概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

1、习题 3-11、设 ( X ,Y) 的分布律为XY 12311/ 61/ 91/1821/ 3a1/ 9求 a 。解： 由分布律的性质，得pij1,a 0 ，即 1111a11， a0 ，ij691839解得， a2。9注： 考察分布律的完备性和非负性。2、设 ( X ,Y) 的分布函数为F (x, y) ，试用 F ( x, y) 表示：（ 1） P aXb, Yc ；（ 2） P0Yb ；（3） P Xa,Yb 。解： 根据分布函数的定义F (x, y)P Xx, Yy ，得（ 1） P aXb, YcP Xb, YcP Xa,YcF (b, c )F (a ,c ) ；（ 2） P0Yb

2、P X,YbP X,Y 0F (, b )F (,0) ；（3） P Xa, YbP X,YbP Xa,YbF (, b )F (a , b) 。3、设二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数为F ( x, y) ，分布律如下：Y1234X11/ 4001/1621/161/ 401/ 4301/161/160试求：（ 1） P 1X3 ,0Y4 ；（ 2） P1X2,3Y4 ；（3） F (2,3) 。22解： 由 ( X , Y) 的分布律，得1X3,0Y4P X1,Y1P X 1,Y2P X1,Y3101（1） P20；244（2） P1X2,3Y 4P X 1,Y3P X1,Y4P X

3、2,Y3P X2,Y401015164；16（3） F (2,3)P X2, Y3P X1,Y1P X1,Y2P X1,Y3P X2,Y1P X2,Y2P X2,Y 310 011094164。164、设 X， Y 为随机变量，且P X0,Y03/ 7,P X0PY04/ 7，求Pmax( X , Y) 0 。解： Pmax( X ,Y)0P( X0) U(Y0)P X0P Y0P X0,Y05/ 7。注： 此题关键在于理解max( X ,Y )0表示 ( X0) U(Y0) ，然后再根据概率的加法公式。5、( X ,Y) 只取下列数值中的值：(0,0),(1,1),( 1,1/ 3),(2,

4、0)，且相应概率依次为1，1， 1， 5 。631212请列出 ( X ,Y ) 的概率分布表，并写出关于Y 的边缘分布。解：（ 1）根据 ( X ,Y ) 的全部可能取值以及相应概率，得( X ,Y ) 的概率分布表为XY01/ 310100611105123200（ 2）根据 Y 的边缘分布与联合分布的关系，得12XY01/ 31010061110123250012p j71112123所以， Y 的边缘分布为Y01/ 31pk711123126、设随机向量 ( X , Y) 服从二维正态分布N (0,0,10 2 ,102 ,0) ，其概率密度函数为1x2y2f (x, y)e 200，

5、200求PXY。解： 由图形对称性，得P XYP XY，故 PX Y1。23 进行求解会相对复注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质杂些。7、设随机变量 ( X , Y) 的概率密度为f ( x, y)k (6x y), 0x2, 2y40,其它，（ 1）确定常数 k ；（2）求 P X1,Y3 ；（ 3）求 P X1.5 ；（ 4）求 P X Y4 。分析： 利用 P( X ,Y)Gf (x, y)dx dyf ( x, y)dx dy ，再化为累次积分，其中GGDoDo(x, y) 0x 2 ,2y41f (x, y)dx dy21x y)dydx8k ，解

6、得解：（ 1）由概率密度函数的完备性，得0k(62k1 。8（ 2）（ 3）（ 4）P( X1,Y1313 1x y)dy3；3)f (x, y) dxdydx(6802 8P( X1.5)P( X1.5,Y1.5f ( x,y)dxdy1.54 1(6 x y) dy27；)dx2 8320P( XY4)2dx4 x 1y)dy2。f (x, y)dxdy0(6 xx y 40838、已知 X 和 Y 的联合密度为f ( x, y)cxy,0x1,0y10,其它，试求：（ 1）常数 c ；（ 2） X 和 Y 的联合分布函数F ( x, y) 。解：（ 1）由概率密度函数的完备性，得111c

7、11 ，解得 c4f ( x, y)dxdycxydxdy。00220,x0或 y0xy4uvdvdu,0x1,0y 100xyx14uvdvdu,0x1, y1（ 2）F ( x, y)f (u,v)dudv001y4uvdvdu,x1,0y100110,x或y00x2 y20 x1,0y1x20x1, y 1。y2x1,0y11x1,y14uvdvdu,x 1, y 1009、设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为4.8y(2x),0x1,0yxf (x, y)0,其它求边缘概率密度fY ( y) 。1x)dx,0y12.4 y(3 4 y y2 ), 0 y 1解： fY ( y)

