数值计算方法试题集及答案

1、计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f(1)1.0, f(2) 12 f1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31 f(x)dx,用三点式求得f (1)2、f(1)1，f(2) 2，f(3) 1 ,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为11答安 1l2(x)2(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) -(x 1)(x 2)3、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;4、设f(x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()xn 1xn答案xn f(xn ) 1 f (xn)5、对 f(x)x3x 1,差商 f0,1,2,3 ( 1 ),f

2、0,1,2,3,4(6、计算方法主要研究(7、用二分法求非线性方程截断)误差和(舍入)误差；f (x)=0在区间(a, b)内的根时，二分n次后的误差限为b a(丁)；8、已知 f(1) =2, f(2) =3f(4)=,则二次newton插值多项式中x2系数为()11、两点式高斯型求积公式111f (x)dx / 0f(x)dx - f(0= (2) f() 一2%，323)，代数精度为(5 )；1012、为了使计算4(x 1)26(x 1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表y 10达式改写为(3(416t)t)t，t 二,为了减少舍入误差，应将表达式“2001 v1999 改写为2001 .

3、199913、3用二分法求方程f(x) x x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区问为 ，14、计算积分110.5进行两步后根的所在区间为bdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为1 ，辛卜生公式的代数精度为315、设 f(0) 0, f(1) 16, f(2) 46,则 l1(x) l1(x) x(x2)f(x)的二次牛顿16、17、18、插值多项式为 n2(x) 16x 7x(x 1) obf(x)dx求积公式有(2n 1 )已知 f (1)=1, fnakf(xk)k 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具次代数精

4、度。二5, f设 f (1)=1 , f (2)=219、如果用二分法求方程(10s(x)(5)=-3,用辛普生求积公式求f (3)=0 ,用三点式求f (1)(5,f (x)dx1 ) =(12 )。0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分20、已知a=( 3o3x13二(x 1)2b二(3a(x 1)2b(x),1) c 13是三次样条函数，则21、nlo(x),l1(x),3(x)是以整数点x0，x1, xn为节点的lagrange插值基函数,则lk(x)k 0n4 (xkk 0xj (xj0(xj )3)lk(x)(22、数。区间a，b上的三次样条插值函数 s(x)在a，b上具有直到

5、2 阶的连续导23、改变函数f(x) 47 &( x 1)的形式，使计算结果较精确124、若用二分法求方程o0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对s x25、设次。2x3, 032x axxbx1c, 1 x 2是3次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 126、若用复化梯形公式计算 477个求积节点。1 2 .1f (x)dx -f( 1)98f (0) f (1)的代数精度为01exdx 60,要求误差不超过10 ,利用余项公式估计，至少用2人若 f(x) 3x4 2x 1 ,则差商 f2,4,8,16,3228、数值积分公式2。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精

6、度为(b )a.2b. 5 c.3 d . 42、舍入误差是(a )产生的误差。a.只取有限位数b.模型准确值与用数值方法求得的准确值c.观察与测量d.数学模型准确值与实际值3、是冗的有(b )位有效数字的近似值。a . 6b. 5 c . 4 d .74、用1 + x近似表示ex所产生的误差是(c ) 误差。a.模型 b .观测c.截断 d .舍入5、用1+3近似表示3c所产生的误差是(d )误差。a.舍入 b .观测 c .模型 d.截断6、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(c )位有效数字。a . 5 b . 6 c. 7 d . 87、设f (-1)=1, f (0)=3,

7、 f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(a ) oa.-0. 5 b .0.5 c . 2 d . -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(c)。a . 3 b . 4c. 5 d . 29、( d )的3位有效数字是x 102。(a) x 103 (b) x10- 2 (c)(d) x 10-110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=j(x),则f(x)=0的 根是(b)。(a) y=j(x)与x轴交点的横坐标(b) y=x与y=j(x)交点的横坐标(c) y=x与x轴的交点的横坐标(d) y=x 与y=j(x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项

