复合材料力学

1、2021/3/10讲解：XX1 2021/3/10讲解：XX2 2021/3/10讲解：XX3 简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件 宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能，宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能， 不讨论复合材料组分之间的相互作用不讨论复合材料组分之间的相互作用 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内 应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略应力，不考虑面

2、上应力，即认为它们很小，可忽略 在线弹性范围内在线弹性范围内 nAnisotropic nIsotropy nOrthotropy nFailure Criterion 2021/3/10讲解：XX4 对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工 程弹性常数有：程弹性常数有：E,G,vE,G,v nE E：拉伸模量：拉伸模量 nG G：剪切模量：剪切模量 nV V：泊松比：泊松比 n其中其中 )1 (2/EG 独立常数只有独立常数只有2 2个个 2021/3/10讲解：XX5 应力应变的广义虎克定律应力应变的广义虎克定律 n对简单层板来说，由于厚度与其他方向

3、尺寸相比较小，对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析因此一般按平面应力状态进行分析 n只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力 6,.,2 , 1j , iC jiji 应力分量，刚度矩阵，应变分量应力分量，刚度矩阵，应变分量 6,.,2 , 1j , iS jiji 柔度矩阵柔度矩阵 2021/3/10讲解：XX6 12 31 23 3 2 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 12 31 23

4、 3 2 1 CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC z w y v x u 321 x v y u z u x w z v y w 123123 简写了表简写了表 达符号达符号 几何方程几何方程 2021/3/10讲解：XX7 x y z xz yz x y xy xyzxyzzyx , 六个应力分量六个应力分量 主应力和主方向主应力和主方向 材料往往在受力最大的面发生破坏，材料往往在受力最大的面发生破坏， 物体内每一点都有无穷多个微面通物体内每一点都有无穷多个微面通 过，斜面上剪应力为零的面为主平过，斜面上剪应力为零的面为主平 面，其法线方向为主

5、方向，应力为面，其法线方向为主方向，应力为 主应力，三个主应力，包括最大和主应力，三个主应力，包括最大和 最小应力最小应力 z 2021/3/10讲解：XX8 0 zyx 0 zyx 0 zyx z yz zx yzyxy xz xy x xy zx yz z y x 666464636261 51 41 31 21 161514131211 xy zx yz z y x SSSSSS S S S S SSSSSS jiji C 柔度分量、模量分量柔度分量、模量分量 各向异性体弹性各向异性体弹性 力学基本方程力学基本方程 弹性体受力变形的弹性体受力变形的 位移与应变关系位移与应变关系 本构方程

6、本构方程 3 6 2021/3/10讲解：XX9 zyxzyx 2 zyxyxz 2 zyxxzy 2 xy zx yz z 2 xy zx yzy 2 xy zx yz x 2 2 z 2 2 y 2 yz 2 2 z 2 2 x 2 zx 2 2 y 2 2 x 2 xy 2 yzzy xzzx xyyx z w y v x u 321 x v y u z u x w z v y w 123123 连续性方程或连续性方程或 变形协调方程变形协调方程 6 2021/3/10讲解：XX10 弹性力学问题的一般解法弹性力学问题的一般解法 六个应力分量六个应力分量 六个应变分量六个应变分量 三个位

7、移分量三个位移分量 w, v,u , , xyzxyzzyx xyzxyzzyx 几何关系（位移和应变关系）几何关系（位移和应变关系） 物理关系（应力和应变关系）物理关系（应力和应变关系） 平衡方程平衡方程 15个方程求个方程求15个未知数个未知数可解可解 难以实现难以实现 简化或数值解法简化或数值解法 2021/3/10讲解：XX11 12 31 23 3 2 1 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 12 31 23 3 2 1 CCCCCC CCCCCC CCCCCC C

8、CCCCC CCCCCC CCCCCC 回来继续关注刚度矩阵回来继续关注刚度矩阵 3636个分量个分量 2021/3/10讲解：XX12 在刚度矩阵在刚度矩阵C Cij ij中有中有3636个常数，但在材料中，实际常数个常数，但在材料中，实际常数 小于小于3636个。首先证明个。首先证明C Cij ij的对称性：的对称性： 当应力当应力 ii作用产生作用产生d d ii的增量时，单位体积的功的增量的增量时，单位体积的功的增量 为：为：dw= dw= i i d d i i 由由 ii= = C Cij ij d d j j得： 得：dw= dw= C Cij ij d d j j d d i

