_152014中文第15章 有限元方法在流体力学中的应用

1、Chapter 15 有限元方法在流体力学中的应用 Applications of FEM in Fluid Mechanics (Fundamentals of finite element analysis by David V. Hutton) 1 引言 不可压缩流体(incompressible flow): 密度不变 可压缩流体(compressible flow) Newtons law of viscosity du dy 为绝对粘度(absolute viscosity). 是流体的基本材料参数, 与其抗剪应力性能直接相关。 如果流体的粘度很小，则可忽略其剪应力，理想 化为无粘

2、性流体。 2 不可压缩流体的控制方程 质量守恒连续性方程 u, v, w, 是速度在 x,y,z方向的分量 质量守恒要求一个体积里面的质量变化率等于 该体积的质量净流入速度。 体积dV里的总质量为dV, 注意到 dV 为常数, 所以有： (mass flow in-mass flow out)dV t 从x,y,z三个方向流入质量造成的控制体积中的质 量变化率分别表示为： () () () x y z u mudydzudx dydz x v mvdxdzvdy dxdz y w mwdydzwdz dxdy z 所以质量的变化率为： ()()() xyz uvw dVmmmdxdydz tx

3、yz 注意到 dV = dx dy dz, 于是得到连续性方程为： 0 uvw uvw txyzxyz 对于稳态的不可压缩流体(steady flow of an incompressible fluid),密度与时间和空间坐标无 关，于是 0 uvw xyz 有旋流和无旋流(Rotational and Irrotational Flow) 把流体流动分为： 有旋流动(rotational) -平动和转动混合 无旋流动(irrotational) -仅有平动。流体微元体 积没有纯转动。 如果下列三式不能同时满足，则为有旋流动: 0,0,0 vuwuwv xyxzyz 我们目前仅考虑无旋流动。

4、 二维流的流函数(steam function) 对于2D,稳态,不可压缩,无旋流动 连续性方程为0 uv xy 无旋条件退化为 0 uv yx 如果引入 (x , y) (流函数)，则连续性条件自动 满足: ,uv yx 无旋条件变为 22 2 22 ()()0 uv yxyyxxxy (Laplaces equation) 2 , xyz ijk 流函数的物理意义 流线(streamlines) : x-y平面内的曲线，其上的 流函数为常数。 00ddxdydvdxudy xy 流线上的任一点的切向量可以表示为 nt = dx i + dyj， 该点处的流体速度为 V = ui + vj.

5、 则 V nt = (v dx + u dy)k=0 因为：两个非零向量的叉积为零意味着 这两个向量平行，所以： 在流线上任一点，流体速度正切于流线。 有限元列式 具有M个节点的有限单元内的流函数可以表示为: 1 ( , )( , ) M ii i x yNx yN 利用Galerkin方法, 单元的残差方程为： ( ) 22 22 ( , )()0,1, ei A Nx ydxdyiM xy ( ) 22 22 ()0 e A Ndxdy xy or 应用Green-Gauss定理，上式变为 ( )( ) ( )( ) 0 ee ee T T x SA T T y SA N Nn dSdxd

6、y xxx N Nn dSdxdy yyy 其中 S 为单元边界 (nx , ny ) 为边界单位外 法线向量。代入流函数表达式，有： ( )( ) () () ee TT T yx AS NNNN dxdyNunvndS xxyy 写为矩阵形式 ( )( ) ee Kf ( ) ( ) () e TT e A NNNN Kdxdy xxyy ( ) ( ) () e eT yx S fNunvndS 二维流动的流速势函数(Velocity Potential Function) 假定存在流速势函数(x , y) 使得 ( , ),( , )u x yv x y xy 则无旋条件能自动满足:

7、0 uv yx 连续性条件变为: 22 22 00 uv xyxy (again, we obtain Laplaces equation) 在流速势函数为常数的曲线上，有 ()0ddxdyudxvdy xy 所以可见，速度向量垂直于流速势为常数的曲 线。 ()() ()udxvdyuvdxdyijij 于是，流线和流速势等值线形成了正交网格，称 为流网 (flow net). 有限元列式与流函数的情形类似： 1 ( , )( , ) M ii i x yNx yN ( ) 22 22 ( , )()0,1, e i A Nx ydxdyiM xy ( ) 22 22 ()0 e T A Nd

8、xdy xy ( )( ) ( )( ) 0 ee ee T T x SA T T y SA N Nn dSdxdy xxx N Nn dSdxdy yyy ( )( ) () () ee TTTT T xy AS NNNN dxdyNunvndS xxyy ( )( ) ee Kf 单元刚度阵与流函数法的相同，但是节点力完全 不同。 不可压缩粘性流 假定: 可以看作二维问题 不涉及热 3. 密度和粘度为常数 4. 稳态(不随时间变化) 表示动量守恒的 Navier-Stokes方程为: 22 22 22 22 Bx By uuuup uvF xyxyx vvvvp uvF xyxyy u,v

9、 = x, y方向速度分量 = 密度 p = 压力 = 绝对粘度 FBx , FBy = x, y方向单位体积的体力 斯托克斯流(Stokes Flow) Stokes flow (or creeping flow)：流体流动的速度很 小，惯性项比粘性项小很多，可以忽略。 高粘度流体，如融化的高分子材料。 动量方程变为 22 22 22 22 Bx By uup F xyx vvp F xyy 0 uv xy 连续性方程 上式和连续性方程一起构成了三个未知数u(x, y), v(x, y), and p(x, y)的三个方程。 这三个节点变量可以表示为： 1 1 1 ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) M T ii i M T ii i M T ii i u x yNx y uNu v x yNx y vNv p x yNx y pNp 应用Galerkin方法，残差方程为 ( ) ( ) ( ) 22 22 22 22 ()0 ()01, ()0 e e e