典型问题的教学(110)剖析

1、第二章 典型问题的教学1 平均数问题， 2 归一问题， 3 倍比问题， 4 归总问题， 5 和差问题， 6 和倍问题， 7 差倍问题， 8 年龄问题， 9 还原问题， 10 植树问题， 11 行程问题， 12 流水问题， 13 盈亏问题， 14 鸡兔同笼问题， 15 浓度问题， 16 最大公倍数和最小公倍数问题， 17 差额平分问题， 18连续数问题， 19重叠问题， 20时钟问题1、平均数问题? 平均数的意义：把几个不相等的数移多补少，使它们完全相等，而这几个数的总和不变，求出的相等的数就是平均数。? 平均数问题的基本数量关系是：? 各部分的数之和=总数量? 各部分的份数之和=总份数?总数量

2、+总份数=平均数?总数量+平均数=总份数?平均数x总份数=总数量? 在实际问题中，要抓住“总数量”以及与之对应的“总份数”来解决问题。? 例 1 某零件厂有3 个生产车间 , 二月份生产情况是: 第一车间有8 人， 共生产零件 640 个；第二车间有6 人，共生产零件500 个；第三车间有8 人，共生产零件 620 个。二月份平均每人生产零件多少个？? 例 2 甲、乙两地相距20 千米，某人步行从甲地到乙地用了 4 小时（顺风） ，返回时用了 6 小时（逆风） 。他往返两地的平均速度是多少？? 例 3 有三个数，甲数和乙数的平均数是82，甲数和丙数的平均数是84，乙数和丙数的平均数是86，丙数

3、是多少？? 例 4 某次数学竞赛原定一等奖10 人，二等奖20 人，现在将一等奖中最后4 人调整为二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分，那么原来一等奖的平均分比二等奖的多多少分？? 例 1 解析： 因为零件厂有3 个生产车间， 可知问题中的 “平均” 是指 “三个车间” ，是按三个车间总人数来计算的， 因此所需条件便是三个车间的生产总量和人数总和。二者的商便是所要求的答案了。? 例 2 解析：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是20 x2=40 （千米），往返的时间是4+6=10 （小时）。注意不要把式子列成：20+ （4

4、+6） =2（千米/ 时）? 例 3 解析：根据题意可以得出：? 甲+乙=82x 2（1）甲+丙=84x 2（2）?乙+丙=86x 2（3）;把这3个算式相加就得到2个甲、乙和2个丙的总和，再用这个总和除以2，就可以求出甲、乙、丙这三个数的和，然后用三个数的和减去甲、乙两数的和就得到丙数。? 例 4 解析：根据题意可知，此题中平均分数的变化是由调整4 人而引起的，因此要抓住 4 人进行分析。? 调整后得一等奖的10-4=6（人）的平均分提高了 3 分， 说明在求原一等奖的平均分时，这6人给所调整的4人一共添了 3x 6=18（分）；调整后得二等奖的20+4=24 （人）的平均分提高了 1分，一

5、共用了 1 x24=24 （分），说明计算新的平均分时，所调整的 4 人共拿了 24 分平均分给得二等奖的每个人，这两部分一共代表18+24=42（分），由此可以求出原来得一等奖的平均分比二等奖的平均分多几分（42 + 4=10.05 分）。? 练习 :? 1、某煤矿去年上半年平均每月产煤354300 吨 , 下半年平均每月产煤723150 吨.今年全年的预计产量比去年产量多 2754900 吨 , 求今年平均每月产煤多少吨?（768300）? 2、有 6 个数排成一行，它们的平均数是27，前 4 个数的平均数是23，后3 个数的平均数是34，求第四个数是多少？（32）2、归一问题? 已知相互

6、关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。? 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 根据求知单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。? 一次归一问题， 用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。 又称“单归一。 ”? 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”? 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。? 反 归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。? 解题关键：从已知的一组对应量中用

7、等分除法求出一份的数量（单一量） ，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。? 数量关系式：?单一量x份数=总数量（正归一）?总数量+单一量二份数（反归一）? 例 一个织布工人，在七月份织布4774 米 ， 照这样计算，织布6930 米 ，需要多少天？?分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0 + （ 477 4 + 31 ） =45 （天）? 1. 火车 4 小时行 368千米。照这样算，从北京到广州 2300千米，火车需行多少小时？（反归一）（2300 + （368 + 4）=25 （小时）? 2. 5 吨菜籽榨菜油2吨，8吨菜籽可榨菜油多少吨？（正归一）2 + 5 x