8、f (x, y)dx4.8 y(2y。0,其它0,其它10、设 ( X ,Y) 在曲线 yx2 ， yx 所围成的区域 G 内服从均匀分布， 求联合概率密度和边缘概率密度。解： 据题意知，区域 G 的面积为 SG1xdydx1 ，0x26由于 ( X ,Y ) 在区域 G 内服从均匀分布，1(x, y)G6,( x, y)G故 ( X ,Y) 的概率密度函数为f (x, y),SG0,其它。0,其它xx2 ), 0f X ( x)f ( x, y)dyx2 6dy,0 x16( xx1，0,其它0,其它y0 y16(yy),0y1fY ( y)f (x, y) dxy6dx,。0,其它0,其它

9、注： 此题求解首先必须画出区域G 的图形。然后根据图形确定积分上下限。习题 3-21、二维随机变量(X , Y) 的分布律为XY0107/157/ 3017/301/15（ 1）求 Y 的边缘分布律； （2） P Y0 | X0 ， PY1| X0 ；（ 3）判定 X 与 Y 是否独立？解：（ 1）由边缘分布与联合分布的关系，知XY0107/157/ 3017/301/15p j0.70.3所以， Y 的边缘分布律为Y01pk0.70.3（ 2）P Y0 | X0P X0,Y 0P XP X 0,Y00,Y17 /152 ，P X00,Y0P X7/15 7/30 3PY1| X0P X0,Y

10、1P XP X0,Y10,Y17 /301 ；PX 00, Y0P X7 /157 /303（ 3）根据二维随机变量( X ,Y) 的分布律可知其边缘分布律XY01pi07/157/300.717 /301/150.3p j0.70.3由于PX0,Y0P X0PY0 ，所以 X 与 Y 不独立。2、将某一医药公司9 月份和 8 月份的青霉素制剂的订货单数分别记为X 与 Y 。据以往积累的资料知，X 和 Y 的联合分布律为XY5152535455510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.02

11、0.010.010.03550.050.060.050.010.03(1) 求边缘分布律； （ 2）求 8 月份的订单数为51 时， 9 月份订单数的条件分布律。解：（ 1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得XY5152535455pi510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.12550.050.060.050.010.030.20p j0.280.280.220.090.13（2） P X 51| Y 51P X51,Y 510.0

12、63 ，PY510.2814P X52 |Y51P X52,Y510.071 ，P Y510.284P X53| Y51P X53,Y510.055，PY510.2828P X54|Y51P X54,Y510.055，PY510.2828P X55|Y51P X55,Y510.055 ，PY510.28288 月份的订单数为51 时， 9 月份订单数的条件分布律为X |Y515152535455pk315551442828283、已知 ( X ,Y) 的分布律如表所示，XY01201/41/80101/3021/601/8求：（ 1）在 Y1的条件下， X 的条件分布律； （ 2）在 X2 的

13、条件下， Y 的条件分布律。解： 根据联合分布律可得边缘分布律，如下：XY012pi01/41/803/8101/301/321/601/87/24p j5/1211/241/8（ 1）根据上表，可得 P X0|Y 1P X 0,Y11/ 83 ，PY111/ 2411P X1| Y1P X1,Y11/ 38 ，PY111/ 2411P X2| Y1P X2, Y100 ，P Y111/ 24所以，在 Y1 的条件下， X 的条件分布律为X |Y101pk381111（ 2）根据上表，可得PY0 | X2P X2,Y 01/ 64 ，P X27/247PY1| X2P X2,Y100 ，P X

14、27/24PY2 | X2P X2, Y21/ 83 ，PX 27/247所以，在 X2 的条件下， Y 的条件分布律为Y | X022pk43774、已知 ( X ,Y) 的概率密度函数为f ( x, y)3x,0x1,0yx0,其它，求：（ 1）边缘概率密度函数； （2）条件概率密度函数。x0x13x2 ,0x1解：（ 1） f X ( x)f (x, y)dy3xdy,00,；其它0,其它13xdx,0 y13 (1 y2 ),0 y 1fY ( y)f ( x, y)dxy2；0,其它0,其它（2）当 0f ( x, y)3x, 0 y x1 , 0 y xx 1时， fY |X (

15、y | x)3x2x；fX ( x)0,其它0,其它3x,yx12x, y x 1当 0 yf (x, y)322)1时， f X |Y ( x | y)2(1 y(1 y。fY ( y)0,其它0,其它注： 此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。5、设 X 与 Y 相互独立，其概率分布如表所示，X-2-101/2pi1/41/31/121/3Y-1/213pi1/21/41/4求 ( X ,Y) 的联合概率分布，P XY1，PXY 0。解： 由于 X 与 Y 相互独立，故对任意i , j ，有 P Xi, Yj P Xi PYj ，所以， (