8、是（b ）,牛顿插值多项式的余项是（c ）(a) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),rn(x)f(x)(b)f (n 1)()pn(x) (n 1)!(c)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(d)rn(x) f(x) pn(x)f (n 1)()vv n1(x)12、用牛顿 切线法解 方程f（x）=0 ,选初始值x0满足（a ）,则它的 解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f（x）=0的根。(a) f (x0)f (x) 0(b)f(4)f(x) 0(c)f(%)f13

9、、为求方程x3x21=0在区间口内的一个根,(x) 0(d)f(x0)f(x) 0把方程改写成下列形式，并建立相(a),，迭代公式：xk 1x 1(b)4,迭代公式：xk1 x1xk(c)x2,迭代公式：xk 1(12,1/3 xk)(d)x2,迭代公式：xk 12xkxk14、在牛顿-柯特斯求积公式:ba f(x)dx (ba)i 0ci(n)f(xi)（n）中，当系数ci是负值时,应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（a ）时的牛顿-柯特斯求积公式不公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 使用。(d n 8,(2) n 7,(3) n 10,(4) n 6,23、有下列数表x012f(x)

10、一-2-12所确定的插值多项式的次数是（）（1）二次； （2）三次； （3）四次；（4）五次15、取出1.732计算x （石1）4,下列方法中哪种最好（）(a) 28 163 ；s（x）26、已知(b)(4 2厨；(3x32(x 1)3 a(x 2) b_16_16_c （4 2亚2 ；（d）用 1）4 00x22 x 4是三次样条函数，则a,b的值为xi123f(xi)-1(a) 5；(b)4；(c)3；( d) 2o()(a)6, 6;(b)6, 8;(c)8, 6;(d)8, 8。16、由下列数表进行newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(17、形如度为(a) 9；ba f(x

11、)dx)(b)aif(xi) a2f(x2) a3f(x3)的高斯(gauss)型求积公式的代数精18、7；( c)计算点的newton迭代格式为(xk (a)xk1万3xkxk ; (b)xk5)3(d)3。(c)xk19、用二分法求方程4x210xk 2xk ； (d)xkxk3xko则对分次数至少为()(a)10;(b)12(c)80在区间1,2内的实根，要求误差限为；(d)9。20、设 li(x)是以 xk k(k9kli(k)0,1,l为节点的lagrange插值基函数，则k 0(a) x；33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,(c) i ；(d) 1。至少具有()次代数精度(a)5

12、 ；(b)4(c)610 3s(x)21、已知 (a)6, 6;35、已知方程()3 x2(x1)3 a(x(b)6 x3 2x8；52) b (c)8(d)3i x6；24是三次样条函数，则(d)8, 8。a,b的值为(0在x 2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是xk 123xk ; ( c) xk 1 xk xk 5 ;xk(d)2x3 53x2 2kox01234f(x)11243-5(a) xk 1 &xk 5 ; (b)22、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为()(a) 4;(b)2;(c)1;(d)3。23、5个节点的gauss型求积公式的最高代数精度为()(a)8;(

13、b)9;(c)10;(d)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打？，否则打)1、已知观察值(为，4)00,1,2，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式pn(x)时,pn(x)的次数n可以任意取。()2x2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。()(x x0 )( x x2 )3、(x1 x0)(x1 x2)表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基函数。(？)4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。(?)3112535、矩阵a=125具有严格对角占优。()四、计算题：1 1 1f(x)dx a f( 1) f (1) bf( -) f (-)1、求a、

14、b使求积公式1 2，2”的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。2答案：f(x) 1,x,x是精确成立，即2a2a2b1b 21f(x)dx 求积公式为19f(1)f(1)3f(2)1f(-)当f(x) x3时，公式显然精确成立；当f(x)1右=3 。所以代数精度为3。2x1dt -1t 391 3970.692861402、已知xi1345f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式p3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x 3)(x 4)(x 5) (x 1)(x 4)(x 5)l3(x)2 6:案.(1 3)(1 4)(