8、8=3.2 （吨）? 3. 为一段 8 4 千米长的铁路铺设枕木，已知平均 3 米的距离用枕木5 根，铺设这段铁路要多少根枕木？8400 +（3 + 5）=14000 （根）? 4. 一辆汽车 3 小时行 120 千为，照这样速度，再行驶2 小时，一共可以行驶多少千米？ 120 + 3 x (3+2)=200 (千米)? 5. 运送化肥 275 吨，前 3 天运了 165 吨，照这样计算，其余的要几天才能运完？? (275-165) +(165 + 3)=2 (天)? 6. 一辆汽车从北京去天津，2 5 小时行了 75 千米，距离天津还有45千米。照这样计算到天津一共要用多少小时？45 +(7

9、5 + 2.5)+2.5=4 (小时)? 7. 水利工地用同样型号的卡车8 辆运石头，每天可运1280 吨。照这样计算，每大运176吨，需要增加同样的卡车多少辆？176 +(128 + 8)-8=3 (辆)? 8. 苹果园要运送5000 千克苹果，用 250 个筐。如果每筐多装5 千克，可以节省多少个筐？ 250-5000 +(5000 + 250=5)=50 (个)? 9. 9 辆同型号的卡车5 趟能运来 360 吨砂土。现在某工地急需砂土 480 吨，要4趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？(480 +4)+(360+5+ 9)-9=6 (辆)? 10. 某村计划在8 天内修一条长320

10、米的堤坝， 16 人 3 天修了 96 米， 照这样计算，要按计划完成需再增加几个人？? 320+ 8 + (96 + 16+3)-16=4 (人)? 11.一地方需要1080袋水泥，用 3 辆载重量相同的汽车运了 4次正好运了一半，余下的再增加一辆同样型号的汽车来运，还要几次运完？1080 + 2+(1080+2+ 3 + 4) +(3+1)=3 (次)3 倍比问题? 倍比应用题也是一般应用题中的一种典型应用题，它的结构类似归一问题，但如果能找出题中一个数量是另一个数量的几倍，要求它的几倍是多少，就能很容易地算出来。? 倍比应用题的解答特点，即从两个同类量中先求出大数是小数的几倍，然后再求出

11、几倍是多少。? 倍比问题应用题可以用归一方法解答，但用倍比方法解答更简便。? 倍比问题应用题思路是： 在两组相对应的数量中， 先求出两个同类量的倍数关系，再根据其他条件求出问题。? 例 1、 装订车间 7 天装订 13.5 万册书， 照这样计算， 装订 40.5 万册需要几天？? 例 2 、某机器厂制造一种零件，制造每个零件所用的时间由原来生产多少个？?例3、一辆汽车，从a地到b地有480千米，行了 6小时，用同样的速度继续 开往c地，又行了 4小时，从b地到c地有多少千米？4、归总问题? 例 修一条水渠，原计划每天修800 米 ， 6 天修完。实际4 天修完，每天修了多少米？? 分析：因为要

12、求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。 不同之处是“归一”先求出单一量， 再求总量 （ 先单后总 ）;归总问题是先求出总量，再求单一量（先总后单）。80 0 x 6 + 4=1200 （米）? 1. 小明到商店买了 2 本练习本，用去1 6 元。如果要买同样的 5 本练习本，需要多少元？ 1.6+2x 5=4（元）? 2. 某洗衣机车间去年计划生产洗衣机2400 台，结果 10个月就完成了任务。照这样的速度，去年的实际产量比原计划增产多少台？? 2400- 10x 12-2400=480 （台）? 2. 3 台面粉机 4 小时可以加工面粉 2460 千克

13、。现有5 台同样的面粉机， 6 小时可以加工面粉多少千克？2460+ 3+ 4x5x6=6150 （千克）? 3. 3 名工人 5 天加工零件7500 只，照这样计算， 7 名工人加工3500 只同样的零件需要几天完成？3500 + （7500 +3+5x7）=1 （天）? 4. 3 台磨面机 8 小时磨面粉57 6 吨， 如果要 20 小时磨面粉240 吨， 需同样的磨面机多少台？240 + （57.6 +3+ 8x 20）=5 （台）? 5. 服装厂原计划 16 人在 5 天里做 160 套少先队服， 刚要开始生产又增加了任务。在工作效率不变的情况下，需要20人 9天才能完成， 问增加的任

