必修五专题讲义：2.一元二次不等式及其解法

1、知识网络1 .一元二次不等式的解法：2的整式不等式，叫做一元二次不等式(x ai)(x a2)(x a3) (x an)(或大于零，轴下面小于零，根据图象写出解集(1) 一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数为 一般形式：ax2 bx c 。或 ax2 bx c 0(a 0).一嵬 b2 4ac000高次不等解以：2樱y ax bx c比隔jto-/xrtvo x, =x2 x在式的形，转次方程bx c 0(a 0)的根后两相异实根为,x2b jb2 4ac(xi x?)2a后两相等实根bxi x22a没有实根ax2 bx c 0 (a 0)x|xx 或 x x2x|x r且 x

2、b 2a实数集rax2 bx c 0 (a 0)xx,x x2(a2ax(2)解法：一元二次不等式的解集， 一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表 (以a 0为例)：0)的形式.然后在数轴上依次标出各根,“奇穿偶回”，轴上面2 . 一元二次不等式的应用(一)恒成立问题(1)判别式法：一般地，对二次函数f(x) ax2 bx c(a 0,x r).f(x) 0对x r恒成立 f (x)0对x r恒成立(2)分离参数法f (x) a恒成立a f (x) min ；d f(x) a 恒成立 a f (x)max.(3)数形结合 f(x)g(x)恒成立函数f(x)的图象恒在g(x)图象上方;f

3、(x) g(x)恒成立函数f(x)的图象恒在g(x)图象下方(二)三个“二次”问题二次方程的两根是二次函数的零点，是二次不等式的端点值例题讲解【例1】解关于x的不等式a(x 1)1(a 1).x 2变式1： (1)解关于x的不等式x2 (a a2)x a3 (2)已知集合 a x|x2 3x 2 0, b x|x20(a r)；4ax 3a20,若a b ,求实数a的取值范围1变式2：(1) a 1,求关于x的不等式a(x a)(x ) 0的解;a(2)不等式组x2 2x 3 02，一x 4x (a 1)的解集不是空集，求实数0a的取值范围变式3： (08海南宁夏理)已知 a1a2a30,求使

4、得1 aix2 1 i 1,2,3都成立的x取值范围变式4： (09年天津文)若关于x的不等式(2x 1)2 ax2的解集中整数恰好有 3个，实数a的取值范围.变式5： (09年天津理)0 b 1 a,若关于x的不等式(x b)2 (ax)2的解集中的整数恰有 3个，求 实数a的取值范围.【例2】已知关于x的不等式2axbx c 0的解集为x|x12或x-,求关于x的不等式2axbx c 0的解集.变式1 ：已知x | ax2 bx c01 ，(一,2),求关于x的不等式cx 32 bx a 0的解集.变式2：已知二次函数分二次项系数为a,且不等式f(x) 2x的解集为(1,3).(1)若方程

5、f(x) 6a 0有两个相等的实根，求 f(x)的解析式；(2)若g(x) xf(x)无极值，求实数a的取值范围.【例3】解不等式 9 5 x1 .x2 2x 3变式1 ：解下列不等式(1) (x 1)(1 x)(x 2) 02(2) (x 1) (x 2)(x 3) 022(3) x(x 1)2(x 1)2(x 2) 0变式2：(2010年全国n理)解不等式2x x 6 -0.x 1x 1变式3: (2007年全国n理)解不等式 0.x 4变式4:解不等式2 x _(1) (2010年上海理)04 x，、一 x 2(2) (2007年湖南理) 0x 1变式5: ( 2008年北京文)解不等式

6、1.x 2x 5变式6: (2008年山东又)解不等式 5t 2.x 1【例4】(2010年江西理)解不等式变式1 : ( 2008年山东理)不等式|3x b| 4解中整数有且仅有1,2,3,求b的范围.变式2： (1)不等式|x 4| |x3| a对一切实数x恒成立，求a的范围.(2)不等式|x 4|变式3:(1)不等式|x 4|x 3| a的解集在r上不是空集，求a的取值范围| x 3 | a对一切实数x恒成立，求a的取值范围(2)不等式|x 4| |x 3| a对一切实数x恒成立，求a的取值范围【例5】已知y lgx2 (a 1)x a2的定义域为r,求实数a的取值范围【例6】设f(x)

7、 x2 2mx 2,当x 1,)时，f(x) m恒成立，求实数 m的取值范围【例7】设f(x) x x2 4x,g(x) 4x 1 a ,若恒有f (x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围 3【例8】已知函数f(x) ax k4x x2,x (0,4时f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围【例9】已知二次函数f (x) ax2 bx c和次函数g(x) bx ,其中a,b, c满足a ba b c 0 (a, b,c r).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点a, b ;(2)求线段ab在x轴上的射影a1b1的长的取值范围.变式1.已知a 0, a0,解不等式loga(4 3x2、x )

8、loga(2x 1) log a 2变式2.设函数f (x)log ax2 2x 21 2txa 1,t,解不等式f(x) 0变式3.已知函数f x满足f logaxaa2 1对于函数f x ,当1,1 时,2m 0,求m的取值范围；当x,2时，f x 4的值恒为负数，求a的取值范围巩固提高1 .不等式 x2 2x 3 0的解集为()a. (1,3)b. ( 1,3)c.( 3,1)d.2 .把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()cmb. 4a. 3233 .已知方程 sin2 x 4sinx 10有解，则实数a的取值范围是(a. 3,

9、6b. 2,6c. 3,2d. 2,24.当x 1,2时，不等式a2x 1恒成立，则实数a的取值范围是(a. a 2b. a 1c. a 0d.a5.不等式4x2 4x 1 0的解集是1 1、a.(2,2)b. rc.d.(1 (26.若不等式a. 8b. 2c. 4d.7.已知函数f (x)是r上的增函数，a(0, 1),b(3,1)是图像上的两点,那么| f (x1)| 1的解集是()|ax 2| 6 1ax+2|6的解集为(1,2),则实数a等于(a. (1,4)b. ( 1,2) c. (,1 4,) d. (, 1 2,)28.不等式x 2的解集是()x 1a. ( 1,0) (1,

10、) b. (, 1 (0,1) c. ( 1,0) (0,1) d. (, 1 (1,)9.若关于x的不等式x2 ax a 0的解集为r,则实数a的取值范围是 ；若关于x的不2等式x ax a3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 .10.对于0m 4,不等式x2 mx 4x m 3恒成立，则x的取值范围是 211 .设p (log2 x) (t 2)log2 x t 1,若t在区间2,2上变动时，p恒为正值，x的取值范围是12 .设不等式x2 2ax a 2 0的解集为m ,如果m 1,4,实数a的取值范围是.2213 .不等式ax bx c 0的解集为x|2 x 3,则不等式ax bx c 0的解集为1214 .已知函数 f(x) (x 0). a