|a2的点组成的图形是位于两条平行直线x=2之间的部分(不包括两条直线），满足不等式b|2的点组成的图形是位于两条平行直线y=2之间的部分(不包括两条直线)，两者的公共部分即为所求，即以原点为中心,边长等于4,各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点，不包括边界,如图所示。(2)不等式z|2的解集对应的点的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形，满足条件b|1的点的集合是直线y=1以上及直线y=-1以下的点组成的图形,两者的公共部分即为所求,即以原点为圆心、以2为半径的圆被直线y=1所截得的两个弓形，不包括弦上的点，如图所示.（3）方程|z=2的解集对应的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆周,满足条件ab的点组成的图形是位于直线