15、1 5)(3 1)(3 4)(3 5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)5 4(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10#41p3(x)n3(x) 2 2(x 1) (x 1)( x 3) (x 1)( x 3)(x 4)4f(2)p3(2) 5.55、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线p2(x),并求f (0)的近似值答案：解：ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi小0-244-816-8161-121-11-22201100r 0p 00131311133

16、42548161020015100343415a0 10a2 1510a13正规方程组为10ao 34a2 41103二，a177 , a21114p2(x)10311 2x x7 1014p2(x)31011x7f (0)p2(0)3107106、已知sinx区间,的函数表xi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差m 3|r2(x)| 可3| 3(x)|尽量小，即应使| 3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，0607最好，实际计算结果sin0.63891 0.596274,sin 0

17、.638910.59627413 (0.638910.5)(0.63891 90.6)(0.63891 0.7)0.55032 107、构造求解方程ex 10x 2 0的根的迭代格式xn 1(xn), n q1,2,讨论其收敛4性，并将根求出来，氏 1 xn| 10 o答案：解：令 f(x) ex 10x 2, f(0)2 0,f (1) 10 e 0且 f (x) ex 10 0 对 x (),故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程f (x) 0变形为1x (210则当x (0,1)时(x) -1(2 ex)|10,故迭代格式xn i 工(2 exn) 10收敛。取x0 0.5,计算结

18、果列表如下：(x)i1010n0123xn127 872424 785877 325n4567xn595 993517 340525 950525 0086且满足 |x7 x6 i 0.000 000 95 10所以 x 0.090 52500810、已知下列实验数据解：当 0x1 时，f (x)ex,则 f (x)1e,且0e dx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差r1(n)(f)1 10 42由哽5(r(n) (ex)e12n2e12n210xif(xi)试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据即可，解得n ，: 102 67.3087712、取节点xo 0，x1所以 n 68

19、,因此至少需将0,1 68 等份。.5，x2 1,求函数f(x)e x在区间0，1上的二次插值多项式p2(x)，并估计误差解:p2(x)e(x 0.5)(x 1)(0 0.5)(0 1)0.5 e(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)(x 0)(x 05)(1 0)(1 0.5)_0 5_1一2(x 0.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)f (x) e x, f (x) e x,m 3 max | f (x) | 1又x 0,1|r2(x)l ie x p2(x)l，x(x 0.5)( x 1)1故截断误差3!0x14、给定方程 f(x) (x 1)e 1

20、 01)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程(x 1)ex 1 0(1)改写为xx 1 e(2)x*作函数f1(x) x 1, f2(x) e的图形(略)知(2)有唯一根x (1,2)2)将方程(2)改写为x 1 e xxk 11 e xk构造迭代格式x0 1.5(k 0,1,2, )计算结果列表如下:k123456789xk3)(x) 1 e x ,(x) e x当 x 1,2时，(x) (2), (1)1,2,且1i (x)l e 1 1所以迭代格式xk 1(xk) (k0，1,2，)对任意x0 1,2土匀收敛。1

21、5、用牛顿(切线)法求j3的近似值。取xo=,计算三次，保留五位小数。解：声是f(x) x2 30的正根,f (x) 2x，牛顿迭代公式为xn 1 xnx232xnxn 1 当 73- (n 0,1,2,)2 2xnn123xn取xo=,列表如下:16、已知 f (-1)=2 , f (1)=3 , 近似值，取五位小数。f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式l2(x)及f (1 , 5)的解:l2(x)2 (x 1)(x 2)(1 1)( 12)3 (x1)(x2)4 (x1)(x1)(11)(12)(21)(21)i(x 1)(x2)34/ 1)(x 2) 3(1).1f(1.5)l2(1

