2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 43 直线、平面垂直的判定及其性质

1、2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 43 直线、平面垂直的判定及其性质2022版高考数学一轮复习 课后限时集训 43 直线、平面垂直的判定及其性质年级：姓名：课后限时集训(四十三)直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：40分钟一、选择题1已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是()al或lblmcmdlma直线l平面，则l或l，a正确，故选a.2(多选)(2020山东泰安期末)已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()a若mn，m，则nb若m，n，则mnc若m，m，则d若m，mn，n，则acd易知a正确；对于b，如图，设m为ab，平面a1b1c1

2、d1为平面，m，设平面add1a1为平面，a1d1为n，则mn，故b错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故c对；若m，mn，则n，又n，则，故d对故选acd.3.如图，在四面体dabc中，若abcb，adcd，e是ac的中点，则下列结论正确的是()a平面abc平面abdb平面abd平面bdcc平面abc平面bde，且平面adc平面bded平面abc平面adc，且平面adc平面bdec因为abcb，且e是ac的中点，所以beac，同理有deac，于是ac平面bde.因为ac在平面abc内，所以平面abc平面bde.又由于ac平面acd，所以平面acd平面bde.4(2020南宁模拟)在四棱锥pa

3、bcd中，pa平面abcd，底面abcd是正方形，且paab2，则直线pb与平面pac所成角为()ab cda连接bd，交ac于点o.因为pa平面abcd，底面abcd是正方形，所以bdac，bdpa.又因为paaca，所以bd平面pac，故bo平面pac.连接op，则bpo即为直线pb与平面pac所成角又因为paab2，所以pb2，bo.所以sinbpo，所以bpo.故选a.5(2017全国卷)在正方体abcda1b1c1d1中，e为棱cd的中点，则()aa1edc1ba1ebdca1ebc1 da1eacc如图，a1e在平面abcd上的投影为ae，而ae不与ac，bd垂直，选项b，d错误；

4、a1e在平面bcc1b1上的投影为b1c，且b1cbc1，a1ebc1，故选项c正确；(证明：由条件易知，bc1b1c，bc1ce，又ceb1cc，bc1平面cea1b1.又a1e平面cea1b1，a1ebc1.)a1e在平面dcc1d1上的投影为d1e，而d1e不与dc1垂直，故选项a错误故选c.6(多选)(2020安徽滁州月考)如图1，在正方形abcd中，e，f分别是ab，bc的中点，将ade，cdf，bef分别沿de，df，ef折起，使点a，b，c重合于点p(如图2)，则下列结论正确的是()图1 图2apdefb平面pde平面pdfc二面角pefd的余弦值为d点p在平面def上的正投影是

5、def的外心abc对于a选项，如图，取ef的中点h，连接ph，dh，由题意知pepf，dedf，故phef，dhef，又phdhh，所以ef平面pdh，所以pdef，故a正确；根据折起前后的题图，可知pe，pf，pd三线两两垂直，于是可证平面pde平面pdf，故b正确；根据a选项可知phd为二面角pefd的平面角，设正方形abcd的边长为2，因此pepf1，ph，hd2，pd2，由余弦定理得，cosphd，故c正确；由于pepfpd，故点p在平面def上的正投影不是def的外心，故d错误故选abc.二、填空题7.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，若该长方体的体积为8，则直线

6、ac1与平面bb1c1c所成的角为_30连接bc1(图略)，由ab平面bb1c1c知ac1b就是直线ac1与平面bb1c1c所成的角由22aa18得aa12，bc12，在rtac1b中，tanac1b，ac1b30.8.四面体pabc中，papbpc，底面abc为等腰直角三角形，acbc，o为ab中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面_(只填序号)平面pab；平面abc；平面pac；平面pbc；平面poc.(答案不唯一)四面体pabc中，papbpc，底面abc为等腰直角三角形，acbc，o为ab中点， coab，poab，copoo，ab平面poc.ab平面abc, 平面poc平面abc

7、，两个相互垂直的平面为.9在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab2，则点a1到平面ab1d1的距离是_如图，ab1d1中，ab1ad1，b1d1，ab1d1的边b1d1上的高为，sab1d1，设a1到平面ab1d1的距离为h；则有sab1d1hsa1b1d1aa1，即h2，解得h.三、解答题10.如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)cdae；(2)pd平面abe.证明(1)在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，pacd.又accd，paaca，pa，ac平面pac，cd平面pa

