导数及其应用

1、第一节变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景.2 .理解导数的几何意义.1 ，,3 .能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x, y=x2, y=x3, y=-的导数.x4 .能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.基础知识,自直自纠 二教村夯二提能1.导数的概念函数y= f(x)在x= xo处的导数设函数y=f(x),当自变量x从变到xi时，函数值从f(xo)变到f(xi),函数值y关于x的“入*八+、,ay f xi f x2平均变化率为靖二;7f xo+ ax f xo

2、当a趋于xo,即ax趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在xo点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y = f(x)在xo点的导数.通常用符号f (xo)表示，记作ff xi f xo ii m f xo+ ax f xo (xo)- liximxoxixo max(2)导数的几何意义函数y = f(x)在xo处的导数，是曲线y = f(x)在,占(xo, f(x明处的切线的斜率.函数y=f(x)在xo处切线的斜率反映了导数的几何意义.函数的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f (x)：f, (x)f

3、x+ ax f x =勰o 及，则f (x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导2.导数公式及运算法则导数公式表原函数导函数f(x)= c(c为常数)f (x) = of(x) = xn(nc q)f (x) = nxn 1f(x)= sin xf (x) = cos_xf(x)= cos xf (x) = sin_xf(x)=axf (x)=axln_af(x) = exf (x) = exf(x)= logax1 f (x)=. xln af(x) = in x1f (x) = ； x(2)导数的运算法则f(x) =g(x) = f (x) =g (x);f(x)g

4、(x) = f (x)g(x)+f(x)g(x);f x , f xgxfxg x久=gx2 g (g(x)r(3)复合函数的导数复合函数y= f(g(x)的导数和函数y= f(u), u = g(x)的导数间的关系为vx = yj ux；即 y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.自我查验1.判断下列结论的正误.(正确的打，错误的打x” )(1)f (xo)与f(xo)表示的意义相同.()(2)f (xo)是导函数f (x)在x= xo处的函数值.()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4) sin 3 = cos 3.()若(in x) = 1,则 1 = ln x

5、.()x x(6)函数 f(x) = sin ( x)的导数为 f (x) = cos x.()(7)y=cos 3x 由函数 y = cos u, u=3x复合而成.()答案：(1)x (2)， (3)， (4)x (5)x (6)x (7)，2.曲线y= sin x+ 3在点(0,1)处的切线方程是()a. x-3y+3=0b. x-2y+2 = 0c. 2x-y+1 = 0d. 3x- y+1=0解析：选 c y = sin x+ ex,y = cos x+ ex, v, x= 0= cos 0+e0=2,曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程为 y-1 = 2(x-0),即

6、2x- y+1 = 0.故选c.3.求下列函数的导数: x3-1片xe；(2)片高nr答案：(1)y =ex(nxn 1 + xn).,3x2sin xx3 1 cos x(2)y =sp5析考点强化认知热点题型分类突破考点一典题1求下列函数的导数:(2)y=ln x(3)y= tan x;(4)y=3xex2x+ e；in 2x+3yx2-tt听前试做(1).y=(1w) 1+ 古=a-gx wy =(x-2y _(x2y13_112x 2 2x 2.(2)yln xin x xx ln x2x1x in x x2x1 in x2.x, sin x ,(3) y = y cos xsin x

7、 cos x sin x cos x cos2xcos2xcos xcos x sin x sin x 1cos2x.(4)y，=(3xex)(2x) +e =(3x)ex+3x(ex)(2x) =3x(ln 3)ex+3xex2xln2=(in 3+1) (3e)x2xln 2., in 2x+ 3 x2+1 ln 2x+3 x2+1y =x2tt2x+3 x2+ 1 2xln 2x+ 32x+3x2+ 1 22 x2+1 -2x 2x+3 in 2x+32x+ 3 x2+ 1 2方乐，规律导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)分式形式：观察函数的结构特征，先

8、化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.对数形式：先化为和、差的形式，再求导.(4)根式形式：先化为分数指数哥的形式，再求导.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.考点二导数运莫的应用北重拳冷成厮生黄典题2(1)(2015天津高考)已知函数f(x)=axln x, xc(0,+8),其中a为实数，f (x)为f(x)的导函数.若f (1) = 3,则a的值为.1 c(2)已知 f(x) = 2x2+2xf (2 016) + 2 016ln x,则 f (2 016)=.听前试做(1)f (x)=a ln x+x1=a(1 +

