高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精2.3 等差数列的前n项和数列的前n项和导入新知数列的前n项和对于数列an，一般地，称a1a2an为数列an的前n项和,用sn表示，即sna1a2an。化解疑难数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和。等差数列的前n项和提出问题如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根问题1：共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：六层，等腰梯形问题2：假设在这堆钢管旁边再倒放上捆扎着的同样一堆钢管,如图所示，则这样共有多少钢管？提示:（49）678。问题3：原来有多少根钢管?提示：7839。问题4

2、：能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式sna1a2an？提示：能sna1a2an，snanan1a1，相加：2sn(a1an)(a2an1)（ana1）n（a1an),sn。问题5：试用a1，d，n表示sn。提示：ana1（n1)d,snna1d.导入新知等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式snsnna1d化解疑难等差数列前n项和公式的特点(1）两个公式共涉及a1，d，n,an及sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前n项和（2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好等差数列前n项和

3、的有关计算例1（1）(北京高考）已知an为等差数列，sn为其前n项和,若a1，s2a3,则a2_；sn_.（2）在等差数列an中,已知d2，an11,sn35，求a1和n。解(1）设公差为d，则由s2a3得2a1da12d，所以da1，故a2a1d1，snna1d。（2）由得解方程组，得或答案（1）1类题通法a1，d，n称为等差数列的三个基本量,an和sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组）来求解这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与

4、未知的联系及整体思想的运用活学活用已知等差数列an（1)a1，a15，sn5，求n和d；(2)a14，s8172，求a8和sn.解：（1）a15(151）d，d。又snna1d5，解得n15，n4（舍去）(2)由已知，得s8172，解得a839.又a84（81)d39，d5。sn4n5n2n.已知sn求通项公式an例2已知数列an的前n项和sn2n2n2.（1）求an的通项公式；（2)判断an是否为等差数列解(1)sn2n2n2,当n2时，sn12(n1）2(n1)22n25n1，ansnsn1（2n2n2)（2n25n1）4n3。又a1s11，不满足an4n3，数列an的通项公式是an(2)

5、由（1）知，当n2时，an1an4(n1）3(4n3）4,但a2a15164，an不满足等差数列的定义，an不是等差数列类题通法已知数列an的前n项和公式sn，求通项公式an的步骤：（1)当n1时，a1s1；(2）当n2时，根据sn写出sn1，化简ansnsn1；(3）如果a1也满足当n2时，ansnsn1的通项公式，那么数列an的通项公式为ansnsn1.如果a1不满足当n2时，ansnsn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an(如本例）活学活用已知下面各数列an的前n项和sn的公式，求an的通项公式（1）sn2n23n；(2)sn3n2。解:（1)当n1时，a1s121231

6、1;当n2时，sn12（n1)23(n1)2n27n5，则ansnsn1(2n23n）(2n27n5）2n23n2n27n54n5。此时若n1,an4n54151a1,故an4n5。(2）当n1时，a1s13121；当n2时,sn13n12，则ansnsn1（3n2）(3n12)3n3n133n13n123n1.此时若n1,an23n123112a1，故an等差数列前n项和的性质例3(1）(辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11等于（）a58b88c143 d176(2)等差数列an中，s10100,s10010,求s110。解（1）因为an是等差数列，所以a1

7、a11a4a82a616a68，则该数列的前11项和为s1111a688.（2)数列an为等差数列,s10，s20s10，s30s20，,s110s100也成等差数列设其公差为d，则s10（s20s10）（s30s20）(s100s90)s100，即10s10ds10010。又s10100,代入上式，得d22，s110s100s10(111)d10010（22）120，s110120s100110。答案（1)b类题通法等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，sk，s2ksk，s3ks2k，组成公差为k2d的等差数列(2）数列an是等差数列snan2bn（a，b为常数）数列为等

8、差数列（3)若s奇表示奇数项的和，s偶表示偶数项的和，公差为d。当项数为偶数2n时，s偶s奇nd，；当项数为奇数2n1时,s奇s偶an,.活学活用1在等差数列an中，若s41，s84，则a17a18a19a20的值为（）a9 b12c16 d17解析：选a由等差数列的性质知s4，s8s4，s12s8，也构成等差数列，不妨设为bn，且b1s41,b2s8s43,于是可求得b35，b47，b59，即a17a18a19a20b59。2等差数列an中，a2a7a1224,则s13_.解析：因为a1a13a2a122a7，又a2a7a1224，所以a78。所以s13138104.答案:104等差数列前n

9、项和的最值例4在等差数列an中，a125,s17s9，求前n项和sn的最大值解由s17s9，nn，得2517d259d，解得d2，法一：sn25n(2)（n13)2169.由二次函数的性质得，当n13时，sn有最大值169。法二：a1250,由得即12n13.当n13时，sn有最大值169.法三：由s17s9，得a10a11a170。而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140。d20,a10，a130,a140，d0时，满足的项数n使sn取最大值当a10，d0时，满足的项数n使sn取最小值活学活用已知an是等差数列,其中a1030，a2050.（1)求数列an的通项公