9、i 积分得：积分得：w=1/2 w=1/2 C Cij ij j j i i ij ji 2 jij i C w C w ji ij 2 C w C Cij ij的脚标与微分次序无关：的脚标与微分次序无关： C Cij ij=C=Cji ji 刚度矩阵是对称的，只有刚度矩阵是对称的，只有2121个常数是独立的个常数是独立的 同理 2021/3/10讲解：XX13 12 31 23 3 2 1 665646362616 565545352515 464544342414 363534332313 262524232212 161514131211 12 31 23 3 2 1 CCCCCC CC

10、CCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 各向异性的、全不对称材料各向异性的、全不对称材料2121个常数个常数 2021/3/10讲解：XX14 单对称材料单对称材料 如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如z=0z=0 平面为对称面，则所有与平面为对称面，则所有与Z Z轴或轴或3 3正方向有关的常数，正方向有关的常数， 必须与必须与Z Z轴负方向有关的常数相同轴负方向有关的常数相同 剪应变分量剪应变分量 yz yz和 和 xz xz仅与剪应力分量 仅与剪应力分量 yz yz xzxz有关，则弹性 有关，则弹性 常数可变为

11、常数可变为1313个，单对称材料个，单对称材料 12 31 23 3 2 1 66362616 5545 4544 36332313 26232212 16131211 12 31 23 3 2 1 C00CCC 0CC000 0CC000 C00CCC C00CCC C00CCC 2021/3/10讲解：XX15 单对称材料单对称材料 12 31 23 3 2 1 6646 55352515 4644 35332313 25232212 15131211 12 31 23 3 2 1 C0C000 0C0CCC C0C000 0C0CCC 0C0CCC 0C0CCC y=0y=0 2021/

12、3/10讲解：XX16 正交各向异性材料正交各向异性材料 随着材料对称性的提高，独立常数的数目逐步减少随着材料对称性的提高，独立常数的数目逐步减少 如果材料有两个正交的材料性能对称面，则对于和这如果材料有两个正交的材料性能对称面，则对于和这 两个相垂直的平面也有对称面（第三个）两个相垂直的平面也有对称面（第三个）正交各正交各 向异性向异性9个独立常数个独立常数 12 31 23 3 2 1 66 55 44 332331 232221 131211 12 31 23 3 2 1 C00000 0C0000 00C000 000CCC 000CCC 000CCC 正应力与剪应变之间没有耦合，剪应

13、力与正应变之间没有耦合正应力与剪应变之间没有耦合，剪应力与正应变之间没有耦合 不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用 2021/3/10讲解：XX17 2021/3/10讲解：XX18 横观各向同性材料横观各向同性材料 如果材料中每一点有一个方向的力学性能都相同，那么如果材料中每一点有一个方向的力学性能都相同，那么 为横观各向同性材料为横观各向同性材料5个独立常数个独立常数 常常用来描述各向异性纤维和单向复合材料的弹性常数常常用来描述各向异性纤维和单向复合材料的弹性常数 12 31 23 3 2 1 1211 44 44 331313 1311

14、12 131211 12 31 23 3 2 1 2 CC 00000 0C0000 00C000 000CCC 000CCC 000CCC 2 CC C 1211 66 根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等效推导而出根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等效推导而出 1-21-2平面平面 1 1，2 2可互换可互换 2021/3/10讲解：XX19 各向同性材料各向同性材料 如果材料完全是各向同性的，则如果材料完全是各向同性的，则2个独立常数个独立常数 2/ )CC(CCC CCC CCC 1211665544 312312 332211 12 31 23 3 2 1 1211 1211 1211

15、111212 121112 121211 12 31 23 3 2 1 2 CC 00000 0 2 CC 0000 00 2 CC 000 000CCC 000CCC 000CCC 2021/3/10讲解：XX20 应变应变- -应力关系（柔度矩阵）应力关系（柔度矩阵） 12 31 23 3 2 1 665646362616 565545352515 464544342414 363534332313 262524232212 161514131211 12 31 23 3 2 1 SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS 与刚度矩阵一样有相似的性质

16、与刚度矩阵一样有相似的性质 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵 2021/3/10讲解：XX21 正轴、偏轴和一般情况正轴、偏轴和一般情况 2021/3/10讲解：XX22 总结总结 材料对称性材料对称性 的类型的类型 独立常独立常 数数量数数量 非零分量非零分量 个数个数 （正轴）（正轴） 非零分量非零分量 个数个数 （偏轴）（偏轴） 非零分量非零分量 个数个数 （一般）（一般） 三斜轴系三斜轴系 21363636 单斜轴系单斜轴系 13203636 正交各向异性正交各向异性 9122036 横观各向同性横观各向同性 5122036 各向同性各向同性 2121212 各

