高等数学：二重积分的计算法（1）

1、如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()( 21 xyx X型型 )( 2 xy a b D )( 1 xy D b a )( 2 xy )( 1 xy 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)( 1 x )( 2 x ,ba 二重积分的计算法二重积分的计算法(1) 一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分 为曲顶的柱体的体积为曲顶的柱体的体积 为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以 ),( ),( yxf zDdyxf D 应用计算应用计算“平行截平行截 面面积为已知的立面面积为已知的立 体求体积体求体积”的方法的方法, z y x )( 2

2、 xy )( 1 xy ),( yxfz )( 0 xA 得得 .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf ab 0 x d 如果积分区域为：如果积分区域为： ,dyc ).()( 21 yxy Y型型 )( 2 yx )( 1 yx D c d c d )( 2 yx )( 1 yx D .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区

3、域且平行于x轴的直轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，若区域如图，则必须分割则必须分割. 在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别 使用积分公式使用积分公式 . 321 DDDD 3 D 2 D 1 D 注注 ）二重积分化累次积分的步骤）二重积分化累次积分的步骤 画域，选序，定限画域，选序，定限 ）累次积分中积分的上限不小于下限）累次积分中积分的上限不小于下限 ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，区域的草

4、图，画好围成画好围成D的几条边界线，的几条边界线， 若是若是X型，型， 就先就先 y 后后 x 若是若是Y型，就先型，就先 x 后后 y ， 注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。积分限是常数。 例例 1 1 改改变变积积分分 x dyyxfdx 1 0 1 0 ),(的的次次序序. 解解积分区域如图积分区域如图 xy 1 原原式式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. 例例 2 2 改改变变积积分分 xxx dyyxfdxdyyxfdx 2 0 2 1 2 0 1 0 ),(),( 2 的的次次序序. 解解 积分区域如图积分区

5、域如图 xy 2 2 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. 例例3 计算计算 D dxdyxy 2 D 2 ,xyxy 10 2 x xyx 解一解一 D：X型型 11 2 2 xy 2 11yx 2 1 11yx 2 2 11yx D 2 xy D 1 0 63 1 0 22 40 1 )( 3 1 2 dxxxx dyydxdxdyxy D x x 解二解二D 10y yxy Y型型 1 0 22 1 0 2 40 1 )( 2 1 dyyyydxxydyI y y 例例4 计算计算 D xyyxyDdxdy x y 1, 2,:, 2 2 x y o

6、 yx 解解 D 21 1 y yx y Y型型 I = 2 1 1 2 2 y y dx x y dy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范 围内有不同的表达式，围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。 2 1 32 4 9 )(dyyyy 2 1 2 1 2 1 x y o 1xy 2y yx 1x 由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为 方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单

7、特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单 的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积 函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分， 总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。 例例5 计算计算 D xy xyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:, 解解 D是是X型区域型区域 2 1 2 1 x xydy yedxI 要分部积分，不易计算要分部积分，不易计算 D 1 2ox y 1 2 若先若先 x 后后 y 则须分片则须分片 2 1 2 1 xy 1 2 1 2

8、 y 1 xy dxyedydxyedyI 易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但 由于被积函数的特点，积由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。 例例6 6 改改变变积积分分)0(),( 2 0 2 2 2 adyyxfdx aax xax 的的次次序序. 解解axy2 2 2xaxy 22 yaax D 原式原式= ayaa a y dxyxfdy 0 2 22 2 ),( aa yaa dxyxfdy 0 2 22 ),( .),( 22 2 2 a a a a y dxyxfdy a2a a2 a 例例 7 7 求求 D dxdyyx)( 2 ，其中，其中

9、D是由抛物线是由抛物线 2 xy 和和 2 yx 所围平面闭区域所围平面闭区域. 解解 两两 曲曲 线线 的的 交交 点点 ),1 , 1( ,)0 , 0( 2 2 yx xy 2 xy 2 yx D dxdyyx)( 2 1 0 2 2 )( x x dyyxdx dxxxxxx)( 2 1 )( 42 1 0 2 . 140 33 例例8 求求 D y dxdyex 2 2 ，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. 解解 dye y2 无法用初等函数表示无法用初等函数表示 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 D y dxd

10、yex 2 2 y y dxexdy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1( 6 1 e 2 xy 2 yx 例例10 计算计算 D xyxyDdxdy x xy 2,:, 1 ) 1sin( 2 解解 根据积分区域的特点根据积分区域的特点 1 4 -1 2应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分 dx x xy dyI y y 2 1 2 2 1 ) 1sin( 但由于但由于 1 ) 1sin( x x 对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算， 须改变积分次序。须改变积分次序。 x y 先先 y 后

11、后 x 有有 dy x xy dx x x 4 12 1 ) 1sin( dx x x xx 1 )1sin( )2( 2 1 0 2 4 1 dx x x xx 4 1 2 1 )1sin( )45( 2 1 4 1 )1sin()4( 2 1 dxxx )3sin3( 2 1 dy x xy dxI x x 1 0 1 ) 1sin( 奇函数奇函数 1 4 -1 2 x y xy xy 2 xy 化二重积分为累次积分时选择积分次序的化二重积分为累次积分时选择积分次序的 重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程 度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至 有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序 却积不出来却积不出来 另外交换累次积分的次序：先由累次积分另外交换累次积分的次序：先由累次积分 找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交 换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。换积分次序，写出另