9、 ln x).由于 f (1) = a(1 + in 1) = a,又 f (1) x2 016=3,所以 a= 3.(2)由题意得 f (x)=x+2f, (2 016) 十2 016所以 f (2 016) = 2 016+ 2f (2 016)+2016，即 f (2 016) = (2 016 + 1)= 2 017.答案：(1)3 (2)-2 017i错警示在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误.1,若函数 f(x)=ax4+bx2+c满足 f (1) = 2,则 f ( 1)等于()a. -1 b. 2 c. 2 d. 0解析：选 b .1 f(

10、x)= ax4+ bx2+ c,.f/ (x)=4ax3+2bx.x f (1) = 2,.4a+2b = 2,f (-1)=- 4a-2b=- 2.2.在等比数列an中,a=2, a8=4,函数 f(x)=x(xa1) (xa2) (xa8),则 f (0) 的值为.解析：因为 f (x)=x (xa1)(x a2) (x a8) + (x a1)(xa2) (xa8) x= (x 一a1)(xa2)(xa8)+ (x a1)(xa2)(xa8) x,所以 f (0) = (0a1)(0 a2) (0 a8) + 0=a1a2 a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7 = a3a6 = a

11、4a5 = a1a8 = 8,所以 f (0)=84=212 .答案：212导数的几何意义e高频考点身维切新x ii ban b , bri , r nia 0 r , n, v : , ubj* bbj lbs aei* h-h * -0 lbs.a.ii0*iiiniisi.la. b k as a a 4.11 uxiibbu-ebdiba albuii kaa-ka,导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题白第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程典题3(1)(2016宜春模拟)曲线y=ex ln x在点(

12、1, e)处的切线方程为()a. (1 e)xy+1 = 0b. (1 e)x y1=0c. (e1)xy+1 = 0d. (e 1)x y1=01 (2)(2016铜川模拟)设曲线y=ex+2ax在点(0,1)处的切线与直线x+ 2y1=0垂直,则实数 a =()a. 3b. 1c. 2d. 0(3)已知函数 f(x) = x34x2+5x4.求曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；求经过点a(2, 2)的曲线f(x)的切线方程. .1听刖试做(1)由于y =e-，所以y x=1 = e1,故曲线y=exln x在点(1, e)处 x的切线方程为 y-e= (e 1)(x- 1),即

13、(e1)x y+1 = 0.(2)二与直线x+2y 1 = 0垂直的直线斜率为2,，f (0) = e0+1a=2,解得 a =2.(3).，(x) = 3x28x+5, f (2) = 1,又 f(2) = 2, 曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y-(-2) = x-2,即 xy4 = 0.设切点坐标为(x, x0 - 4x2+ 5x0 4), - fz (x0)= 3x08xo+5, 切线方程为 y-(-2)= (3x2 8x0+ 5)(x 2),又切线过点(xo, x04x0+5x04), l x3- 4x2+ 5xo-2= (3x2 8xo + 5)(x0 2),整理得

14、(x2)2(xo1)=0,解得xo = 2或xo = 1,，经过 a(2, 2)的曲线f(x)的切线方程为 xy 4= 0或y+2=0.答案：(1)c (2)c角度二：求切点坐标1典题4(2015陕西图考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线 y=-(x0)上点p处的x、切线垂直，则p的坐标为.听前试做v =ex，曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率 k1=e0=1,设p(m, n), y =-(x 0)的导数为y =!(x0),曲线y= (x0)在点p处的切线斜率 k2= 2(m0),因 xxxm 为两切线垂直，所以k1k2= 1,所以m=1, n= 1,则点p的坐标为(1,1).

15、答案：(1,1)角度三：求参数的值典题5(1)若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+ 1在交点(0, m)处有公切线，则a+ b=()a. -1 b. 0c. 1d. 2(2)(2015新课标全国卷i )已知函数f(x)=ax3 + x+1的图像在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则 a=.(3)(2015新课标全国卷h )已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+ 1相切，则a=.听前试做(1)二.两曲线的交点为(0, m),m= a,m= 1,f(x)= cos x, . . f (x) = sin x, 则 f (0)=0,