22、.5)0.041672417、n=3,用复合梯形公式求1exdx0的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解:；exdx t3 ue。 02 31 32(e2 31e ) e 1.7342f (x) ex, f (x) ex, 0x 1 时，1f(x)i e|r| lext31各e0.0250.05108xi19253038至少有两位有效数字。20、(8分)用最小二乘法求形如y2a bx的经验公式拟合以下数据:解:at1192解方程组其中*2、span 1, x 111252 312 382at ac at yata433913391 352960319.0aty32.3 49.0 73.317

23、3.6179980.7c 解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577,b 0.050102521、（15 分）用 n 项估计其误差。用 值。8的复化梯形公式（或复化simpson公式）计算n 8的复化梯形公式（或复化1e xdx0e时，试用余simpson公式）计算出该积分的近似|rtf解：t(8) hf(a)21121 0.00130276872f(xk)f(b)k 111 2 (0.8824969160.77880080.606530660.53526140.63294340.472366550.41686207) 0.3678794刁22、（15分）方程x30在x

24、 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x x 1对应迭代格式xn1对应迭代格式xn 13 xn3 xn1 x1 ；11xn 1x对应迭代格式1。判断迭代格式在x0 1.5的收敛性,式计算x1.5附近的根，精确到小数点后第三位解：（1）1、2(x) -(x 1)33(1.5) 0.18 1,故收敛;11xn ； （3）选一种收敛格(3)(x)(x)0.17 1,故收敛;1,故发散。选择(1): x01.5 , x11.3572 x2 1.3309 x3 1.3259 ? ? ?1.3249xs 1.32476 x6 1.3247225、数值积分公式形如1oxf(x)dx s(x)

25、af (0) bf(1) cf (0) df(1)试确定参数a,b,c,d使公式代数精度尽量高；(2)设fc40，1,推导余项公式r(x)10xf(x)dx s(x)并估计误差。23. 一 a解：将f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：20，b20，b120山(为)f(xi)构造hermw插值多项式h3(x)满足h3(xi) f (xi)i 0,1其中x00,x11则有:1o xh3 (x)dx s(x)f(4)( ) 22f(x) h3(x) fx(x 1)r(x)10xf (x) s(x)dx1 f (4)()f(4)()4!f (4)(x 1)2dx -4! 604!f(4)x3 (

26、x 1)2dx144027、(10 分)已知数值积分公式为:h .2 ,.f(x)dx 2f(0) f(h)hf f(h),试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) 1显然精确成立；f(x)f(x)f(x)所以,f(x)2x时,3x时,4x时,x时,h 2x dx0hx3dx0hx4dx0其代数精确度为hxdx020川h21h33h44h553。20202022h2h202h1；2h2112 3.12.2 .h而h0 3h412 _3h ” 4hh56 ；28、(8分)已知求a(a 0)的迭代公式为:1axk 1-(xk -)xo0 k 0,1,22

27、xk证明：对一切k 1，2， ，xka ,且序列从而迭代过程收敛。1 / a、1caxk 1(xk -)2xk 证明：k12, k xj 2 k xk故对一切 k1,2,xka。xk是单调递减的,a k 0,1,22 1（1 又。2 迭代过程收敛;(11)所以九1xk,即序列xk是单调递减有下界，从而29、（9分）数值求积公式 精度是多少f （x）dx 3f f（2）2是否为插值型求积公式为什么其代数解：是。因为f（x）在基点x 2x 1p(x)f (1)f (2) 1、2处的插值多项式为121213 一 p(x)dx 2f f(2)其代数精度为1。30、（6分）写出求方程4x 敛性。cos x1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收(6分)xn 1xn114cos xn，n=0,1,2,sin对任意的初值 0，1,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算 w15的近似值，并利用余项估计误差用newton插值方法：差分表:100101211114412115 10+(115-100)(115-100)(115-121)f xfr 115 100 115 121 115 1443!1 35一100 2 15 6 29 0.001631 sin x0 xdx的近似值，要求误差限为68i32、（10分）用复化simpson公式计算积分si