10、式；(2）若bnan20,求数列bn的前n项和tn的最小值解：(1）由a1030，a2050，得解得a112，d2，所以an2n10.(2)由bnan20得bn2n10，所以，当n5时，bn0;当n5时，bn0；当n5时,bn0。由此可知，数列bn的前4项或前5项的和最小易知t4t520，故数列bn的前n项和tn的最小值为20。典例(12分)已知等差数列an满足a37，a5a726，an的前n项和为sn。求an及sn.解题流程规范解答设等差数列an的公差为d,因为a37,a5a726，所以有(4分）解得a13,d2,所以an32(n1）2n1，（9分)sn3n2n22n。（12分）名师批注解决

11、等差数列问题时，有以下几点容易造成失分: （1）利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d； (2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确； (3）判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第1项活学活用已知等差数列an中，a11，a33.(1）求数列an的通项公式;（2）若数列an的前k项和sk35，求k的值解：（1）设等差数列an的公差为d,则ana1（n1)d.由a11,a33可得12d3，解得d2。从而,an1（n1)(2）32n。(2)由（1)可知an32n，所以sn2nn2.进而由sk35可得2kk235.又kn*，故k7为所求随堂即时演练1(全国卷)设s

12、n是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则s5()a5b7c9 d11解析：选a法一:a1a52a3,a1a3a53a33，a31，s55a35，故选a.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d）3a16d3，a12d1,s55a1d5（a12d）5,故选a。2设sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则s7等于（)a13 b35c49 d63解析:选c法一：设数列an的公差为d，解得于是s771249。法二：由等差数列前n项和公式及性质知s749.3已知数列的通项公式an5n2，则其前n项和sn_.解析：an5n2,数列an是等差数列，且a13,公差d5,sn.答案：4

13、在数列an中,a132，an1an4，则当n_时，前n项和sn取最大值，最大值是_解析：dan1an4，an4n36。令an4n360，得n9,n8或9时,sn最大,且s8s9144.答案：8或91445在等差数列an中:（1)已知a610，s55,求a8；（2)已知a2a4，求s5.解：(1）由已知得解得所以a8a17d57316（或a8a62d102316）（2)由a2a4及等差数列的性质，知a1a5a2a4，所以s524。课时达标检测一、选择题1设an为等差数列,公差d2，sn为其前n项和若s10s11,则a1等于(）a18b20c22 d24解析：选b由s10s11,得a11s11s1

14、00，a1a11(111）d0(10）(2)20.2已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和s10等于(）a138 b135c95 d23解析：选c由a2a44，a3a510，可知d3，a14.s1040395.3已知等差数列an的前n项和为sn，a415，s555,则数列an的公差是(）a。 b4c4 d3解析:选ban是等差数列,a415,s555，5a355,a311，公差da4a34。4设等差数列an的前n项和为sn,若s39，s636，则a7a8a9等于（)a63 b45c36 d27解析:选ba7a8a9s9s6，而由等差数列的性质可知，s3，s6s3，s9

15、s6构成等差数列所以s3（s9s6)2(s6s3），即s9s62s63s32363945.5已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）a5 b4c3 d2解析:选c由题意得s偶s奇5d15，d3。或由解方程组求得d3，故选c。二、填空题6设等差数列an的前n项和为sn,若a6s312，则an的通项an_。解析：设an的公差为d，则解得于是an2（n1）22n。答案：2n7(北京高考)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100，则当n_时,an的前n项和最大解析:数列an是等差数列，且a7a8a93a80，a80。又a7a10a8a90，a90.当n8时，

16、其前n项和最大答案：88已知sn为等差数列an的前n项和，且a42a3，则_。解析：由等差数列的性质知2.答案：三、解答题9设数列an的前n项和为sn，点（nn*）均在函数y3x2的图象上，求数列an的通项公式解：依题意得，3n2,即sn3n22n.当n2时，ansnsn1（3n22n)3（n1)22（n1)6n5，因a1s11,满足an6n5，所以an6n5（nn)10数列an的前n项和sn33nn2.(1)求证：an是等差数列；(2）问an的前多少项和最大；(3）设bn|an,求数列bn的前n项和sn。解：（1）证明：当n2时，ansnsn1342n，又当n1时,a1s1323421满足a

17、n342n。故an的通项为an342n。所以an1an342（n1)(342n)2。故数列an是以32为首项，2为公差的等差数列（2）令an0，得342n0，所以n17,故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时,an0。所以当n17时，snb1b2bn|a1|a2|ana1a2ansn33nn2。当n18时,sn|a1a2|a17|a18|ana1a2a17（a18a19an)s17（sns17)2s17snn233n544。故sn11已知sn是数列an的前n项和,且a11，an(n2），求an.解：当n2时，将snsn1an代入式子an，得snsn1。整理，得sn1sn2snsn1.两边同除snsn1得2(n2）数列是以2为公差的等差数列则