导数练习题(精编)

1、1.已知函数 f xe2x x2 ax 2.(1)当a 2时，求函数f x的极值；(2)若gx f xx2 2,且gx 0恒成立，求实数a的取值范围.2122 .已知函数 f(x) ln x mx , g(x) 3 mx x, m r,令 f(x) f (x) g(x). 1(1)当m 时，求函数f(x)的单调递增区间； 2(2)若关于x的不等式f(x) mx 1恒成立，求整数 m的最小值；3 .已知函数f(x) ex(sin x ax2 2a e),其中a r,e 2.71828 为自然对数 的底数.(1)当a 0时，讨论函数f(x)的单调性；1一 .一 .一(2)当一a 1时，求证：对任意

2、的 x 0,), f (x) 0.24 .已知函数 f (x) ex m ln2x.(1)若m 1,求函数f(x)的极小值；(2)设 m 2,证明：f(x) ln2 0.x5 .已知函数f(x) x in ax, g(x) 二，其中a r且a 0, e为自然常数. e(1)讨论f (x)的单调性和极值；(2)当a 1时，求使不等式f(x) mg(x)恒成立的实数 m的取值范围.6 .已知函数 f(x) x ln x ax2 1,且 f (1)1.(1)求f (x)的解析式；(2)证明：函数y f(x) xex x2的图象在直线y x 1的图象下方.7 .已知函数 f x1x3 ex mx 1,

3、g x lnx.3x(1)函数f x在点l,f 1处的切线与直线 1 2e x y 4 0平行，求函数f x 的单调区间；(2)设函数f x的导函数为f x，对任意的x1,x20, ，若g k f x2恒成立，求m的取值范围.8 .设函数 f (x) xln x(x 0).(i)求函数f (x)的单调区间；(n)设f(x) ax2f (x)(a r), f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(出)当x 0时，证明：ex f (x) 1 .9 .(本小题满分12分)已知函数f(x) lnx (x 1) .2(i)求函数 f x的单调递增区间；(n)证明：当 x 1 时，

4、f(x) x 1；(出)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0 1,当x (1,x0)时，恒有 f (x) k x 1 .10 .(本题满分14分)设函数f(x) xlnx(x 0).(i)求函数 f(x)的单调区间；2(n)设f(x) ax f (x)(a r), f(x)是否存在极值，右存在，请求出极值；右不 存在，请说明理由；(出)当x 0时.证明：exf (x) 1.参考答案1.（1）函数f x极小值为f 01,无极大值；（2） 0,2e【解析】试题分析：（1）当a 2时，f xe2x x2 x 2, fx2e2x 2x 2,通过二次求导可知2x函数f x 2e 2x 2在r上单调递增

5、，且f 00 ,所以当x 0时fx 0,当x 0时，f x 0因此函数f x在区间 ,0上单调递减，在区间 0,上单调递增，所以 f x的极小值点为2xf 0，无极大值点；（2）对函数g x求导可得g x 2ea,分a 0和a 0讨论，显然a 0时，g x 0,函数g x在r上单调递增，研究图象可知一定存在某个 x0 0 ,使得在区间，%2x2x上函数y e 的图象在函数 y ax的图象的下方，即 e ax不恒成立，舍去；当 a 0时，函数g x 在区间 1in - 上单调递减，在区间 1in - 上单调递增， 22221 ag x g ln -0，斛行 0 a 2e.min 222 x2试题

6、解析：（1）函数fx e x ax 2的定义域是r,当a 2时， 2x 22x2xf x e x x 2 f x 2e 2x 2,易知函数fx 2e 2x 2的定义域是r上单调递增函数，且 f00,所以令fx0,得x 0；令fx 0,得x 0,所以函数f x在区间 ,0上单调递减，在区间 0, 上单调递增.所以函数f x极小值为f 01,无极大值.22x 222x2x gx f x x 2 e x ax 2 x 2 eax,贝 ugx2e a.当a 0时，g x 0恒成立，所以函数g x在r上单调递增，,x0 上,且数形结合易知，一定存在某个 x00 ,使得在区间2x2x函数y e的图象在函数

7、 y ax的图象的下万，即满足 e ax的图象即g x 0.所以g x0不恒成立，故当a 0时，不符合题意，舍去；1a1a当 a 。时，令 g x 0,付 x ln ； g x 0,得 x ln一； 2 222所以函数g x在区间 -lna 上单调递减，在区间 -ina上单调递增.2 222 1 a所以函数g x定义域r上的最小值为g -ln-. 22, . . 一 1 a1 |na 1 a右g x 0恒成立，则需满足 g -|n -0,即e2 a -in - 0,2222即 a alma 0,即 a 11ng 0.22222a又因为a 0,所以1 in -0 0,解得a 2e,所以0 a 2

