《几何体的体积》

1、 1. 回忆以前学过的长方体的体积公式回忆以前学过的长方体的体积公式 2. 学生活动：学生活动： 取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体， 然后不改变书的叠放秩序，改变书的叠放样式，然后不改变书的叠放秩序，改变书的叠放样式， 观察比较改变形状前后这摞书的体积是否有变观察比较改变形状前后这摞书的体积是否有变 化？化？ 思考：思考：关于两物体体积，你可以得到怎样的结论？关于两物体体积，你可以得到怎样的结论？ 本课件只是用于打印的，所有动画都被我处理了（几何画板插件，不处理本课件只是用于打印的，所有动画都被我处理了（几何画板插件，不处理 你们看不到），敬请谅解！你

2、们看不到），敬请谅解！ - qq:229612196 体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行 平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面 积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等 祖暅，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的祖暅，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的 活动期大约在活动期大约在504526年祖氏父子在数学和天年祖氏父子在数学和天 文学上都有杰出的贡献文学上都有杰出的贡献 祖暅主要是修补编辑了祖冲之的祖暅主要是修补编辑了祖冲之的缀术缀术， 并十分巧妙的推导了球的体积公式并十

3、分巧妙的推导了球的体积公式 祖暅原理的原文是祖暅原理的原文是“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不 容异容异” 这里的这里的“幂幂”指水平截面的面积，指水平截面的面积，“势势”指高这指高这 句话的意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平句话的意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平 面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等， 则两空间图形的体积必然相等（可惜的是则两空间图形的体积必然相等（可惜的是缀术缀术不久便失不久便失 传）传） 祖暅原理在西方文献中称为祖暅原理在西方文献中称为“卡瓦

4、列里原理卡瓦列里原理”，1635年意年意 大利数学家卡瓦列里（大利数学家卡瓦列里（B.Cavalieri）提出了相同的原理，为微）提出了相同的原理，为微 积分学创立做了准备积分学创立做了准备 用平行于底面的平面截柱体，所得截面之间有何关系？用平行于底面的平面截柱体，所得截面之间有何关系？ 若一个柱体和一个长方体满足：若一个柱体和一个长方体满足： 高相等；高相等； 底面积相等底面积相等 则则 它们在任意等高处平行于底面的截面面积有何关系？它们在任意等高处平行于底面的截面面积有何关系？ 它们的体积有何关系？它们的体积有何关系？V长方体 长方体=V棱柱棱柱=V圆柱圆柱=Sh V棱柱 棱柱=Sh (其

5、中其中V棱柱 棱柱、 、S 和和 h 分别表示棱分别表示棱 柱的体积、底面面积和高柱的体积、底面面积和高) V圆柱 圆柱=Sh= r2h (其中其中V圆柱 圆柱、 、S、r 和和 h 分别表示分别表示 圆柱的体积、底面面积、底面圆柱的体积、底面面积、底面 半径和高半径和高) 探究一：探究一：等底等高的两个三棱锥体积有何关系？等底等高的两个三棱锥体积有何关系？ OAOBOCh OAOBOCh A BB CC Ah ABBCCAh A B CABC 2 () A B C ABC Sh Sh D E F DEF S S A B CD E F SS 探究二：探究二：一个三棱柱可分割成几个三棱锥？一个三

6、棱柱可分割成几个三棱锥？ 这几个三棱锥体积大小关系如何？这几个三棱锥体积大小关系如何？ 结论：结论： 一个三棱柱可分一个三棱柱可分 割成割成三个体积相三个体积相 等等的三棱锥的三棱锥. 三棱锥的体积等三棱锥的体积等 于与它等底等高于与它等底等高 的三棱柱体积的的三棱柱体积的 三分之一三分之一. V三棱锥 三棱锥= Sh 1 3 探究三：探究三：一个一个 n 棱锥可分割成几个三棱锥？棱锥可分割成几个三棱锥？ 这些三棱锥的高和体积各自为多少？这些三棱锥的高和体积各自为多少？ 12321232 1111 3333 nn VVVVVS hS hS hSh 1232 11 () 33 n SSSShSh

7、 探究四：探究四：若一个三棱锥与一个圆锥底面积相等、若一个三棱锥与一个圆锥底面积相等、 高相等，则它们体积有何关系？高相等，则它们体积有何关系？ 结论：结论：若一个三棱锥与一个圆锥底面积相等、高若一个三棱锥与一个圆锥底面积相等、高 相等，则它们体积相等相等，则它们体积相等 V圆锥 圆锥 1 3 Sh 2 1 3 r h (其中其中V棱锥 棱锥、 、S 和和 h 分别表示棱分别表示棱 锥的体积、底面面积和高锥的体积、底面面积和高) (其中其中V圆锥 圆锥、 、S、r 和和 h 分别表示分别表示 圆锥的体积、底面面积、底面圆锥的体积、底面面积、底面 半径和高半径和高) V圆锥 圆锥 1 3 Sh

8、2 1 3 r h V棱锥 棱锥 1 3 Sh V柱体 柱体 = Sh V锥体 锥体 1 3 Sh 例例1：已知三棱柱：已知三棱柱ABC- -A1B1C1的底面为直角三角形，的底面为直角三角形， 两直角边两直角边AC与与BC的长分别为的长分别为4cm与与3cm，侧棱，侧棱 AA1的长为的长为10cm，求满足下列条件的三棱柱体，求满足下列条件的三棱柱体 积：积： 侧棱侧棱AA1垂直于底面；垂直于底面； 侧棱侧棱AA1与底面所成角为与底面所成角为60 例例2：若圆：若圆柱柱体的高为体的高为 10 cm，体积为，体积为 250 cm3， 求圆柱体的底面半径求圆柱体的底面半径 变：变： 若圆若圆锥锥体的高为体的高为 10 cm，体积为，体积为 250 cm3， 求圆锥体的底面半径求圆锥体的底面半径 注意：柱体注意：柱体体积公式与体积公式与锥体锥体体积公式的不同体积公式的不同 例例3：在棱长为：在棱长为 a 的正方体的正方体 ABCD- -A1B1C1D1 中，中， 求三棱锥求三棱锥 B1- -ABC 的体积；的体积； 中三棱锥的体积是正方体体积的几分之几？中三棱锥的体积是正方体体积的几分之几？ 求点求点B到平面到平面AB1C的距离的