16、 f(0) = 1.又 g (x) = 2x+b,g (0)=b,b = 0, a + b= 1.(2) f (x)=3ax2+1, f (1) = 3a+ 1.又 f(1) = a+ 2,，切线方程为 y- (a+ 2)= (3a+ 1)(x- 1). 切线过点(2,7), . 7(a+2) = 3a+1,解得 a=1.(3)法一：. y=x+ ln x,，y = 1 +-, y x=i = 2. x ,曲线y=x+ in x在点(1,1)处的切线方程为y1 = 2(x 1),即 y=2x1.y= 2x- 1 与曲线 y= ax2+(a+2)x+1 相切,二.aw 0(当a=0时曲线变为y=

17、2x+1与已知直线平行).由 y=2xty= ax2+ a+ 2 x+ 1,消去 y,得 ax2+ax+2=0.由 a= a2 8a = 0,解得 a = 8.法二：同法一得切线方程为 y = 2x- 1.设 y=2x1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+ 1 相切于点(x, ax0 +(a + 2)xo+1). ; y =2ax+ (a+2),1 解得x0=-2,a= 8.,v x=xo= 2axo+ (a+ 2).2axo+ a+ 2 =2, 由 ax0+ a+2x0+1=2xo-1答案：(1)c (2)1(3)8方法*规律(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x

18、)在点p(xo, f(xo)处的切线方程是y-f(xo)=f (xo)(x-xo);求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知 点在切线上求解.(如角度一)(2)已知斜率k,求切点a(xo, f(xo),即解方程f (xo) = k.(如角度二)(3)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点p(x% y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.(如角度三)课堂归纳一一感悟提升方法技巧1 .f (xo)代表函数f(x)在x=xo处的导数值；(f(xo)是函数值f(xo)的导数，而函数值f(xo) 是一个常数，其导数一定为 0,

19、即(f(xo) =0.2 .对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的 等价性，避免不必要的运算失误.3 .奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.易错防范1 .曲线y=f(x) 在点p(xo, yo)处的切线”与“过点p(xo, yo)的切线”的区别：前者p(xo, yo)为切点，而后者 p(xo, yo)不一定为切点.2 .利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.3 .直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一

20、个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.4 .曲线未必在其切线的同侧，如曲线y=x3在其过(o,o)点的切线y= o的两侧.课后作业提能演练(十四)球技舱杳漏补挟a . 1n 2-1b. 1n 2-2c. 21n 2 - 1d. 21n 2 2解析：选a11设切点坐标为(xo, in xo),则x)=2，即xo=2, 切点坐标为(2, 1n 2),又 1切点在直线y=2x+ b 上，in 2=1 + b,即 b=1n 2-1.5. (2016上饶模拟)若点p是曲线y=x2-1nx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小值为(8. 2 c

21、.-22 d. .3解析:选b 因为定义域为(0, +8),所以1y =2x-=1,解得 x=1,则在 p(1,1)处 x的切线方程为x y=0,所以两平行线间的距离为二、填空题6 .已知函数 f(x) = xln x,若 f (xo) = 2,则 xo=.解析：f (x)=ln x+ 1,由 f (xo) = 2,即 in xo+1 = 2,解得 xo = e.答案：e7 .若直线i与哥函数y = xn的图像相切于点 a(2,8),则直线i的方程为 .解析：由题意知，a(2,8)在 y=xn 上，.2n=8,，n=3,.y = 3x2,直线 i 的斜率 k=3x22 = 12,又直线 i 过

22、点(2,8). y8=12(x2),即直线 i 的方程为 12x y-16=0.答案：12x y16=08 . (2016商洛模拟)在平面直角坐标系xoy中，点m在曲线c: y=x3x上，且在第二象限内，已知曲线c在点m处的切线的斜率为 2,则点m的坐标为.解析：- y，=3x21,曲线c在点m处的切线的斜率为 2, 3x21=2, x= 1,又;点 m 在第二象限，x= 1, y=(1)3( 1)=0,m 点的坐标为(一1,0).答案：(一1,0)三、解答题9 .已知函数 f(x) = x3+x 16.(1)求曲线y=f(x)在点(2, 6)处的切线的方程；(2)直线i为曲线y=f(x)的切

23、线，且经过原点，求直线i的方程及切点坐标.解：(1)可判定点(2, - 6)在曲线y=f(x)上. f (x)=(x3+x 16) =3x2+1, f(x)在点(2, 6)处的切线的斜率为k=f (2) = 13.，切线的方程为 y+ 6= 13(x- 2),即 y= 13x32.(2)设切点坐标为(xo, yo),则直线 l 的斜率为 f (x0)= 3x2+1, yo=x0+xo16,直线 l 的方程为 y= (3x0+l)(xxo) + x3+xo16.又.直线l过原点(0,0), . 0 = (3x0+ 1)( xo) + x0+ xo 16,整理得，x3=8,xo = 2)，yo=(