8、e. 2综上，实数a的取值范围是 0,2e .考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值 .【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于又t题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明f x的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把g x 0恒成立转化为求函数 g x的最小值，按照a的符号进行讨论，来判断g x的单调性，当a 0时，g x单调递增，通过找反例排除，当a 0时，求出函数g x零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解2.(1) (0,1) ； (2)最小值为 2 .1试题分析：(1

9、)当m 一时，对f (x)求导求其单调增区间；(2)先化简f(x) mx 1为 2f(x) mx 1 0,恒成立问题，转化为求g(x) f(x) (mx 1)的最大值来求解.1 911 x江也斛析：(1) f(x) ln x -x,x 0, f (x) 一 x , (x 0)2x x2由f (x) 0得1 x 0又x 0,所以0 x 1 ,所以f (x)的单增区间为(0,1).一 人一一12(2)令 g(x) f (x) (mx 1) ln x - mx (1 m)x 1.2,2,/、1mx (1 m)x 1所以 g (x) mx (1 m) xx当m 0时，因为x 0,所以g(x) 0所以g

10、(x)在(0,)上是递增函数,3又因为g(1)-m 2 0.2所以关于x的不等于g(x) mx 1不能恒成立1m(x )(x 1)当 m 0时，g(x)mx一,、-11、一，1、一令 g (x) 0 得 x 一,所以当 x (0,一)时，g (x) 0 ；当 x (一,)时，g (x) 0, mmm11因此函数g(x)在x (0,)是增函数，在x (一，)是减函数.mm1 1故函数g(x)的取大值为g(一) ln m.m 2m“111令 h(m)lnm,因为 h(1)0, h(2)in 2 0.2m24又因为h(m)在m (0,)上是减函数，所以当 m 2时， h(m) 0,所以整数m的最小值

11、为2.考点：1.导数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题.【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题，只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒 成立问题，我们一般都需要对已知条件进行化简，如本题我们就化简f (x) mx 1为f(x) mx 1 0,化简后右边为零，我们就可以转化为求 g(x) f(x) (mx 1)的最大值来求解.借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解3. (1)函数f(x)在r上为减函数；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)对函数f(x)求导，利用函数的单调性与导数的关系，得出函数f(x)的单调性；(2)对任意的x 0,), f(x

12、) 0等价于对任意的x 0,) , sin x ax2 2a e 0,再构造函数2g(x) sin x ax 2a e，求导，利用导数，求出g(x)的取大值小于蚕.试题解析：解：(1)当 a 0 时，f(x) ex(sin x e) , x r,f (x) ex(sin x cosx e) ex v2 sin(x ) e,当 x r时，2sin(x ) 72, . f (x) 0.4 . f(x)在r上为减函数.(2)设 g(x) sin x ax2 2a e, x 0,), g (x) cosx 2ax,令 h(x) g (x) cosx 2ax, x 0,)，则 h (x) sin x 2

13、a,1 ,当一 a 1 时，x 0,)，有 h (x) 0,2 . h(x)在0,)上是减函数，即g (x)在0,)上是减函数，又. g (0) 10,当 x0 (0,x0)时，g (x) 0,g(x)在区间 (0,x) 单调递增;当 x (x0,)时，g (x) 0,g(x)在区间(x,)单调递减,因此在区间0,)g(x)maxg(xo) sinxo ax2 2acos xo2ax00,x1cosx0, 2a将其代入上式得g( x) maxsin x012cos4ax0 2a e12sin x0 sin 4axo14a2a e，令 t sinxo , xo(0,4)，则 t (0,1 2即有

14、p(t) t 4a1t4a2at (0,乌,2 p(t)的对称轴t2ap(t)在区间(0,2 田皿)上是增函数，且21,:p(t).2 p(-2)18a2a1581,、e 0,( a 1)2即任意x0,)g(x)0,f(x)exg(x)0,因此任意0,)，f(x) 0.考点：1.利用导数研究函数的单调性;2.导数的综合应用.g (x)存在唯一的 x (0,)，使得 g (x0) cosx0 2ax0 4中，注意【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的综合应用等知识点，是压轴题.在(2)等价转换，对任意的x 0,),f(x) 0等价于对任意的x 0,) , sin x ax2 2a

15、1 c“2oc -g(x)max sinx。 一cos x0 2a e 4a再构造函数g(x) sin x ax2 2a e ,利用单调性，求出函数g(x)的最大值，即1. 2.1c 包.sin x0 sin x0 2a e，把 sinx0 看成一4a4a个整体，就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化，难度大，综合ft强.4.(1)f 11 ln2; (2)证明见解析【解析】试题分析：（1）当m 1时，f x1x1 x 11一一-ex -ex 1 -得其零点x 1 ,判断f x在0,e x x上的单调性，可知f x有极小值f 1;（2）把函数f x放缩f xx mx 2e in 2x e i