17、向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数各向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数 2021/3/10讲解：XX23 工程常数：工程常数： n可以用简单试验如拉伸、压缩、剪切、弯曲可以用简单试验如拉伸、压缩、剪切、弯曲 等获得等获得 n具有很明显的物理解释具有很明显的物理解释 n这些常数比这些常数比C Cij ij或 或S Sij ij中的各分量具有更明显 中的各分量具有更明显 的物理意义、更直观的物理意义、更直观 n最简单的试验是在已知载荷或应力的条件下最简单的试验是在已知载荷或应力的条件下 测量相应的位移或应变，因此柔度矩阵比刚测量相应的位移或应变，因此柔度矩阵比刚 度矩阵更能直接测定

18、度矩阵更能直接测定 2021/3/10讲解：XX24 2021/3/10讲解：XX25 12 31 23 3 2 1 665646362616 565545352515 464544342414 363534332313 262524232212 161514131211 12 31 23 3 2 1 SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSS 2021/3/10讲解：XX26 正交各向异性材料用工程常数表正交各向异性材料用工程常数表 示的柔度矩阵示的柔度矩阵 12 31 23 32 23 1 13 3 32 21 12 3 31 2 21 1 ij G

19、 1 00000 0 G 1 0000 00 G 1 000 000 E 1 EE 000 EE 1 E 000 EEE 1 S E1、E2、E3为为1，2，3方向上的弹性模量方向上的弹性模量 ij为应力在为应力在i方向上作用时方向上作用时j方向的横向应变的泊松比方向的横向应变的泊松比 G23,G31,G12为为2-3，3-1，1-2平面的剪切应变平面的剪切应变 2021/3/10讲解：XX27 i j ij 3 , 2 , 1j , i EE j ji i ij ij为应力在为应力在i方向上作用时方向上作用时j方向的横向应变的泊松比方向的横向应变的泊松比 正交各向异性材料只有九个独立常数，现

20、在有正交各向异性材料只有九个独立常数，现在有1212个常数个常数 根据根据S S矩阵的对称性，有：矩阵的对称性，有： 2021/3/10讲解：XX28 12和和 21 (读音读音: /nu:/) 1 2 L L L EE L 1 12 2 1 1 1 1 1 2 L L 应力作用在应力作用在2 2方向引起的横向变形和应力作用在方向引起的横向变形和应力作用在1 1方方 向引起的相同向引起的相同 L EE L 2 21 1 2 2 2 2 2021/3/10讲解：XX29 232312 2 1233 2 1322 2 2311332211 66 66 55 55 44 44 11231312 23

21、 2 122211 33 22132312 13 2 131133 22 33122313 12 2 233322 11 SSS2SSSSSSSSS S 1 C S 1 C S 1 C SSSS C SSS C SSSS C SSS C SSSS C SSS C 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵 2021/3/10讲解：XX30 321 133221311332232112 21 2112 33 21 132123 31 311232 23 31 3113 22 21 231213 32 322131 13 31 133212 32 233121 12 32 3223

22、11 EEE 21 EE 1 C EEEE C EE 1 C EEEE C EEEE C EE 1 C 12 31 23 32 23 1 13 3 32 21 12 3 31 2 21 1 ij G 1 00000 0 G 1 0000 00 G 1 000 000 E 1 EE 000 EE 1 E 000 EEE 1 S 2021/3/10讲解：XX31 弹性常数的限制弹性常数的限制各向同性材料各向同性材料 )1(2/EG 1 213/EK 为保证为保证E E和和G G为正值，即正应力或剪应力乘以正应变或剪为正值，即正应力或剪应力乘以正应变或剪 应变产生正功应变产生正功 对于各向同性体承受

23、静压力对于各向同性体承受静压力P P的作用，体积应变可定义为：的作用，体积应变可定义为： K P 213/E P zyx )21( E P EEE )21( E P EEE )21( E P EEE P xy z z zx y y zy x x zyx 2/11 2/1 如果如果K K为负，静压力将引为负，静压力将引 起体积膨胀起体积膨胀 2021/3/10讲解：XX32 弹性常数的限制弹性常数的限制 正交各向异性材料正交各向异性材料 0S,S,S,S,S,S 665544332211 0G,G,G,E,E,E 121323321 0C,C,C,C,C,C 665544332211 0)1()