24、2)3+( 2)16=26,得切点坐标(2, 26), k= 3x ( 2)2+1 = 13.，直线l的方程为y=13x,切点坐标为(一2, -26).10.设函数y=x2-2x+ 2的图像为函数y= x2+ax+b的图像为c2,已知过c1与c2的一个交点的两切线互相垂直，求a+b的值.解：对于 c1： y=x2-2x+ 2,有 y =2x- 2,对于 c2： y=x2+ax+b,有 y = 2x+ a,设c1与c2的一个交点为(xo, yo),由题意知过交点(xo, yo)的两条切线互相垂直.(2xo-2) ( 2xo+a)= 1 ,即 4x2-2(a+2)xo+2a-1 = o,又点(xo

25、 , yo)在c1与c2上,yo= xo 2xo + 2,故有 2yo= x2+ axo+ b,? 2x0 (a + 2)xo+ 2 b = 0.5由消去xo,可得a + b=2.冲击名校 1c1.下面四个图像中，有一个是函数f(x)=；x3+ax2+(a21)x+1(ac r)的导函数y=f (x)3的图像，则f(-1)=()a.1 b. -2 c.7 d. - 1或5 3333 3解析：选d ,一/ (x) = x2+2ax+a21,，f (x)的图像开口向上，则排除.若f (x)的图像为，此时a= 0, f(1) = 5；若f (x)的图像为，此时 a2-1 = 0,又对称轴x= -a3

26、0, .r=-1, f(-1)=-1. 32,已知曲线c: f(x)=x3-ax+a,若过曲线c外一点a(1,0)引曲线c的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()a.27 b. - 2 c. 2 d. - 27 88解析：选a 设切点坐标为(t, t3at+a).由题意知，f (x)= 3x2a,切线的斜率k=y x=t=3t2a ，所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-1).将点a(1,0)代入式得一33 .(t3-at+ a)= (3t2-a)(1 -1),解得 t = 0 或 t = 2.分别将 t= 0 和 t = 2代入式，得 k=a 和 k=27-a,由题意

27、得它们互为相反数，故 a = 27.483,函数f(x) = ex+x2+x+1与g(x)的图像关于直线 2x-y-3=0对称，p, q分别是函数f(x), g(x)图像上的动点，则|pq|的最小值为(),5a.至b.v5 c.255 d, 2或解析：选d 因为f(x)与g(x)的图像关于直线2x-y-3=0对称，所以当f(x)与g(x)在p,q处的切线与2xy 3=0 平行时，|pq|的长度最小.f (x) = ex+2x+ 1,令 ex+ 2x+ 1=2,得x= 0,此时p(0,2),且 p 到 2x- y3=0 的距离为 j5,所以 |pq|min=2/5.4,若曲线f(x)=ax3+l

28、n x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是解析：由题意，可知f (x)=3ax2+1,又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2+1=0,即 xxa =-白(x0),故 a c ( 8 0). 3x答案：( 8, 0)15,已知函数f(x) = 1x32x2+3x(xcr)的图像为曲线 c. 3(1)求过曲线c上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线c上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线c的切点的横坐标的取值范围.解：(1)由题意得 f (x) = x2 4x+3,则，(x)=(x-2)2-i-i,即过曲线c上任意一点切线斜率的取值范围是1 , + 8).(2)设曲线c的其中一条

29、切线的斜率为k,k -1,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，1解得一1wkv。或 k1 ,故由一1 wx24x+3v。或 x24x+31,得 xc (8, 2爽u(1,3)u 2 + 2, + 叼.第二节导数与函数的单调性、极值、最值考纲要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函 数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次 ).2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次 )；会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一 般不超过三次).忆靛材奇基提能基础知识，自查自纠1 .函数的单

30、调性与导数2 .函数的极值与导数(1)极大值：在包含xo的一个区间(a, b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小王 xo点的函数值，称点xo为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(xo)为函数的极大值.(2)极小值：在包含xo的一个区间(a, b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大壬xo点的函数值，称点xo为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(xo)为函数的极小值.(3)极值：极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.3 .函数的最值与导数函数f(x)在a, b上有最值的条件:一般地，如果在区间a, b上，函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它