16、n 2x ,构造函数g（x） ex 2 in 2x最小值的范围即可证得结论.2 ex ln 2 ln x ,利用导数研究函数 g x的单调性，并求出其 e试题解析：（1） f xex 1 ln 2x 1 ex in 2 in x ,所以 f x e11 1观祭后f 1- e 一 0,而fxe 11 4 一在(0, x）上单调递增，所以当x (0,1)时 f x 0,当 1,+时f x 0；所以f x在0,1单调递减，f x在1,+单调递增，故f x有极小值f 11 ln2.证明：（2）因为m 2,所以f xex m ln 2x ex 2 ln 2x ,令 g(x) ex2 ln 2x 2 ex

17、 ln 2 ln x ,则 g (x) e增，x 21e 一,易知 g (x)在(0, x）单调递1g(1) - 1 0，g(2) e,1 c，、1 0 ,所以设g (x0) 2x 21ex0 2 0 ,则 x0(1,2)；当x0x (0, x)时，g (x) 0,当 x (x0,）时，g （x） 0；所以g（x）在0,x0上单调递减,x0,上单调递增,所以 g(x)ming(x0)ex0 2 ln 2x0,又因为 g (x0) ex0 2 0 ,故 ex0 2x0x0所以 ln ex0 2 lnx02x)ln x02x0ln x0 ,所以 g(x)ming(%) ex0 2 ln 2x0 e

18、x0 2 ln 2 ln x0 ln 2 2 x0x0x0 2 ln2 in 2当且仅当工 x0,即x0 1时等号成立，而x0 (1,2),所以 xoxog(x)min ln2,即 g(x) ln2,所以 f(x) ln2,即 f(x) in 2 0.考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 .【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思 想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题(1)中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是(2)证明不等式，可利用函数f x的单调

19、性进行放缩，转化为研究不含参数的函数g(x) ex2 ln2x的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点， 表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧5.(1)当a 0时，x 0, f (x)在(0,1)上单调递减，在 (1,)上单调递增，f(x)有极小值x 1f(1) 1 lna；当a 0时，x 0, f (x) 0,所以f(x)在(，0)上单调递增，无 x极值；(2)(, e).【解析】试题分析：(1)求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；(2)分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最

20、值问题，再利用导数求其最值.试题解析：(1)因为 f (x) x ln ax,a 0, a r,所以当a 0时，f(x)的定义域为(0,)；当a 0, f(x)的定义域为(,0).,、，1 x 1又 f(x) x in ax x in x lna, f (x) 1 一 ，x x故当a 0时，x 0, f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增,f(x)有极小值 f(1) 1 lna；x 1当a 0时，x 0, f (x) 0,所以f(x)在(，0)上单调递增，无极值 x(2)解法一：当a 1时，f(x) x ln x ,由(1)知当且仅当x 1时，f(x)min 1,1 x因为g

21、(x) -,x 0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， e，一， 一1当且仅当x 1时，g(x)max -.ex当 m 0 时，由于 g(x) = 0,f(x)min 1,所以 f(x) mg(x)恒成立； e当 m 0时，mg(x)max m, e要使不等式 f(x) mg(x) 恒成立，只需1 m ,e即m e.综上得所求实数 m的取值范围为(，e).解法二:当a 1时f (x)x ln x ,所以x 0, g(x)故 f(x) mg(x)f(x) g(x)ex(x ln x)ln x) x则 f (x)(x 1)ex(x ln x 1)2x由(1)可知xln x

22、0所以当x 1时,f (x)0,当0x 1 时，f (x) 0,所以 f(x)minf(1) e.故当m e时，不等式f(x) mg(x)恒成立.考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用.【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用f(x) m恒成立f(x)min m转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强 的运算化简能力.6.(1) f (x) xln x x2 1 ；(2)见解析.试题分析：(1)求导

23、，由f (1)1求出a即可；(2) “函数yx 2f (x) xe x的图象在直线x 1的下方”等价于xin x e 10,构造函数 h(x)inx ex1,求导，研究函数h(x)inx ex 1的单调性与最值，证 h(x)max 0即可.试题解析：对f (x)求导，得f (x) 1ln x 2ax, f (1) 12a所以f(x)x in x x2 1(2 )证明x 2函数y f(x) xe x的图象在直线yx 1的下方”等价于即要证ln xex1ex , x 趋于 0时，h (x)0 ,x0,所以只要证.h(x) 1nxe 1, h(x)x0 1)所以 h(x) 0存在一个极值x0(0,1