16、X ,Y ) 的联合概率分布为XY-1/213pi-21/81/161/161/4-11/61/121/121/301/241/481/481/121/21/61/121/121/3p j1/21/41/4P XY1P X2,Y3P X0,Y11111648，121 ( 11)3P XY01 PXY01(P X1,Y 1P X1/ 2,Y1/ 2)。12646、某旅客到达火车站的时间X 均匀分布在早上7： 558： 00，而火车这段时间开出的时间Y 的密度2(5 y)函数为 fY ( y)25,0y5 ，求此人能及时上火车的概率。0,其它解： 令 7： 55看作时刻0，以分为单位，故X U 0

17、,5，即 X 的概率密度函数为fX ( x)1 , 0x55，0,其它而 X 与 Y 相互独立，故( X ,Y ) 的联合概率密度函数为（x 5,0 y 5f ( x, y) f X (x) fY ( y)2 5 y) , 0125，0,其它所以，此人能及时上火车的概率为PY X 55f (x, y)dxdyx0y x2(5y)dydx 1 。12537、设随机变量X 与 Y 都服从 N (0,1) 分布，且 X 与 Y 相互独立，求( X ,Y) 的联合概率密度函数。解： 据题意知，由于随机变量X 与 Y 都服从 N (0,1) 分布，所以 X 与 Y 的概率密度函数分别为1x21y2f X

18、 ( x)e 2 ，x， fY ( y)e 2 ，y，22又由于 X 与 Y 相互独立，即f (x, y)f X (x) fY ( y) ，1x2y2故 ( X ,Y) 的联合概率密度函数为f ( x, y)f X (x) fY ( y)e2,x, y。28、设随机变量X 与 Y 相互独立，且分别服从二项分布B(n, p) 与 B(m, p) ，求证：XY B(nm, p) 。证： 据题意知， X B(n, p) ， Y B( m, p) ，故 X 与 Y 的分布律分别为P XiC nipi (1p)ni ,i0,1,2,L, n ， PYjC mjp j (1p)mj , j0,1,2,L,

19、 m ，又由于X与 Y 相互独立，故P XYkP X 0,YkP X1,Yk 1 P X2,Yk2LP Xk,Y0kkkC ni pi (1 p)n i Cmk i p k i (1 p)m ( k i )P X i ,Y k iP X i P Y k ii 0i0i0kpk (1p)m nkCniCmk iCmkn pk (1p) mn k ， k0,1,2, L , mn 。i 09、设随机变量X 的概率密度为f ( x)1 e |x| ,x，问： X 与 | X |是否相互独立 ?解：【法一】 任意给定 a02P Xaf (x)dx01xa 1exdx1ea)ae dx2(2202P|X

20、|aaa 1e|x|dx0 1 xa1xdx1eaf ( x) dxa 2a 2e dxea02P Xa,| X |aP|X|aaf (x)dxa 1|x|dx0 1xa 1xdx1 ea所以ee dxeaa 2a 202P Xa,| X |aP Xa P| X |a ，因而 X 与 | X | 不独立。【法二】 若 X 与 | X | 相互独立，则对任意a0，有 P Xa,| X |aP Xa P| X |a ，而 | X |a Xa ，即 P Xa,| X |aP| X |a ，所以， P| X |aP Xa P| X |aP| X |a(1P Xa)0 ，解得，P| X | a0 或 1

21、P Xa ，很显然这是不成立的，故X 与 | X | 不是相互独立的。10、设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X U (0,1)， Y e(1/ 2) 。（ 1）求 X 与 Y 的联合概率密度； （ 2）设有 a 的二次方程 a22XaY0 ，求它有实根的概率。解： 因为 X U (0,1) ，所以 fX ( x)1,0x10,other；1 y, y01 e 2，又 X ,Y 相互独立，所以因为 Y e(1/ 2) ，所以 fY ( y)20, other11 yx1, y0（ 1） f ( x, y)f X ( x) fY ( y)2e 2 ,00, other（ 2）所求概率为P

22、 方程有实根 P0P4X24Y0P YX 2 f ( x, y)dxdyy x21x2 11 ydx1x211x2dxe 2(1e 2 )dxe2 dx0020011x210x2122 dx2 dx 12 (1)(0) 。2e2e习题 3-31 、设随机变量X 和 Y 相互独立，且都等可能地取1,2,3 为值，求随机变量 Umax X ,Y 和Vmin X ,Y 的联合分布。解： 由题意， X 和 Y 的分布律为X（Y）123可见 UV ，下求 PUi,Vj pk1/31/31/3（ 1）当 ij 时， PUi ,Vj0（ 2）当 ij 时，PUi ,ViPUV P XYP Xi ,YiP X i PY i 1/ 9（ 3）当 ij 时，PUi ,VjP Xi, YjP Xj ,Yi2/ 9所以得到关于 U ， V 的联合分布律为VU12311/92/92