31、必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在a, b上的最大值与最小值的步骤为求函数y= f(x)在(a, b)内的极值;将函数y= f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.自我查验1.判断下列结论的正误.(正确的打错误的打“x(1)f (x)0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图像就越“平缓”.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x), f (xo)=0是xo点为极值点的充要条件.()(5)函数的极大值一定是函数的最大值.()(6)开区间上的单调连续函数无最

32、值.()答案：(1)x (2)x (3)，(4)x (5)x (6)，2,函数f(x)=exx的减区间为 .答案：( 8, 0)3,已知f(x)=x3-ax在1, +8)上是增函数，则a的最大值是 .答案：31c4,函数f(x)= x3 4x+ 4的极大值为 . 3答案：285,函数y= 2x32x2在区间1,2上的最大值是 .解析：y =6x24x,令 y =0,得 x= 0 或 x= 3 f(1) = 4, f(0) = 0, f|=-27, f(2)=8.，最大值为8.答案：8热点题型分类突破析考点强化认如利用导散研究函效的单调性*【题根珏糠发般探究】典题1设函数f(x) = 3x3 2

33、x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y =1.求b, c的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)= f(x)+ 2x,且g(x)在区间(一2, 1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围.听前试做(1)f (x)=x2-ax+b,由题意得f 0 =1， 即c=1， f 0 =0, b=0.(2)由得,f (x)=x2-ax=x(x-a).当a=0时，f (x)=x20恒成立，即函数f(x)在(一8, +8)内为单调增函数.当 a0 时，由 f (x)0 得，xa或 x0；由 f (x)0 得 0xa.即函数f(x)的单调递增区间为(一8, 0),

34、(a,+8),单调递减区间为(0, a).当 a0 得，x0 或 xa；由 f (x)0 得，ax0.即函数f(x)的单调递增区间为(一8, a),(0,+8),单调递减区间为(a,0).(3) ,g (x) = f (x) + 2=x2ax+2,且 g(x)在(一2, 1)内为减函数， g (x)w0,即 x2-ax+20 在(-2, 1)内恒成立，g，-2 0,g -1 0,4+2a+20,即1 + a+20,解得a -3,即实数a的取值范围为(8, 3.探究1在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(一2, 1),如何求解？解：g(x)的单调减区间为(2, 1), x1 = 2, x2=

35、 1 是 g (x)=0 的两个根, ( 2)+( 1) = a,即 a= 3.探究2在本例(3)中，若g(x)在区间(2, 1)内存在单调递减区间，如何求解?解：g (x) = x2ax+2,依题意，存在 xc ( 2, 1),使不等式g (x) = x2ax+20成立，即 xc(2, 1)时，a x+ max= 2v2, x当且仅当x= x即x= 42时等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(一8 , -22).探究3在本例(3)中，若g(x)在区间(2, 1)内不单调，如何求解？解：- g(x)在(-2, 1)内不单调，g (x) = x2ax+2,2a 121 g ( 2) g ( 1

36、),g -2 0, g 1 0.由 g ( 2) g ( 1)0,得(6+2a) (3 + a)0,无解.-2a0,g -1 0,- 4v a2/或a 3,- 4a0,得6+ 2a0,3+a0,解得3a0恒成立,a= a2-80,即 a20(或f (x)w0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意 会漏解.考点二利用导数研究函数的板值函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求函数的极值.一 1 + ln x典题2(2016九江模拟)已知函数f(x)=(kw。).求函数f(x)的极值.kx1 + ln x 听前试做f

37、(x)=,其定义域为(0, +8),kx则，(x) = -黑令 f (x)=0,彳导 x= 1,当 k0 时，若 0x0;若 x1,则 f (x)0,，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1, 十 )上单调递减，即当x= 1时，函数f(x)取得极大值！ k当 k0 时，若 0x1,则 f (x)1,则 f (x)0,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，即当x= 1时，函数f(x)取得极小值1.k解题模板利用导数求函数极值的步骤角度二：已知极值求参数典题3(1)(2016金华十校联考)已知函数f(x) = x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是.1(2)(2