24、,1(),1( 211231133223 021 133221311332232112 情况很复杂，从热力学角度来讲，所有应力做功的和情况很复杂，从热力学角度来讲，所有应力做功的和 应为正值，联系应力应变的矩阵应该是正定的应为正值，联系应力应变的矩阵应该是正定的 321 133221311332232112 21 2112 33 21 132123 31 311232 23 31 3113 22 21 231213 32 322131 13 31 133212 32 233121 12 32 3223 11 EEE 21 EE 1 C EEEE C EE 1 C EEEE C EEEE C E

25、E 1 C 正定矩阵的行列式为正正定矩阵的行列式为正 2021/3/10讲解：XX33 弹性常数的限制弹性常数的限制 正交各向异性材料正交各向异性材料 2/1 121112 2/1 331113 2/1 332223 )SS(S )SS(S )SS(S 3 , 2 , 1j , i EE j ji i ij 2/1 1 3 31 2/1 3 1 13 2/1 3 2 23 2/1 2 3 32 2/1 2 1 12 2/1 1 2 21 E E E E E E E E E E E E 66 66 55 55 44 44 11231312 23 2 122211 33 22132312 13 2

26、 131133 22 33122313 12 2 233322 11 S 1 C S 1 C S 1 C SSSS C SSS C SSSS C SSS C SSSS C SSS C C C为正为正 0)1(),1(),1( 211231133223 也可得到也可得到 2021/3/10讲解：XX34 弹性常数的限制弹性常数的限制 正交各向异性材料正交各向异性材料 2/1 2 E E E E E E 1 1 3 2 13 3 2 2 32 2 1 2 21 133221 021 133221311332232112 0 E E E E E E 1 E E 1 2 2/1 1 3 2132 2/

27、1 1 3 21 1 32 13 3 22 32 2/1 1 2 2/1 1 32 13 2/1 3 22 32 1 2 1332 21 2/1 1 2 2/1 1 32 13 2/1 3 22 32 1 2 1332 E E E E 1 E E 1 E E E E E E 1 E E 1 E E 为了用另外两个泊松比表达为了用另外两个泊松比表达 21 21的界限，继续转化 的界限，继续转化 对对 32 32 1313可得 可得 相似的表达相似的表达 式式 2021/3/10讲解：XX35 弹性常数的限制弹性常数的限制作用作用 突破传统材料的概念，大胆设计复合材突破传统材料的概念，大胆设计复合

28、材 料料 可以用来检验试验数据，看他们在数学可以用来检验试验数据，看他们在数学 弹性模型的范围内是否与实际一致弹性模型的范围内是否与实际一致 解微分方程时，确定合适的工程实用解解微分方程时，确定合适的工程实用解 2021/3/10讲解：XX36 0 23133 1 3 2 3 1 2 0 23133 2021/3/10讲解：XX37 00 SS 3123 2231133 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 S00 0SS 0SS 1 2 3 只有三个应力分量只有三个应力分量 1 1 2 2 12 12不为零 不为零 柔度矩阵可简化为：柔度矩阵可简化为： 0 23133 202

29、1/3/10讲解：XX38 12 66 2 22 2 21 1 12 12 1 11 G 1 S E 1 S EE S E 1 S 如果想求如果想求 3 3的话，还必须知的话，还必须知 道道 13 13 2323工程常数 工程常数 1 2 12 12 12 2 2 )2( 22 1 12)2( 1 1 1 12)1( 21 1 )1( 1 G 1 E 1 E EE 1 1 2 12 1 2 12 引起的引起的 推导推导 2021/3/10讲解：XX39 利用叠加原理：利用叠加原理： 12 12 12 2 2 1 1 12)2( 2 )1( 22 2 1 12 1 1 )2( 1 )1( 11

30、G 1 E 1 E EE 1 12 2 1 12 21 12 2 21 1 12 2 1 G 1 00 0 E 1 E 0 EE 1 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 S00 0SS 0SS 12 66 2 22 2 21 1 12 12 1 11 G 1 S E 1 S EE S E 1 S 2021/3/10讲解：XX40 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 Q00 0QQ 0QQ 66 66 2 122211 11 22 2 122211 12 12 2 122211 22 11 S 1 Q SSS S Q SSS S Q SSS S Q 1266

31、2112 2 22 2112 121 2112 212 12 2112 1 11 GQ 1 E Q 1 E 1 E Q 1 E Q 2021/3/10讲解：XX41 2 21 1 12 EE E S E 1 S )SS(200 0SS 0SS 1211 12 2 1 1211 1112 1211 12 2 1 12 2 1 66 1112 1211 12 2 1 Q00 0QQ 0QQ G )1(2 E Q 1 E Q 1 E Q 66 2 12 2 11 4 4个独立的常数，个独立的常数，E E1 1,E,E2 2, , 12 12和 和G G12 12 对于各向同性材料对于各向同性材料 2

