常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1 分布 b (1, p)ppq二项分布b (n, p)pi =p收=i=cnpiqn_i(q =1 p),( i =1,2,，n)npnpq泊松分布p(入)r ipi =px =i = 2e，u (i =0,1,2,3) i!入入均匀分布u ( a,b)1,、1 _f(x)=或f(x)=2 等b -a叮a + b2(b-a)212正态分布n ( n,。2)1(x2f (x) = ,e-20(- x 0)j2兀仃2 a指数分布e (入)jx,x0 f (x)= 0,x2)n 2概率与数理统计重点摘要x - 11、正态分布的计算：f(x)=p(

2、x ex) =6()。12、随机变量函数的概率密度：x是服从某种分布的随机变量，求 y= f (x)的概率密度：fy(y)= fx(x)h(y) h(y)。(参见p6672)x y3、分布函数f (x, y) = llj(u, v)dudv具有以下基本性质：、是变量x, y的非降函数；、0 wf(x, y) w1 ,对于任意固定的 x, y 有：f (3, y) = f (x,-) = 0 ;、f(x, y)关于x右连续，关于y右连续；、对于任意的(xi, yi), (x2, y2),xi x2,y1 _ f (u, y)dydu边缘分布函数：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。yfy(y)

3、 =f(二，y) j_- , - f (x,v)dxdv随机变量的独立性：若 f(x, y) = fx(x)fy(y)则称随机变量 x, 丫相互独立。简称 x与丫独立。两个独立随机变量之和的概率密度：fz(z) = j：fx(x)fy(zx)dx = j；!fy(y)fx(zy)dy其中z=x + y两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即z = ax +by l n (an1 + bn2, a%； +b2。；)。期望的性质：(3)、ex y)ex( )ey(); (4)、若 x, 丫相互独立，则 e(xy) = e(x )e(y)。22、万差： d(x) =e(x2) (e(x)2。

4、 若 x, y 不相关，则 d(x +y)= d(x)+ d(y),否则 d(x +y) = d(x ) + d(y) + 2cov(x ,y),d(x -y) =d(x) d(y) -2c0vx,y),若x, y独立，则cov(x,y) = 0,此时称：x与丫不相关。、协方差：cov(x,y)=e(x -e(x)(y -e(y)、相关系数：二xycov(x,y) _cov(x,y)_ o(x)q(y) - jd(x)jd(y)，：xyo；i-1,当 bzd(x,4p x -e(x)| s)1 -d(孕。贝努利大数定律:.0 m lim p4 、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因1p七uni

5、cr 2,所以n ；精品资料、独立同分布序列的中心极限定理:(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和znn= xi的分布近似于正态分布 n(nn,n。2)。,、，、，、，771 jn、，(2)、对于x1,x2，xn的平均值x = z xi , n y2,即独立同分布的随机 n_-1 nn，1 n有 e(x) = e(xi) = = n, d(x) = -2 d(x)=变量的均值当n充分大时,近似服从正态分布 n( n . j)。n(3)、由上可知：lim p a znnmb)-；d(b)-：ma)= pia：znb冏(b)-(a)。17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试

6、验中事件a发生的次数，p是事件a发生的概率，则对任意其中q =1- p。m - nplim pj wx = 6(x), n-jnpq(1)、当n充分大时,m近似服从正态分布,n (np npq)。(2)、当n充分大时,m近似服从正态分布, nn(pt。n18、参数的矩估计和似然估计:(参见p200)19、正态总体参数的区间估计:所估参数条件估计函数置信区间仃2已知x n厂 u -n nct_cr _ctx -u)下 , x + u仃/5n nnyl n仃底知t = 4 s-s - .sx -tot(n -1)-t= , x + tot(n-1)丁fn n2n n 22 (n-1)s2 7-仃上22 (n-1)s (n-1)s %(n 1), 前(n - 1)22225 =仃2t _ (x - y) 一(n1 一匕)rswv r + nh22苴中 s2 =(n -1)s +(n2 -1)s2 n1 + n2 -1.11(x - y) 3s + n2 - 2)swj 十一2n n1 n2屋匕22匚si a1ffs2。2s2 22 ； 222si/ s2s2l，)