14、务是多少套？160+ 16 + 5x20x 9-160=200 （套）? 6. 某工程队修公路， 54 人 12 天修公路 1944 米。如果人数增加18 人，天数缩小到原来的一半，可修公路多少米？1944 + 12+54x （54+18） x （12 +2）=1296（米）? 例 1 分析：因为 13.5 万册要装订7天，如果求出 40.5 万册是 13.5 万册的几倍，也就是先求出需要几个7 天，再用乘法，就可以求出最后问题。? 例 2 分析：过去制造每个零件所用的时间是8 分钟，现在制造每个零件只要2.5分钟，可以求出过去生产一个零件的时间是现在的几倍，反过来就是现在所生产的零件是过去的

15、几倍。? 例 3 分析：因为汽车的速度没有变，可以把4 小时所行路程看做1 的倍数，那么6 小时是 4 小时几倍，它所行的路程也是4 小时所行路程的几倍，从而可以求出b地到c地的距离。5 和差问题? 已知两数和即它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。? 和差问题的解题规律是：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的 2 倍；大数减去两数差是小数，两数和减去两数差是小数的 2 倍。因此，用两数和加上两数差，再除以 2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以 2，就可以求出其中的小数。最终我们可以用公式表示为：?（两数和+两数差）+ 2= 大数；?（

16、两数和-两数差）+ 2=小数。? 例 1 有 1 元和 5元人民币共17张， 合计 49元， 两种面值的人民币各有多少张？? 例 2 某加工厂甲班和乙班共有工人94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？? 例 1 析：该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数17 张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？? 例 2 析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2 个乙班，即9 4 12 ,由此得

17、到现在的乙班是（9 4 12 ） + 2=41（人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人） ，甲班为 9 4 87=7 （人）6 和倍问题? 已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常把 它叫做和倍问题。? 这是一类典型的应用题。像解答和差应用题一样，要想顺利地解答和倍问题，最好的办法就是根据题目中所给的条件和问题， 画出线段图， 使数量关系一目了然， 从而找出解题规律，正确迅速的列式解答。? 和倍问题中的关系如下：?两数和+ （倍数+1）=小数；?小数x倍数=两数和-小数二 大数。? 例 1 某印刷厂第一季度印书 690000册，二月份印的册数是

18、一月份的 2倍，三月份印的册数是一月份的 3 倍，一、二、三月份分别印书多少册？? 例 2 甲乙两根绳子， 甲绳长 63 米 ， 乙绳长 29 米 ， 两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？? 例 1 析：我们可以以一月份印书册数为标准（ 1 倍） ，则 690000 册是一月份的 （ 1+2+3）倍。? 例 2 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。? 列式（63-29 ） + （ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度，17 x 3=51 （

19、米） 甲纯剩下的长度，29-17=12 （米）剪去的长度。7 差倍问题? 例 1、一个体育队，男队员人数的2/3 与女队员人数的相等，男队员比女队员多45 人，男、女队员各多少人？? 例 2、甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？? 例 1 析：根据题意画出线段图，可以看出：把女队员人数的看作1 份（标准数） ，那么女队员人数就是2 份，男队员人数就是3 份，进而可知，男队员人数比女队员多（ 3-2 ）份。用图表示为：? 男队人数：? 女队人数：? 例 2 析： 两根绳子剪去相同

20、的一段， 长度差没变， 甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙纯多（3-1 ）倍，以乙纯的长度为标准数。列式（63-29 ） + （ 3-1 ） =17 （米）乙纯剩下的长度，17 x 3=51 （米）甲纯剩下的长度，29-17=12 （米）剪去的长度。? 差倍问题： 已知两个数的差， 及两个数的倍数关系， 求两个数各是多少的应用题。?解题规律：两个数的差+ （倍数1 ）=标准数 标准数x倍数=另一个数。? 练习：? 1、学校阅览室有两个书橱，甲橱的书是乙橱的 3 倍，甲橱的书借出 170 本，乙橱借出 10 本，这时两橱报剩下的书正好相等，求两橱原来各有书多少本？? 2、甲、乙两个足球队练球

21、时，甲队的球数等于乙队的3 倍。如果甲队给乙队6个球，则乙队的球数是甲队的 3 倍。甲、乙两个球队原来各有球多少个？? 3、父子年龄相差27 岁，已知父亲年龄为他现年2 倍的时候，儿子年龄恰为他自己现年的 5 倍。父子现年各多少岁？8 年龄问题? 将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题” 。? 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题， 解题时，要善于利用差不变的特点。? 例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？?