32、021/3/10讲解：XX42 已知已知T300/648T300/648单层板的工程弹性常数为单层板的工程弹性常数为 34. 0,GPa80. 5G,GPa50. 8E,GPa3 .134E 121221 试求它的正轴柔量和正轴模量。试求它的正轴柔量和正轴模量。 GPa80. 5GQ GPa91. 2EmQQ GPa56. 8mEQ,GPa3 .135mEQ 0074. 1) E E 1(m,TPa4 .172G/1S TPa53. 2E/SS TPa6 .117E/1S,TPa45. 7E/1S 1266 2122112 222111 1 1 2 2 121 1266 1 1122112 1

33、 222 1 111 1 1 2 2 121 2112 ) E E 1()1(m 令令 例题例题 2021/3/10讲解：XX43 上述的是定义在正交各向异性材料的主方向上上述的是定义在正交各向异性材料的主方向上 的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要 求的坐标轴方向不一致求的坐标轴方向不一致 n斜铺或缠绕斜铺或缠绕 1 2y x + 2021/3/10讲解：XX44 12 2 1 22 22 22 xy y x sincoscossincossin cossin2cossin cossin2sincos 2sincoscossincossin cos

34、sin2cossin cossin2sincos 2 12 1 1 22 22 22 xy y x 用用1-21-2坐标系中的应力来表示坐标系中的应力来表示x-yx-y坐标系中的应力的转换方程为坐标系中的应力的转换方程为 转换的只是应力，而与材料的性质无关，同样：转换的只是应力，而与材料的性质无关，同样： 很麻烦！很麻烦！ 2021/3/10讲解：XX45 22 22 22 sincoscossincossin cossin2cossin cossin2sincos T 200 010 001 R 2 R xy y x xy y x 2 R 12 1 1 12 2 1 12 2 1 1 xy

35、y x T 2 T 2 12 1 1 1 xy y x 我们引入我们引入RouterRouter矩阵矩阵 方便！方便！ 2021/3/10讲解：XX46 12 2 1 66 1112 1211 12 2 1 xy y x Q00 0QQ 0QQ 12 2 1 12 2 1 Q xy y x 11 12 2 1 1 xy y x RTRQTT 1T RTRT T1 TQTQ 对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板 不一致时不一致时 可简写可简写 QQ的转换矩阵的转换矩阵 2021/3/10讲解：XX47 xy y x 662616

36、 262212 161211 xy y x xy y x QQQ QQQ QQQ Q )sin(cosQcossin)Q2Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cosQcossin)Q2Q(2sinQQ )sin(cosQcossin)Q4QQ(Q sinQcossin)Q2Q(2cosQQ 44 66 22 6612221166 3 662212 3 66121126 3 662212 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4

37、1111 九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板 剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合 2021/3/10讲解：XX48 12 2 1 66 2212 1211 12 2 1 S00 0SS 0SS xy y x 662616 262212 161211 xy y x T xy y x SSS SSS SSS TST )sin(cosScossin)SS4S2S2(2S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S co

38、sScossin)S2S2(sinSS )sin(cosScossin)SSS(S sinScossin)SS2(cosSS 44 66 22 6612221166 3 661222 3 66121126 3 661222 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 我们也可以用应力来表示应变我们也可以用应力来表示应变 2021/3/10讲解：XX49 12 2 1 662616 261112 161211 12 2 1 QQQ QQQ QQQ 12 2 1 662616 262212 161211

39、12 2 1 SSS SSS SSS 12 12,2 2 3,12 26 12 12,1 1 1,12 16 12 66 2 22 2 21 1 12 12 1 11 GE S GE S G 1 S E 1 S EE S E 1 S i ij i ,ij ij i ij, i 对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似 新的工程常数新的工程常数相互影响系数相互影响系数 第一类相互影响系数：表示由第一类相互影响系数：表示由ijij平面内的剪平面内的剪 切引起切引起i i方向上的伸长方向上的伸长 第二类相互影响系数：表示由第二类相互影响