24、)使彳t ex01 j1一等价于 h(x) 1nx0 1 (0x0%故函数y f(x) xex x2的图象在直线y x 1的下方.2考点：1.导数的运算法则；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与不等式.2 17. (1) f x的单调区间为 2e,0 ,单调减区间为 0,2e ; m e2 -.试题分析：（1）根据f x在点1,f 1 处的切线与直线1 2e x y 4 0平行，可得x的单调区间；（2）若对任意的f 11 2e,据此可求得 m,研究f x的符号变化即得函数。乂20, ，若g x1f x2恒成立,则有g x maxx min，分别求出fx min 和g x的最大值即可求

25、得m的取值范围.试题解析:(1) f x2ex m1 2e m2e, m 0所以函数2ex0,解得x 2e或x 0,的单调区间为2e,0,单调减区间为 0,2e ；(2)1 ln xx xin x函数g x的单调为0,e ,单调减区间为e,1e 时，g x -g 人 maxe2ex一2m e，f x minq g x1f x2恒成立,考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及给定区间山的最值问题，属于中档题.利用导数的几何意义求曲线上某点的切线是导数中最常见的问题之一，关键是把好审题关，判断给出

26、的点是否是切点，利用导数研究函数的单调性常用列表或串根法判断导数的符号，有时还要讨论,本题的难点是（2）中的转化问题，涉及到两个变量的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问题8. (i)1f（x）的单调增区间为（, e1、. 一一）,f（x）的单调减区间为（0,）；（口）当a 0时，f（x）无极e值；当a10时，f（x）有极大值一2in j ,无极小值.（皿）证明详见解析.2a试题分析:（i）利用一阶导数的符号来求单调区间.（口）对a进行分类讨论，f（x）的极值.（皿）把证明不等式转化求函数的最小值大于0.试题解析：(i) f (x) ln x 1(x0) .令 f (x)1 一, 10,

27、即inx 1 0,得x ,故f (x)的增区间为(一,ee令 f (x)1一 11 。，得x ,故f (x)的减区间为(0,);ee乂、，1f(x)的单调增区间为(1, e 1),f(x)的单调减区间为(0,1).，e21(口) f(x) ax in x 1 (x 0) f (x) 2ax 一，x2ax2x1(x0)当a 0时，恒有f(x) 0 . f(x)在(0,)上为增函数，故f(x)在x (0,)上无极值;当a 0时，令f (x)0,得x1 工，当x (0工)，f(x) 0, f(x)单调递增, 2a1 2a), f (x) 0, f(x)单调递减.f极大值(x)综上所述：a0时，f(x

28、)无极值a 0时，f(x)有极大值1 lnj ，无极小值.2 2a(皿)证明：设 g(x) ex ln x(x 0),则即证 g(x) 2 ,只要证 g(x)min 2.1,、 x 1g (x) ex -, g (0.5) e2 2 1.7 2 0, g(1) e 1 0 xx 1又g(x)ex一在(0,)上单调递增x)时，g (x) g (t)0:方程g (x) 0有唯一的实根x t ,且t (0.5,1) .当 x (0,t)时，g (x) g (t)0 .当 x (t,.当 x t 时，g(x)minet lntg 0 即 et 1,则 t e t g（x）min 1 lnet 1t 2

29、小1 2 ttt . t:原命题得证.考点：求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值.【方法点睛】（1）解含参数a的不等式，需要对a进行分类讨论，是本题的亮点，也是本题的难点之一.（2）把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一.（3）在求最小值的过程中，对零点 t设而不求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方.（4）本题题干简洁，但是内涵丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长.1 59. （i） f x的单调递增区间是 0,一5 ; （口）详见解析；（w）,1 .x 1 ,求导，讨论导数的试题分析：（i）求导，令导数大于 0得增区间.（口）令f

30、正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最大值小于0即可.（皿）由（口）知k 1或k 1时均不成立.当k 1时，令g x f,求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间.根据单调性可得其最大值,使其最大值大于0即可.试题解析:0,（口）的单调递增区间是则有f x1 x2解得0c 150,20,当 x 1, 时，f x 0所以f x在1, 上单调递减,故当x 1时，f x（皿）由（口）知，当k 1时，不存在x01满足题意.当k 1时，对于xiff1 ,则f x k x 1 ,从而不存在x01满0,1 0.当k 1时,则有g x0得,1解彳导x1x221 k 1 k 4 1.2当 x1,x2 时，g0,故g1,x2内单调递增.从而当x1,x2时,0,综上,k的取值范围是,1 考点:用导数研究函数的性质.10.(1i） f（x）的单调增区间为（一,e ，1、）,f（x）的单调减区间为（0,）；（口）当a 0时,，ef(x)无极值;， 一一 一，-1当a 0时，f（x）有极大值一2in j ,无极小值.（皿）证明过程详见解析.,2a试题分析：（i）求出导函数，由导函数大于零求解，由导数小于零求解，然后总结出单调区间;（口）函数有极值，则导函数等于零有变号零点，从而求出参数范围;（m）原不等