高中数学 第三章 导数及其应用阶段通关训练（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 导数及其应用阶段通关训练（三）(60分钟100分）一、选择题(每小题5分，共30分）1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是（）【解析】选a。加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸;减速过程,路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸,故选a。2。若函数f(x)=x+4x在点p处取得极值，则p点坐标为()a.（2,4）b.(2，4)，(-2,4)c.（4，2)d.（4,2），(4，-2)【解析】选b。因为f(x）=14x2=0x=2，又因为x0，所以x-2或x2时，f(x）0f（x)为增

2、函数，-2x0或0x2时,f(x)0,t1时,g(t）0,故g(t）g（1）=2，得a-2。由以上两种情况得-6a-2，显然当x=0时也成立。故实数a的取值范围为-6,2。4。函数f（x）的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在（a，b)内的图象如图所示,则f(x）在开区间（a,b）内有极小值（）a.2个b。1个c.3个d.4个【解析】选b.如图所示,由导函数f(x）在(a，b)内的图象可知：函数f(x）只有在b点处取得极小值,因为在点b的左侧f(x）0，且f（xb)=0，所以函数f(x）在点b处取得极小值。5.函数y=2x32x2在-1，2上的最大值为（)a.5b.0c。1d。8【解析】

3、选d。y=6x24x=2x(3x-2），列表:x-1(1，0)00,232323,22y10+00+16y4单调递增0单调递减-827单调递增8所以ymax=8。6.设函数f(x)=x312x+b,则下列结论正确的是(）a.函数f(x)在(，-1）上单调递增b.函数f（x)在（,1）上单调递减c。若b=6，则函数f（x)的图象在点-2,f-2处的切线方程为y=10d。若b=0,则函数f（x）的图象与直线y=10只有一个公共点【解析】选c.因为f(x）=x3-12x+b,所以f（x)=3x212,令f(x)0，即3x2-120，所以x-2或x2，所以函数f（x)在(,2)和(2，+）上为增函数,

4、令f(x）0，即3x2120，所以-2x2,所以函数f(x)在（2,2)上为减函数,所以排除a,b；当b=6时,f（x)=x312x-6，f（2）=8+246=10，所以曲线的切点为(-2，10）,因为f（x)=3x2-12，所以k=f(-2)=0，所以y=10，故c正确；当b=0时，f（x）=x3-12x，所以f(x）=3x2-12=0，所以x=2,所以函数f(x）在（，2）和(2,+）上为增函数，在(2,2）上为减函数，且f（2)=16,f(2)=-16,所以函数f（x）的极大值为16，极小值为-16，所以函数f（x)的图象与直线y=10有三个公共点,故d错。二、填空题（每小题5分，共20

5、分)7。容积为256的方底无盖水箱,它的高为时,最省材料。【解析】设水箱高为h,底面边长为a，则a2h=256,其表面积为s=a2+4ah=a2+4a256a2=a2+210a.令s=2a-210a2=0,得a=8。当0a8时,s0；故当a=8时,s最小，此时h=25682=4.答案：48.若点p是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为。【解析】点p是曲线y=x2lnx上任意一点,当过点p的切线和直线y=x-2平行时，点p到直线y=x-2的距离最小。直线y=x2的斜率等于1，令y=x2lnx的导数y=2x1x=1可得,x=1或x=12(舍去)，故曲线y=x2lnx上和

6、直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为（1，1）,点(1,1）到直线y=x2的距离等于2，故点p到直线y=x-2的最小距离为2。答案:2【补偿训练】若曲线y=1ex上点p处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点p的坐标是。【解析】设点p(x0,y0)，因为y=1ex，所以曲线在点p处的切线的斜率为k=1ex0，又因为切线平行于直线2x+y+1=0，所以e-x0=-2，解得x0=ln2,代入y=1ex得y0=2，所以点p(ln2,2)。答案:（ln2，2）【方法总结】求切点的步骤：(1)设切点p(x0,f(x0）).(2）求出函数y=f（x)在点x=x0的导数,即曲线y=f（x）在点p（x0，

7、f(x0)）处切线的斜率.（3）切点不仅是直线上的一个点,也是曲线上的点，利用这些条件列方程求切点。9.设函数f（x)=tx2+2t2x+t1（xr,t0).则f(x）的最小值h(t）2t+m对t(0，2)恒成立的m的范围是.【解析】因为f（x）=t(x+t)2t3+t-1（xr,t0），所以当x=-t时,f（x)取最小值f（t）=t3+t-1，即h（t）=-t3+t-1。令g（t）=h(t）（-2t+m）=-t3+3t-1-m,由g（t）=-3t2+3=0得t=1或t=-1(不符合题意,舍去).当t变化时，g(t）,g(t）的变化情况如表所示:t（0，1)1(1,2）g（t)+0g(t）单调

8、递增极大值1-m单调递减所以g(t）在(0,2)内有最大值g（1）=1-m.h(t）-2t+m在（0,2)内恒成立等价于g(t)0.【解析】(1）根据题意知，f（x）=a(1-x)x（x0）,当a0时，则当x(0,1)时，f（x）0,当x(1,+)时，f（x）0.14.（13分)已知函数f（x)=alnxx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1，f(1）处的切线方程为x+2y-3=0。（1）求a，b的值。(2）证明：当x0，且x1时,f（x)lnxx-1。【解析】（1)f（x）=ax+1x-lnx(x+1)2bx2，由于直线x+2y-3=0的斜率为12,且过点（1，1)，故f(1)=1,f(1)

9、=-12,即b=1,a2-b=-12,解得a=1，b=1.(2）由（1）知f（x）=lnxx+1+1x，所以f(x)-lnxx-1=11-x22lnx-x2-1x，考虑函数h(x）=2lnxx2-1x(x0），则h（x)=2x-2x2-x2-1x2=x-12x2。所以当x1时,h（x）0,而h(1）=0，当x0,1时,h（x)0可得11-x2h(x)0,当x（1,+）时,h（x）0,可得11-x2h（x)0,从而当x0且x1时，f(x)-lnxx-10，即f(x)lnxx-1.【能力挑战题】(2017全国丙卷）已知函数f(x）=lnx+ax2+（2a+1）x.(1)讨论f(x)的单调性。（2)当a0时,证明f（x)-34a-2.【解析】(1）f（x)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x（x0),当a0时,f(x)0，则f(x)在(0,+)单调递增，当a0时,则f(x）在0,-12a单调递增,在-12a,+单调递减。（2)由(1）知,当a0则y=1t1=0,解得t=1，所以y在(0，1