导数专题一：单调性问题

1、f (x)( ) 00得解集p f求d i p，得函数的单调递增f(x) 在这个区间是增函数f(x) 在这个区间是减函数)0(不要带导数专题一：导数法巧解单调性问题考纲要求 :1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次) 基础知识回顾:用导数研究函数的单调性( 1)用导数证明函数的单调性证明函数单调递增(减) ，只需证明在函数的定义域内( 2)用导数求函数的单调区间求函数的定义域 d-求导f(x)-解不等式f(x)(减)区间。一般地，函数f(x)在某个区间可导，f(x)0一般地，函数f(x)在某个区间可导，f(x)0( 3)单调性的

2、应用(已知函数单调性)f (x) 在某个区间可导，f(x)在这个区间是增(减)函数f(x)n( ) 0【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式f(x) (v等号) ，最后求二者的交集，把它写成区间。已知函数的增(减)区间，应得到 f(x)r (w) 0,必须要带上等号求函数的单调增(减)区间，要解不等式f (x)( ) 0,此处可不带等号。单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“ u ”连接。应用举例 :一、求函数的单调区间例112013广东文节选】函数 f(x) x3 kx2 x k r .

3、(1)当k 1时,求函数f(x)的单调区间；【解析】f x3x2 2kx 12(1)当 k 1时 f x 3x 2x 1,4 128 0一，f x 0, f x在r上单调递增.例3 (2013年全国卷课标i文 20)已知函数f(x) ex(ax b) x2 4x,曲线y f (x)在点(0, f (0)处切线方程为y 4x 4 .讨论f (x)的单调性.【解析】f (x) e2(ax a b) 2x 4,由已知得 f(0) 4, f1(0) 4,故b 4,a b 8从而 a b 4, f(x) 4ex(x 1) x2 4x,1 f (x) 4ex(x 2) 2x 4 4(x 2)(ex ).2

4、令 f (x) 0得，x=-1n2或x=-2.从而当 x (, 2)u( 1n2,)时，f (x) 0;当x ( 2, 1n2)时，f (x) o n /(x)在这个区间是堵函数一眼地函在某个瓯何导.n在这个区间是嗨薮变式训练:【变式1】已知ae r,函数f (x) 4x3 2ax a ,求f(x)的单调区间【解析】(1由题套得/=12x1 一2d当日 0时/ 。恒成立此时/出的单调递增区间为(“二也动.当q 0时,八力=1践工-,+,此时球/ 的单调强噌区间为方法、规律归纳：利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x)在函数f(x)的定义

5、域内解不等式f (x)0 f (x)s0(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.、已知单调区间求字母参数的取值范围211.d. 3,)例【2013大纲理】右函数f(x) x ax 在(-,)是增函数，则a的取值范围是( x 2a. 1,0 b. 1,) c. 0,31答案】dmlb析1由条件知/(x)上2x-4。在(l也)上恒成立.即心二2在(l包)上恒成 工一2jc2. 少2立.:函数p = 一2#在(士也)上?二为父 r 2【应用点评】 试题重点二导费的基本运算、导教与蹈的单调性，分褥线法 试题难点：已知逮单调性杼皴的取值范围如何入手 名师点翳二1、已知酸的噌(甚)区间，应得到了

6、(笛多(w)心必频要带,上等号.么 求函菱的单词噌(漏)区间，要解不等式打月()#,此处不能带上等号.例。设f(x)21 ax，其中a为正实数；若f (x)为r上的单调函数，求 a的取值范围。【解析】必（1 十三一）-2/4k ux -hl-2ai（1 + m）工2 17）工因为/(,)为j?上的单调鳗，而口为正奥凯 故/(幻为史上的单调递噌函数一式(x)xo恒成立，即加一？十二工。在k上恒成文因此a = 42-4of 结合口？口超。 = fwl -/w + jc令x = 1得：/(0)三】=/。婚1,+；/=/g=rax-=i=/yi)=, 得:f(x)= -x+； y o g(x)= *(

7、力=贮一】十 二。(上)= ex+l0=y =由,)在* e /?上单调b&增fx) 。= /t。)=# o./x) 0即口 vl暗，/(力=+ 2x+s = 0有两个相异实根码=:=-1-戊-洵=-1十j1-口且均巧故由丁(冷=p +2x +曰 0= xf(-ce:-1-jre (-1+njl-=+ao)，此时/(,)单调逮由f (x) x2 2x a 01 j_a x 1 j1 0此时此时f(x)单调递增递减综上可知当口兰1时j(x)在k上单调福噌;当口 c 1时，1 -产办上单调避增，在 /mt +炉石田)单调还憎，在3-产it十单雕窕,in x k 一 3、已知函数 f (x) 一(k

8、为常数，e 2.71828 是自然对数的底数 ，曲线y f(x)在点 e(1,f (1)处的切线与x轴平行.(i)求k的值；(n)求f (x)的单调区间；1 ,._ 一比一in，【解析】由鼓工卜 虹些 可得了，而尸=0,即曰 =0解用拈=匕1 - bi x(n)r(x)= -今岁g=o可得工=l 名当0 vx或当k 1时,/位)=1一一也,0. xx于是/(x)在au(o=i)内为增函费;在内为减诙熨4、已知函数f(x) =x2 + x(x w。常数acr).若函数f(x)在xc2, + 8止是单调递增的，求 a的取值范围.a is3ak解析】.要使我励在r. +冲上是单调建憎的，则f国利在工

9、e2, 十为时恒成立1均在工3 十闾时恒成立.zxn又出一区.二吗!3在工工m +叼上二?1?2的闻口.vxg2, +r卜=2维是单调迷噌的，唱1匹21?16当a=iuffih r0尸须代工+力而且只有门冷二o),二的取值范围是时16.5、已知acr,函数f(x) =(x2+ax)ex(xe r, e为自然对数的底数).(1)当a = 2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(一1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为r上的单调函数，若能，求出 a的取值范围；若不能，请说明理由.【解析】,-r+2x,解得一二函数 3的单调递增区间是一s，(2)函数生)在(一1,1)上单调递增，二r&)*对工都成立.,r(i)=|-i3+(a-2)s+afcs二一必+5-2)玄+可pm对工 (一1，1郡成立.旧, y+(a2)x+0 对 a*1,1)都成立，即 x2(a2)五一a 对五(1,1)6立.设 b(i)=x2(a2)s a)只需满成2，解得4(3)若函数f柯在r上单调递够，则r(04对xr都成立，即l*+g-2x+nhg对工ur部成立. : fxi, -. n值-2)1迂0 对 x er 都成立.a=(a