40、系数：表示由i i方向上的正方向上的正 应力引起应力引起ijij平面内的剪切平面内的剪切 复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起 轴向伸长和剪切变形轴向伸长和剪切变形 2021/3/10讲解：XX50 kl ij kl,ij ij ij,kl kl kl,ij GG 其他的各向异性弹性关系可以用来定义其他的各向异性弹性关系可以用来定义钦卓夫系数钦卓夫系数， 其定义为：其定义为： 系数满足互等关系：系数满足互等关系： 该系数是对剪应力和剪应变的，而泊松比是对正该系数是对剪应力和剪应变的，而泊松比是对正 应力和正应变的，在平面应力情况下，钦卓夫系数不应力和

41、正应变的，在平面应力情况下，钦卓夫系数不 影响简单层板的面内性能。影响简单层板的面内性能。 2021/3/10讲解：XX51 2 22 2 21 1 12 12 1 11 E 1 S EE S E 1 S )sin(cosScossin)SS4S2S2(2S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cossin)SS2S2(cossin)SS2S2(S cosScossin)S2S2(sinSS )sin(cosScossin)SSS(S sinScossin)SS2(cosSS 44 66 22 6612221166 3 661222 3 66121126 3 661222

42、3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 12 12, 2 2 3,12 26 12 12, 1 1 1 ,12 16 12 66 GE S GE S G 1 S 2021/3/10讲解：XX52 3 121 12 2 3 121 12 1 yy ,xy 3 121 12 2 3 121 12 1 xx ,xy 44 12 22 121 12 21xy 4 2 22 1 12 12 4 1y 22 1221 44 1 12 xxy 4 2 22 1 12 12 4 1x cossin G 1 E 2

43、 E 2 cossin G 1 E 2 E 2 E cossin G 1 E 2 E 2 cossin G 1 E 2 E 2 E )cos(sin G 1 cossin G 1 E 2 E 2 E 2 2 G 1 cos E 1 cossin E 2 G 1 sin E 1 E 1 cossin G 1 E 1 E 1 )cos(sin E E sin E 1 cossin E 2 G 1 cos E 1 E 1 非主方向的非主方向的xyxy坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数 为：为： 2021/3/10讲解：XX53 通过上述分

44、析可见：通过上述分析可见： n正交各向异性简单层板在与材料主方向成一正交各向异性简单层板在与材料主方向成一 定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模 量是随角度变化的量是随角度变化的 n琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小 值）并不一定发生在材料主方向值）并不一定发生在材料主方向 n设计材料设计材料 2021/3/10讲解：XX54 刚度矩阵分量是四个独立常数和角度的复杂函数刚度矩阵分量是四个独立常数和角度的复杂函数 Tsai & Pagano利用三角恒等式对刚度变换进行了有创造性的改造利用三角恒等式对刚度变换进行了有

45、创造性的改造 S.W.Tsai, N.J.Pagano. Invariant properties of composite materials. Composite materials workshop, ed S.W.Tsai, H.C.Halpin, N.J.Pagano, Technomic (1968), p.233 )sin(cosQcossin)Q2Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cossin)Q2QQ(cossin)Q2QQ(Q cosQcossin)Q2Q(2sinQQ )sin(cosQcossin)Q4QQ(Q sinQcossin)Q2

46、Q(2cosQQ 44 66 22 6612221166 3 662212 3 66121126 3 662212 3 66121116 4 22 22 6612 4 1122 44 12 22 66221112 4 22 22 6612 4 1111 2021/3/10讲解：XX55 66 12 22 11 333333 333333 222222222 22442222 222244 222244 26 16 66 12 22 11 Q Q Q Q mnnm2mnnmnmmn )nmmn(2nmmnmnnm )nm(nm2nmnm nm4nmnmnm nm4nm2mn nm4nm2nm Q

47、 Q Q Q Q Q sinncosm 利用三角恒等式：利用三角恒等式： )4cos2cos43( 8 1 sinn )4sin2sin2( 8 1 sincosmn )4cos1( 8 1 sincosnm )4sin2sin2( 8 1 sincosnm )4cos2cos43( 8 1 cosm 44 33 2222 33 44 2021/3/10讲解：XX56 3 2 22 5 44 4 1 1 26 16 66 12 22 11 U U 1 sin2sin 2 1 0 4sin2sin 2 1 0 nm20U nm0U 4cos2cosU 4cos2cosU Q Q Q Q Q Q

48、2021/3/10讲解：XX57 8/ )Q4Q2QQ(U 8/ )Q4Q6QQ(U 8/ )Q4Q2QQ(U 2/ )QQ(U 8/ )Q4Q2Q3Q3(U 661222115 661222114 661222113 22112 661222111 4cosUUQ 4sinU2sinU 2 1 Q 4sinU2sinU 2 1 Q 4cosU2cosUUQ 4cosUUQ 4cosU2cosUUQ 3566 3226 3216 32122 3412 32111 在绕垂直于简单层板的轴旋转时，其刚度分量的在绕垂直于简单层板的轴旋转时，其刚度分量的 部分值是不变的，部分值是不变的，U1 U2 U