22、分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁） 。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄， 从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。?列式为：21- （ 48-21 ） + （ 4-1 ） =12 （年）练习? 1、小刚说：“去年爸爸比妈大4 岁，我比妈妈小 26 岁”，你算一算，今年小刚爸爸比小刚大多少岁？? 2、小红今年11 岁，她爸爸今年43 岁，几年以后，爸爸的年龄是小红的 3 倍？? 3、张妈、阿明和小红三人共91 岁，已知阿明 22 岁，问张妈多少岁？? 4、李强2 岁时，他的父亲是32 岁，李强的年龄是父亲的

23、 3/5 的那一年，父亲去世，问他父亲?s了多少岁？30+（1 3/5）=759 还原问题? 已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。? 解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。? 解答还原问题的关键是：根据加与减、乘与除间的互逆关系，从最后一步逆推上去而得到原数，所以，这种方法也叫逆推法? 例 1 某小学三年级四个班共有学生168 人， 如果四班调 3 人到三班， 三班调 6人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班， 则四个班

24、的人数相等，四个班原有学生多少人？? 例 2 某商场周日出售液晶电视机。上午售出总数的一半多 10 台，下午售出剩下的一半多 15 台，还剩 40 台。商场这天原有液晶电视机多少台？?例1分析：当四个班人数相等时，应为168 + 4 ,以四班为例，它调给三班3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。?四班原有人数列式为168 + 4-2+3=43 （人）? 一班原有人数列式为168 + 4-6+2=38 （人）；?二班原有人数列式为168 + 4-6+6=42 （人）?三班原有人数列式为168 + 4-3+6=45 （人）。? 例 2 解析：从“下午售出

25、剩下的一半多 15 台”和“还剩下40 台”向前倒推。 40台和下午多卖的 15台合起来，即40+15=55（台） （如图） ，正好是上午售后剩下的一半，那么55x 2=110（台）就是上午售后剩下的台数，而110台和10台合起 来，即110+10=120（台），又正好是总数的一半，那么 120x2=240 （台），就是 原来液晶电视机的台数。练习? 1、甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1 倍，然后，乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加 1 倍， 然后， 丙又拿出一部分故事书使得甲、 乙、 丁的书增加1 倍， 最后，丁也拿出一部分故

26、事书使得甲、乙、丙的书增加 1 倍时，甲、乙、丙、丁手中都有 32 本书。甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？? 2、粮食仓库里的粮食第一次运走它的一半少10 吨，第二次运走剩下的一半多 6吨，第三次运走30 吨后仓库里还剩下40 吨粮食。求仓库里原来有粮食多少吨？? 题 1 分析：我们还是采取倒推的方法。从最后一次丁分书以后开始考虑。由于丁拿出一部分书分给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了 1 倍，都是 32 本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：32 + 2=16 （本），丁手中的书应为：32+16x 3=80 （本）。同样可推出在内拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为： 8 本、

27、 8 本、 40 本，此时丙手中的书应为：16+8+8+40=72（本）。继续推下去，就可以推出原来四人手中各有各的书。? 题 2 分析：可以抓住最后一个条件,逐次逆推进行解答。? 第三次如不运走30 吨, 仓库里应有粮食多少吨?40+30=70（吨）? 第二次只运走剩下的一半不 多6吨，仓库里应该有粮食多少 吨？70+6=76 （吨）?第一次运走后，仓库里还剩粮食多少吨？76x2=152 （吨）? 第一次运走一半不少10 吨，仓库里应该有粮食多少吨？?152 10=142（吨）? 仓库里原来有粮食多少吨？142 x 2=284 （吨）? 列综合算式：（40+30+6） x 2-10 x2=2

28、84 （吨）? 3、一个数缩小10 倍后再增加80，然后扩大3 倍，再减去85 得 200。求这个数是多少？? 分析：此题是还原问题。可以抓住逆推这一思路，利用加与减、乘与除间的互逆关系，从最后一步逆推上去而得到原数。? 解：? 减去 85 得 200，没有减去85 时应为多少？?200+85=285? 扩大 3 倍后是285，没有扩大3 倍时应为多少？?285+ 3=95? 增加 80 后是95，没有增加80 时应为多少？?95 80=15? 原数缩小 10 倍后是15，没有缩小10 倍时应为多少？?15 x10=150? 列综合算式：（200+85） +3 80x 10=150? 答：这个

29、数是150。10 植树问题? 这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。? 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。? 解题规律：沿线段植树? 棵树 =段数 +1?棵树二总路程+株距+1?株距二总路程+ （棵树-1）?总路程二株距x （棵树-1）? 沿周长植树?棵树二总路程+株距?株距二总路程+棵树?总路程二株距x棵树? 例 1： 在一条路的一侧每隔 40 米竖一根电杆， 从路的起点到终点一共竖了 52 根，问这条路全长多少米？? 例 2：人民公园环湖路长6900 米，沿湖边每隔 15 米种一棵树，