8、c.而ae平面pac，cdae.(2)由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.由(1)知aecd，且pccdc，pc，cd平面pcd，ae平面pcd，而pd平面pcd，aepd.pa底面abcd，ab平面abcd，paab.又abad，且paada，ab平面pad，而pd平面pad，abpd.又abaea，ab，ae平面abe，pd平面abe.11(2020茂名一模)如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，点d是ab的中点，bcac，ab2dc2，aa1.(1)求证：平面a1dc平面abb1a1；(2)求点a到平面a1dc的距离解(1)证明：在三棱柱a

9、bca1b1c1中，aa1平面abc，点d是ab的中点，bcac，cd平面abc，cdab，cdaa1，abaa1a，cd平面abb1a1，cd平面a1dc，平面a1dc平面abb1a1.(2)点d是ab的中点，bcac，ab2dc2，aa1.设点a到平面a1dc的距离为d，va1acdvaa1cd，sacdaa1sdca1d，1112d，解得d，点a到平面a1dc的距离为.1(多选)(2020山东蒙阴实验中学期末)已知四棱锥pabcd，底面abcd为矩形，侧面pcd平面abcd，bc2，cdpcpd2.若点m为pc的中点，则下列说法正确的是()abm平面pcdbpa平面mbdc四棱锥mabc

10、d外接球的表面积为36d四棱锥mabcd的体积为6bc由侧面pcd平面abcd，交线为cd，bccd，得bc平面pcd，过点b只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项a错误；连接ac交bd于o，连接mo，在pac中，ompa，mo平面mbd，pa平面mbd，所以pa平面mbd，所以选项b正确；四棱锥mabcd的体积是四棱锥pabcd的体积的一半，取cd中点n，连接pn，则pncd，则pn平面abcd，pn3，故vmabcd22312，所以选项d错误；连接on，mn，矩形abcd中，易得ac6，oc3，on，在pcd中，有nmpd，在rtmno中，mo3，即omoaobocod，所以四棱锥mabc

11、d外接球的球心为o，半径为3，所以其表面积为36，所以选项c正确故选bc.2九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪在四棱锥pabcd中，底面abcd为邪田，两畔cd，ab分别为1,3，正广ad为2，pd平面abcd，则邪田abcd的邪长为_；邪所在直线与平面pad所成角的大小为_4过点c作ceab，垂足为e，延长ad，bc，使得adbcf，如图所示由题意可得ce2，be2，则bc4，由题意知abad，cdab，所以，所以df.因为pd平面abcd，所以pdab，又abad，所以ab平面pad，则afb是直线bc与平面pad所成角的平面角，tanafb，所以

12、afb.3(2020郑州模拟)如图，在四棱锥pabcd中，底面四边形abcd是菱形，点e在线段pc上，pa平面ebd.(1)证明：点e为线段pc中点；(2)已知pa平面abcd，abc60，点p到平面ebd的距离为1，四棱锥pabcd的体积为2，求pa.解(1)证明：连接ac，与bd相交于点o，连接eo，则经过pa的平面pac与平面ebd交线为eo.因为pa平面ebd，所以paeo.因为四边形abcd是菱形，所以o为ac的中点，所以eo是pac中位线，于是e为线段pc中点(2)因为pa平面ebd，所以点a到平面ebd的距离等于点p到平面ebd的距离等于1.因为pa平面abcd，所以eo平面ab

13、cd，所以平面ebd平面abcd，平面ebd平面abcdbd.因为aobd，所以ao面ebd，因此ao1.因为abc60，所以四边形abcd是边长为2的菱形，面积为22sin 602，所以四棱锥pabcd的体积为vpabcd2pa，由2pa2，得pa3.1(2019全国卷)已知acb90，p为平面abc外一点，pc2，点p到acb两边ac，bc的距离均为，那么p到平面abc的距离为_如图，过点p作po平面abc于o，则po为p到平面abc的距离再过o作oeac于e，ofbc于f，连接pc，pe，pf，则peac，pfbc.又pepf，所以oeof，所以co为acb的平分线，即aco45.在rt

14、pec中，pc2，pe，所以ce1，所以oe1，所以po.2(2020浙江省诸暨中学月考)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马pabcd中，侧棱pd底面abcd，且pdcd，过棱pc的中点e，作efpb交pb于点f，连接de，df，bd，be.(1)证明：pb平面def.试判断四面体dbef是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面def与面abcd所成二面角的大小为，求的值解(1)证明：因为pd底面abcd，所以pdbc，由底面abcd为长方形，有bccd，而pdcdd，所以bc平面pcd.而de平面pcd，所以bcde.又因为pdcd，点e是pc的中点，所以depc.而pcbcc，所以de平面pbc.而pb平面pbc，所以pbde.又pbef，deefe，所以pb平面def.由de平面pbc，pb平面def，可知四面体bdef的四个面都是直角三角形，即四面体bdef是一个鳖臑，其四个面的