高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精31。3概率的基本性质事件的关系与运算提出问题一袋中有2个红球，2个白球,从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球为事件a，“摸出的两球是白球”为事件b，“摸出的两球是一红一白”为事件c，“摸出的两球至少一个红球为事件d，“摸出的两球至少有一个白球为事件e.问题1:若事件a发生，事件d发生吗？它们是什么关系？提示：事件a发生，则事件d一定发生,它们是包含关系问题2：若事件c发生，则事件d会发生吗？事件a,c，d之间有何关系?提示：事件c发生，则事件d一定会发生；事件d包含事件a和事件c两个事件问题3：若事件c发生，那么事件e会发生吗?事件c，d，e又有何关系？提示:若事件

2、c发生，那么事件e一定会发生;事件d、事件e均包含事件c.问题4：事件a与事件b能同时发生吗？事件a与事件e能同时发生吗？事件a与事件e的并事件是什么事件？交事件又是什么事件？提示：事件a与事件b不能同时发生；事件a与事件e也不能同时发生;ae是必然事件；ae是不可能事件导入新知事件的关系及运算定义表示法图示事件的关系包含关系一般地,对于事件a与事件b，如果事件a发生，则事件b一定发生，这时称事件b包含事件a（或称事件a包含于事件b)ba（或ab）事件互斥若ab为不可能事件，则称事件a与事件b互斥若ab，则a与b互斥事件对立若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件若

3、ab，且abu,则a与b对立事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生,则称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab（或ab)交事件若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件）ab(或ab)化解疑难利用集合间的关系掌握事件间的关系设事件a与b所含的结果组成的集合分别是a，b.事件a与b互斥，即集合ab； 事件a与b对立,即集合ab，且abi(i为全集)，也即aib或bia。概率的基本性质提出问题在“知识点一”的实例中，事件a发生的频数与试验的总次数之间什么关系？事件a、事件c、事件d发生的频数之间有什么关系？提示：事件a发生的

4、频数会小于或等于试验的总次数；事件d发生的频数等于事件a发生的频数与事件c发生的频数之和导入新知概率的几个基本性质（1)概率的取值范围0,1（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。（3)概率加法公式为：如果事件a与b为互斥事件，则p(ab)p(a）p(b)特例：若a与b为对立事件,则p（a)1p(b），p（ab）1，p（ab）0.化解疑难概率加法公式的推广如果事件a1，a2,，an彼此互斥，那么事件a1a2an发生（即a1，a2，,an中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和,即p(a1a2an)p(a1）p(a2)p(an）事件间关系的判断例1某小组有3名男生和2名女生

5、，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”与“全是男生”;（3）“至少有1名男生”与“全是女生；（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”解从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生,1男1女（1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件(3）

6、“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件（4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生与“至少一名女生同时发生，所以它们不是互斥事件类题通法判断事件间关系的方法（1）要考虑试验的前提条件,无论是包含、相等,还是互斥、对立其发生的条件都是一样的（2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用venn图分析,对较难判断关系的，也可列出全部结果,再进行分析活学活用从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立

7、事件（1)“恰好有1件次品和“恰好有2件次品”；（2)“至少有1件次品和“全是次品”；(3）“至少有1件正品”和“至少有1件次品”解：依据互斥事件的定义，即事件a与事件b在一次试验中不会同时发生可知：（1）中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件,又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断（2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；（3）中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.事件的运算例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件a3个球中有1个红球，2个白球，事件b3个球中有2个红球，1个白球，事件c3个球中至少有1

8、个红球，事件d3个球中既有红球又有白球问：(1）事件d与a，b是什么样的运算关系？(2)事件c与a的交事件是什么事件？解(1）对于事件d，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故dab。(2)对于事件c，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球,3个红球，故caa。类题通法进行事件运算应注意的问题(1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用venn图或列出全部的试验结果进行分析（2）在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理活

9、学活用在本例中,设事件e3个红球，事件f3个球中至少有一个白球,那么事件c与a，b,e是什么运算关系？c与f的交事件是什么?解：cabe;cfab.互斥事件与对立事件的概率公式的应用例3在数学考试中，小王的成绩在90分以上（含90分)的概率是0.18，在8089分的概率是0。51，在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09，在60分以下（不含60分)的概率是0.07。求：(1）小王在数学考试中取得80分以上(含80分）成绩的概率；（2）小王数学考试及格的概率解设小王的成绩在90分以上(含90分)、在8089分、在60分以下（不含60分）分别为事件a，b，c，且a，b,c两两互斥

10、（1）设小王的成绩在80分以上（含80分)为事件d，则dab，所以p（d)p（ab）p（a)p(b)0.180.510。69。(2)设小王数学考试及格为事件e，由于事件e与事件c为对立事件,所以p(e)1p(c)10。070.93。类题通法概率公式的应用（1）互斥事件的概率加法公式p(ab)p(a)p(b）是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果（2）当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式p（a）p（b）

11、1,求出符合条件的事件的概率活学活用一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1球，求：（1)取出1球是红球或黑球的概率;（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率解:法一:（1）从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法,得红球或黑球共有549种不同取法，任取1球有12种取法任取1球得红球或黑球的概率为p1.(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取法，得白球有2种取法,从而得红球或黑球或白球的概率为.法二：（利用互斥事件求概率)记事件a1任取1球为红球，a2任取1球为黑球,a3任取1球为白球，a4任取1球为绿球，则p(a1)，p

