高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精33.3 3。3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离提出问题在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知,从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线l，仓库看作点p.问题1：若已知直线l的方程和点p的坐标（x0，y0)，如何求p到直线l的距离?提示：过点p作直线ll，垂足为q，pq|即为所求，直线l的斜率为k，则l的斜率为，l的方程为yy0（xx0）,联立l，l的方程组，解出q点坐标，利用两点间距离公式求出|pq.问题2：平面直角坐标系中，若p（x0，y0)，则p到x轴、y轴的距离分别是多少？提示：y0|

2、，x0|.问题3：在直角坐标系中，若p(x0，y0）,则p到直线l：axbyc0的距离是不是过点p到直线l的垂线段的长度?提示：是问题4：若过p(x0，y0）的直线l与l:axbyc0平行,那么点p到l的距离与l与l的距离相等吗?提示：相等导入新知点到直线的距离与两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点p0(x0,y0）到直线l：axbyc0的距离d两条平行直线l1：axbyc10与l2:axbyc20(c1c2)之间的距离d化解疑难1点到直线的距离公式需注意的问题直线方程应为一般式，若给出其他形式,应先化成一般式再

3、用公式例如，求p0(x0，y0)到直线ykxb的距离，应先把直线方程化为kxyb0，得d.2点到几种特殊直线的距离（1)点p0(x0，y0）到x轴的距离dy0|；（2）点p(x0，y0）到y轴的距离dx0；（3）点p（x0，y0）到与x轴平行的直线yb（b0)的距离d|y0b；(4)点p（x0，y0)到与y轴平行的直线xa（a0)的距离dx0a|.3对平行直线间的距离公式的理解（1）利用公式求平行直线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x,y的系数对应相等（2）当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决两直线都与x轴垂直时，l1:xx1，l2：xx2，则d|x2x1;两直线都与y

4、轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1.点到直线的距离例1求点p（3，2)到下列直线的距离：（1)yx；（2）y6；（3)x4.解(1）直线yx化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.（2)因为直线y6与y轴垂直，所以点p到它的距离d|268.(3）因为直线x4与x轴垂直，所以点p到它的距离d|34|1.类题通法应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式（2)点p在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用（3)直线方程axbyc0中,a0或b0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解活

5、学活用1已知点a（a，2）(a0）到直线l：xy30的距离为1,则a等于(）a。b2c.1 d。1答案:c2已知原点和点p（4，1)到直线axa2y60的距离相等,求实数a的值解：利用点到直线的距离公式得，于是a24a66，且a2a40,a24a0或a24a120，且a2a40，a2或a4或a6。两条平行直线间的距离例2求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程解法一：设所求直线的方程为5x12yc0.在直线5x12y60上取一点p0，则点p0到直线5x12yc0的距离为，由题意，得2，所以c32，或c20.故所求直线的方程为5x12y320，或5x12y200。法二：设所求直线

6、的方程为5x12yc0，由两条平行直线间的距离公式得2，解得c32,或c20。故所求直线的方程为5x12y320，或5x12y200.类题通法求两条平行直线间的距离，一般是直接利用两条平行直线间的距离公式,当直线l1：ykxb1,l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：axbyc10，l2：axbyc20，且c1c2时，d。但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等活学活用两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_答案：距离的综合应用例3求经过点p（1，2)，且使a(2,3),b(0,5）到它的距离相等的直线l的方程解法一：当直线斜率不存在时，即x1，显然符合题意当直线斜

7、率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线方程为y2k(x1）由条件得,解得k4，故所求直线方程为x1或4xy20。法二：由平面几何知识知lab或l过线段ab的中点直线ab的斜率kab4，若lab，则l的方程为4xy20；若l过ab的中点(1，1)，则直线方程为x1。故所求直线方程为x1或4xy20。类题通法解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后由题意列方程求参数也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性,判断直线l的特征,然后由已知条件写出l的方程活学活用求经过两直线l1：x3y40与l2：4x3y60的交点，且和点a（3，1）的距离为5的直线l的方程解:由解得,

8、即直线l过点b。当l与x轴垂直时，方程为x2,点a(3,1）到l的距离d|325，满足题意当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为yk(x2),即kxy2k0，由点a到l的距离为5，得5，解得k，所以l的方程为xy0，即4x3y100.综上，所求直线方程为x2或4x3y100。典例直线l1过点a(0，1)，l2过点b(5，0），如果l1l2，且l1与l2的距离为5，求l1,l2的方程解若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程为ykx1,即kxy10.由点斜式可得l2的方程为yk(x5)，即kxy5k0.因为直线l1过点a（0，1)，则点a到直线l2的距离d5，25

9、k210k125k225，k,l1的方程为12x5y50,l2的方程为12x5y600.若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x0，l2的方程为x5,它们之间的距离为5，同样满足条件综上所述,满足条件的直线方程有两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600或l1：x0，l2:x5.易错防范1*处容易漏掉l1,l2的斜率都不存在的情形而导致错误2用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论成功破障经过点a(1,2）且到原点的距离等于1的直线方程为_答案:x1或3x4y50随堂即时演练1原点到直线x2y50的距离为（)a1b.c2 d。答案：d2已知直线l1：xy10,l2

10、：xy10,则l1，l2之间的距离为（）a1 b。c。 d2答案：b3直线4x3y50与直线8x6y50的距离为_答案：4已知直线l在y轴上的截距为10，且原点到直线l的距离是8，则直线l的方程为_答案:3x4y400或3x4y4005已知abc三个顶点坐标a(1，3)，b(3，0),c（1,2),求abc的面积s.答案:4课时达标检测一、选择题1与直线2xy10的距离等于的直线方程为（)a2xy0b2xy20c2xy0或2xy20d2xy0或2xy20答案:d2两平行线分别经过点a(3，0）,b（0,4)，它们之间的距离d满足的条件是（）a0d3b0d5c0d4 d3d5答案：b3过点（1,

11、3）且与原点的距离为1的直线共有(）a3条 b2条c1条 d0条答案:b4直线l过点a（3，4)且与点b(3,2）的距离最远,那么l的方程为（)a3xy130 b3xy130c3xy130 d3xy130答案：c5若动点a(x1，y1），b（x2,y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则ab的中点m到原点距离的最小值是()a3 b2c3 d4答案:a二、填空题6若点（4，0）到直线yx的距离为3,则m的值为_答案：1或317直线l在x轴上的截距为1,又有两点a(2，1），b（4，5）到l的距离相等,则l的方程为_答案：x1或xy108.如图所示，平面中两条直线l1，l2相交于点

12、o,对于平面上任意一点m，若p，q分别是点m到直线l1，l2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点m的“距离坐标已知常数p0，q0，给出下列命题：若pq0，则“距离坐标”为（0,0)的点有且只有1个；若pq0,且pq0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且只有2个;若pq0,则“距离坐标”为(p，q）的点有且只有4个上述命题中，正确的命题是_(填序号)答案:三、解答题9已知直线l经过点p（2，5），且斜率为。(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点p到直线m的距离为3，求直线m的方程解:（1）由直线方程的点斜式，得y5（x2），整理得所求直线方程为3x4y140。(2）由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为3x4yc0,由点到直线的距离公式得3，即3,解得c1或c29，故所求直线方程为3x4y10或3x4y290。10已知正方形abcd一边cd所在直线的方程为x3y130，对角线ac，bd的交点为p（1,5），求正方形abcd其他三边所在直线的方程解：点p（1，5)到lcd的距离为d，则d 。lablcd，可设lab:x3ym0。点p(1，5）到lab的距离也等于d，则。又m13，m19，即lab：x3y190。ladlcd，可设lad：3