49、5为常数项，不随角度变化，为常数项，不随角度变化， 有一定的含义，如拉伸模量，剪切模量等有一定的含义，如拉伸模量，剪切模量等 2021/3/10讲解：XX58 4cosU2cosUUQ 32111 举例： 0 /2 0 /2 0 /2 0 /2 Q11 11 Q 1 U 1 U 2cosU2 2 U 4cosU3 3 U 常数常数 低频变量低频变量高频变量高频变量 不随角度的变化，是刚度的有效量值不随角度的变化，是刚度的有效量值 1 U 2/ )QQ(U 2/ )QQ(U 26167 26166 Tsai & Pagano还提出：还提出：以后还要介绍以后还要介绍 2021/3/10讲解：XX5

50、9 强度：重要概念强度：重要概念 n复杂，在实际应用中，几乎没有单纯使用单层板的，复杂，在实际应用中，几乎没有单纯使用单层板的， 主要是因为它们的横向拉伸与剪切强度和刚度太弱，主要是因为它们的横向拉伸与剪切强度和刚度太弱， 尤其是强度，因此，多一层合板的的形式应用，即尤其是强度，因此，多一层合板的的形式应用，即 需要不同角度铺层的单层板，简单层板的强度分析需要不同角度铺层的单层板，简单层板的强度分析 是基础。是基础。 n目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的 特征（不同于传统材料的方法）特征（不同于传统材料的方法） n实际应力场和许用应力场实际

51、应力场和许用应力场 w刚度方面的研究工作可以用来计算实际应力场刚度方面的研究工作可以用来计算实际应力场 w现在要研究确定许用应力场现在要研究确定许用应力场 2021/3/10讲解：XX60 基本强度定义基本强度定义材料主方向上材料主方向上 nX Xt t纵向拉伸强度纵向拉伸强度 nX Xc c纵向压缩强度纵向压缩强度 nY Yt t横向拉伸强度横向拉伸强度 nY Yc c横向压缩强度横向压缩强度 nSS面内剪切强度面内剪切强度 与与4 4个工程弹性常数一起，称为复合材料的个工程弹性常数一起，称为复合材料的9 9个个 工程常数工程常数 强度是应力方向上的函数强度是应力方向上的函数 2021/3/

52、10讲解：XX61 各向同性材料的强度指标用于表示材料在简单各向同性材料的强度指标用于表示材料在简单 应力下的强度应力下的强度 n塑性材料：屈服极限或条件屈服极限塑性材料：屈服极限或条件屈服极限 n脆性材料：强度极限脆性材料：强度极限 n剪切屈服极限剪切屈服极限 n疲劳等疲劳等 正交各向异性材料正交各向异性材料 n强度随方向不同变化强度随方向不同变化 n拉伸和压缩失效的机理不同拉伸和压缩失效的机理不同 n面内剪切强度也是独立的面内剪切强度也是独立的 2021/3/10讲解：XX62 示例示例 1 2 X Y S 考虑单向纤维简单层板，假设强度为：考虑单向纤维简单层板，假设强度为： 2 2 2

53、cm/N2000S cm/N1000Y cm/N50000X 其应力场为：其应力场为： 2 12 2 2 2 1 cm/N1000 cm/N2000 cm/N45000 最大主应力低于最大强度，但最大主应力低于最大强度，但 2比比Y大，在大，在2方向上破坏方向上破坏 2021/3/10讲解：XX63 材料主方向上的剪切强度和拉伸与压缩性能的材料主方向上的剪切强度和拉伸与压缩性能的 差别无关，对于拉伸和压缩性能不同的材料，差别无关，对于拉伸和压缩性能不同的材料， 不管剪应力是正还是负，都具有相同的最大值不管剪应力是正还是负，都具有相同的最大值 非材料主方向的剪应力的最大值依赖于剪应力非材料主方向

54、的剪应力的最大值依赖于剪应力 的符号的符号 n对于作用在与材料主方向成对于作用在与材料主方向成45o的正和负的剪应力的正和负的剪应力 的表观剪切强度和刚度是不同的的表观剪切强度和刚度是不同的 材料主方向上的基本资料如何转换到其他有用材料主方向上的基本资料如何转换到其他有用 的依赖于所考虑的应力场坐标的方向的依赖于所考虑的应力场坐标的方向 2021/3/10讲解：XX64 1 2 1 2 1 2 1 2 +- +- 材料主方向上的剪应力材料主方向上的剪应力 与材料主方向上成与材料主方向上成45度角的的剪应力度角的的剪应力 2021/3/10讲解：XX65 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定

