几何体与外接球问题常见解法[沐风教学]

1、 专题专题 几何体与外接球专题复习几何体与外接球专题复习 继电高级中学： 于国平 1优讲课堂 夯实基础 球的体积公式 球的表面积公式 R P d r O O 3 4 3 VR 2 4SR 球的截面圆圆心与球心的位置特点 2优讲课堂 A C B P O O 正方体和长方体的外接球球心在体对角线线的中点正方体和长方体的外接球球心在体对角线线的中点 22 a,23Ra设正方体的边长为 则有（） 2222 (2) a b c abcR 设长方体的长、宽、高分别为 则 3优讲课堂 方法介绍 例 1 已知在三棱锥P-ABC中， 求该三棱锥外接球的表面积。 ,222PAPB PBPC PCPAPAPBPC且

2、 A C B P 关键是求出外接球的半径R 4优讲课堂 方法介绍 法一：补形法 A C B P A C B P 外接球半径等于长方体的 体对角线的一半 2 6 =,46 2 RSR 1 1 2 注意：注意：图中三棱锥的外接球与长方 体的外接球是同一个球。 1 1 2 5优讲课堂 方法介绍 法二： 构造直角三角形构造直角三角形 A C B P D Q 1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。 基本步骤：基本步骤： A DP Q O2 R R 1 1 2 6 = 2 R 2 2 6优讲课堂 方法介绍 法三：向量法 6

3、 =|OP|= 2 R 所以 设外接球的球心坐标为：O(x,y,z) 由 可得： 222222 222222 222222 (2) (1) (1) xyzxyz xyzxyz xyzxyz A C B P （1,0,0） （0,0,2） （0,0,0） （0,1,0） x z y 11 ,1 22 xyz解得： | | | |OPOAOBOC 7优讲课堂 方法总结 三棱锥的外接球半径的常见解法三棱锥的外接球半径的常见解法: 1、补形法、补形法 2、构造直角三角形（关键在于找到、构造直角三角形（关键在于找到底面底面 三角形的外心三角形的外心） （关键在于放到长方体、正方体中）关键在于放到长方体、

4、正方体中） 3、向量法（建立空间直角坐标系）、向量法（建立空间直角坐标系） 8优讲课堂 练习巩固 活学活用，开阔思维 练习1 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条棱 长均为1，求其外接球的表面积。 法一：补形法 法三：向量法法三：向量法 D A C B 法二：构造直角三角形法 9优讲课堂 练习巩固 活学活用，开阔思维 练习2 如图，在四面体ABCD中， 求其外接球的表面积。 10513AB DCAD BCBD AC ，, ， D C B A D C B A 2 14 ,414 2 RSR 10 10 5 5 13 10 10 5 5 13 13 13 10优讲课堂 练习巩固 活学活用，开阔思维

5、 练习3 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA底 面ABC，PA=AB=AC=2，BAC=120。，求其外 接球的半径。 P C B A x y z （0,0,0） （2,0,0） （0,0,2） -3（1，,0） 13球心坐标（ ,1） 5R 轴截面法 11优讲课堂 学习小结 三棱锥的外接球半径的常见解法三棱锥的外接球半径的常见解法: 1、补形法、补形法 2、构造直角三角形法、构造直角三角形法 3、向量法、向量法 12优讲课堂 13优讲课堂 D A C B D C B A 2 63 =,4 42 RSR 练习1 14优讲课堂 D A C B E D AE O R R 1 3 3 6 3 R 6 3 222 AOAEOE 2