38、016上饶卞拟)设函数f(x)=ln x ,ax2bx,右x= 1是f(x)的极大值点，则a的取值 范围为.听前试做(1)f (x)= (ln x ax)+ x - a = in x+12ax,令 f (x) = 0,得 2a= 十1. xx设(x)=ln21,则4 (x) = 呼，易知 岖)在(0,1)上单调递增，在(1, + 8)上单调递减， xx所以wx) max= m) = 1,则(f(x)的大致图像如图所示，若函数f(x)有两个极值点，则直线 y=2a和y= &x)的图像1有两个父点，所以 02a1,得0a0,当 0vx0, f(x)单调递增；当 x1 时，f (x)0, xf(x)

39、单调递减，所以x= 1是f(x)的极大值点.若 a1 ,解得1a 1. a，1答案：(1) 0, 2(2)(1, +8)错警示可导函数y=f(x)在点xo处取得极值的充要条件是f (xo)= 0,且在xo左侧与右侧f (x)的符号不同.(2)若函数y=f(x)在区间(a, b)内有极值，那么 y=f(x)在(a, b)内绝不是单调函数，即在 某区间上单调函数没有极值.利用导数w突函数的最值-1【量难考点 师比龙哥典题4(2015新课标全国卷n )已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围.听前试做(1)

40、 f(x)的定义域为(0, +00),(x)=j a.若 aw。，则 f (x)0,所 x以f(x)在(0, +8)上单调递增.若 a0,则当 xc 0, 1 时，f (x)0 ； a当xc 1, +oo时，(x)0时，f (x)在x=一处取得最大值，最大值为 af - = ln -+a1-=-ln a+a1. a a a因此 f - 2a2 等价于 in a+a10. a令g(a) = in a+a1,则g(a)在(0 ,十)上单调递增，g(1)=0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).解题模板利用导数求函数最值的步骤已知函数 f(x)=(xk)ex.

41、(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解：(1)由题意知 f (x)=(x-k+1)ex.令 f (x)=0,彳导 x= k-1.f(x)与f (x)的情况如下：x(8 , k- 1)k- 1(k- 1, +0 )f (x)一0十f(x)决-ek 1所以，f(x)的单调递减区间是(一8k1);单调递增区间是(k 1, + 8).(2)当k-10,即k 1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0) = k;当0k11,即1k1,即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1 k)e.综上，当

42、k 1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)=-k;当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)=(1k)e. 课堂归纳一一感悟提升方法技巧1 .利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2 .求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3 .若函数f(x)的图像连续不断，则 f(x)在a, b内一定有最值.4 .若函数f(x)在a, b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值.5 .若函数f(x)在开区间(a, b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.易错防范1 .求函数最值时，不可想当然地认为

43、极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.2 .解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f (x)=0时的情况；区分 极值点和导数为0的点.课后作业提能演练(十五)维技能查漏补缺全盘巩固一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f (x) = ax2+bx+c的图像如图所示，则f(x)的图像可能是()解析：选d 当x0时，由导函数f (x) = ax2+bx+c0时，由导函数f (x)= ax2+bx+c的图像可知，导函数在区间 (0, x1)内的 值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增.2,函数y= 2x2- ln x的单调递减区间为()a. (0,1) b. (0, +8

44、)c. (1, +8)d. (0,2)解析：选a 对于函数y=1x2 ln x,易得其定义域为x|x0,y =x-1 =x一1，令x12x x x0 ,所以x2- 10,解得0x1,即函数y=1x2- in x的单调递减区间为(0,1).3 . (2016汉中*ii拟)已知函数f(x)=(2x x2)ex,则()a. f(v2)是f(x)的极大值也是最大值b. f(w)是f(x)的极大值但不是最大值c. f(-的是f(x)的极小值也是最小值d. f(x)没有最大值也没有最小值解析：选 a由题意得 f (x)= (22x)ex+(2x x2)ex= (2-x2)ex,当一小x0,函数f(x)单调

45、递增；当x42时，f (x)0,在x=也处取得极小值f(-v2)=2(-v2- 1)e /0,又当x0时，f(x)=(2xx2)ex0;当 xc (1,e时，f (x)0在(8, 1)上恒成立，即1wx2在(8, 1)上恒成立.由于当x1,则有 1 1,解得 an 1 或 a0. a、填空题6. (2016上饶模拟)f(x) = x33x+a有3个不同的零点，则a的取值范围是 .0,解得单调递增区间为(8, 1), (1, + oo),(x)0,答案：(一2,2)7,若函数f(x) = x3-12x在区间(k1, k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是解析：因为y =3x212,由y 0,得函数的增区间是(一8 , 2)及(2,