55、 基本强度特性基本强度特性 nX Xt t纵向拉伸强度；纵向拉伸强度；X Xc c纵向压缩强度纵向压缩强度 nY Yt t横向拉伸强度；横向拉伸强度；Y Yc c横向压缩强度横向压缩强度 nSS面内剪切强度面内剪切强度 刚度特性为：刚度特性为： nE E1 11-1-方向上的弹性模量；方向上的弹性模量；E E2 22-2-方向上的弹性方向上的弹性 模量模量 n 12 12- - 2 2/ / 1 1，当，当 1 1= = ，而其他应力皆为零；，而其他应力皆为零； n 21 21- - 1 1/ / 2 2，当，当 2 2= = ，而其他应力皆为零；，而其他应力皆为零； nG G12 12 在在

56、1-21-2平面内的剪切模量平面内的剪切模量 2021/3/10讲解：XX66 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 试验的基本原则试验的基本原则 n当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材 料的应力料的应力- -应变关系也应该是线性的。应变关系也应该是线性的。 一般来讲，拉伸试验的线性保持很好，一般来讲，拉伸试验的线性保持很好， 而压缩和剪切，尤其是剪切对大多数复而压缩和剪切，尤其是剪切对大多数复 合材料来说，合材料来说，是非线性的是非线性的 试验中的关键，是使试件承受均匀的应试验中的关键，是使试件承受均匀的应 力，这对各向同性材料是容易的力，这对各向

57、同性材料是容易的 2021/3/10讲解：XX67 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 正应力和剪应变正应力和剪应变 剪应力和正应变剪应力和正应变 正应力和弯曲曲率正应力和弯曲曲率 弯曲应力和正应变弯曲应力和正应变 耦合影响耦合影响 w对正交各向异性材料当载荷作用在非材料对正交各向异性材料当载荷作用在非材料 主方向时，正交各向异性性能常常导致：主方向时，正交各向异性性能常常导致： 2021/3/10讲解：XX68 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 单向增强简单层板在单向增强简单层板在1-1-方向上的单向拉伸试验方向上的单向拉伸试验 1 2 P P 1 1 1 E1 1极限=X A

58、/PX E A/P max 1 2 12 1 1 1 1 测量测量 1 1、 、 2 2 2021/3/10讲解：XX69 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 w单向增强简单层板在单向增强简单层板在2-2-方向上的单向拉伸试验方向上的单向拉伸试验 A/PYEA/P max 2 1 21 2 2 22 2 1 PP 2 2 1 E2 2极限=Y 测量测量 1 1、 、 2 2 2021/3/10讲解：XX70 2 21 1 12 EE 刚度性能必须满足互等关系式：刚度性能必须满足互等关系式： 测量的数据不准确；测量的数据不准确； 进行的计算有错误进行的计算有错误 材料不能用线弹性应力材料不

59、能用线弹性应力- -应变关系式描述应变关系式描述 如果不满足如果不满足 2021/3/10讲解：XX71 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 w单向增强简单层板在和单向增强简单层板在和1-1-方向成方向成45450 0角的单向拉伸试验角的单向拉伸试验 45450 0 2 y 1 1 x P P x x 1 Ex 211 12 x 12 2121 12 1x x x E 1 E 1 E 2 E 4 1 G E 1 G 1 E 2 E 1 4 1 E 1 A/P E 测量测量 x x G G12 12是推导量 是推导量 根据根据 2021/3/10讲解：XX72 强度和刚度的试验确定强度和刚

60、度的试验确定 无端部效应无端部效应 端部受到限制端部受到限制 2021/3/10讲解：XX73 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 对于剪切强度，不存在像刚度一样的关系式对于剪切强度，不存在像刚度一样的关系式 2121 12 1x E 1 G 1 E 2 E 1 4 1 E 1 不能依赖于本试验来决定极限剪应力不能依赖于本试验来决定极限剪应力S S，因为伴随的剪，因为伴随的剪 切破坏并不引起纯剪切变形，要考虑其他方法切破坏并不引起纯剪切变形，要考虑其他方法 测量剪切强测量剪切强 度的方法度的方法 2021/3/10讲解：XX74 强度和刚度的试验确定强度和刚度的试验确定 w惠特尼、帕加诺