12、（a2），p(a3)，p(a4）。根据题意知,事件a1,a2,a3，a4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为p（a1a2）p（a1)p(a2)。（2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为p(a1a2a3)p(a1）p(a2）p(a3).法三：（利用对立事件求概率)(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即a1a2的对立事件为a3a4,所以取得1球为红球或黑球的概率为p(a1a2）1p(a3a4)1p(a3）p（a4)1。(2)a1a2a3的对立事件为a4，所以p(a1a2a3)1p(a4）1.典例某射手在一次射击中射中10环、9环、8环

13、、7环、7环以下的概率分别为0.24，0.28,0。19，0。16,0.13。计算这个射手在一次射击中:（1)射中10环或9环的概率；（2)至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率解题流程规范解答类题通法含有“至多”“至少”等词语的事件的概率的求法(1）当所给的事件比较简单时，则将其分解成彼此互斥的几个事件的和，然后利用概率加法公式求解但是，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏(2）当所给的事件比较复杂，且很难将其分解成几个互斥事件的和时，常考虑先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误活学活用某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖

14、券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a，b，c，求：（1)p（a），p(b)，p（c）；（2）抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率解：（1）每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，p(a)，p（b），p(c）.（2)设“抽取1张奖券中奖”为事件d，则p（d)p（a）p(b)p（c).(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖为事件e,则p（e）1p(a)p(b）1。随堂即时演练1在一次随机试验中，彼此互斥的事件a,b，c，d的概率分别为0。2，0。2

15、,0。3,0。3，则下列说法正确的是（）aab与c是互斥事件，也是对立事件bbc与d是互斥事件,也是对立事件cac与bd是互斥事件，但不是对立事件da与bcd是互斥事件,也是对立事件解析:选d由于a，b,c，d彼此互斥，且abcd是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件2抽查10件产品,记事件a为“至少有2件次品”，则a的对立事件为()a至多有2件次品b至多有1件次品c至多有2件正品 d至少有2件正品解析：选b至少有2件次品包含2,3，4,5，6，7,8,9,1

16、0件次品,共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品,即至多有1件次品3中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案:4。如图所示,靶子由一个中心圆面和两个同心圆环,构成,射手命中，的概率分别为0。15,0。20，0.45，则不中靶的概率是_解析：设射手“命中圆面为事件a，“命中圆环”为事件b,“命中圆

17、环”为事件c，“不中靶为事件d，则a，b，c互斥，故射手中靶概率为p(abc)p(a)p（b）p（c）0。150。200。450.80。因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为p（d）1p（abc)10.800.20。答案：0。205黄种人群中各种血型的人所占比例如下：血型ababo该血型的人所占比例/2829835已知同种血型的人之间可以输血，o型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是b型血，若小明因病需要输血，则：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人,其血型为a,b，ab,o型血的事件分

18、别记为a，b，c,d，它们是互斥的由已知，得p(a)0.28，p（b)0.29，p（c)0。08，p(d）0。35.因为b，o型血可以输给b型血的人，故“可以输给小明血的人”为事件bd，根据互斥事件的概率加法公式，有p（bd）p(b)p（d)0.290。350.64。（2)法一:由于a，ab型血不能输给b型血的人,故“不能输血给小明的人”为事件ac,且p(ac）p（a)p（c)0.280.080。36.法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者互为对立事件，所以不能输给小明的概率为1p(bd）10。640。36.课时达标检测一、选择题1把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌

19、随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花与事件“乙分得梅花”是（)a对立事件b不可能事件c互斥但不对立事件 d以上答案均不对答案：c2口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球,摸出红球的概率是0。42,摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（）a0.42 b0。28c0。3 d0。7答案：c3给出以下三个命题:（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件a：“两次都出现正面”，事件b：“两次都出现反面”，则事件a与事件b是对立事件；(2)在命题（1)中，事件a与事件b是互斥事件;（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件a：“所取3件中最多有2件是次

20、品,事件b：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件a与事件b是互斥事件其中命题正确的个数是(）a0 b1c2 d3答案：b4如果事件a，b互斥,记，分别为事件a，b的对立事件，那么(）aab是必然事件 b。是必然事件c。与一定互斥 d。与一定不互斥答案：b5甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是()a20% b70c80% d30答案：b二、填空题6某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0。01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为_解析:记事件a，b，c，事件a,b,c彼此互斥且a与（b

21、c）是对立事件,所以p（a)1p（bc）1p(b)p(c）10.030.010。96.答案：0.967设事件a的对立事件为b，已知事件b的概率是事件a的概率的2倍，则事件a的概率是_解析:由条件可知p(b)2p（a)，又p(a)p（b)1，所以p(a）2p（a）1,则p(a)。答案：8从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,所选3人中至少有一名女生的概率为,那么所选3人中都是男生的概率为_解析：“至少有一名女生与“都是男生是对立事件故3人中都是男生的概率p1.答案：三、解答题9某省是高中新课程改革试验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试,全部及格才能毕业,不及格的可进行补考某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为，只补考化学的概率为，只补考生物的概率为。随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率解：设“不止补考一门”为事件e，“只补考一门”为事件f，“只补考物理”为事件a，则p（a