独立性检验的基本思想：

1、 定量变量定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的取值一定是实数，它们的取值大小有特定 的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义. . 如身高、体重、考试成绩、温度等等如身高、体重、考试成绩、温度等等. 变量变量 定量变量定量变量 分类变量分类变量 两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、 相关指数相关指数R2、残差分析）、残差分析） （定性变量）（定性变量） 对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不 同同“值值”表示个体所属的不同类别，像

2、这样的变量称表示个体所属的不同类别，像这样的变量称 为为分类变量分类变量. . 在日常生活中，主要考虑在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系： 如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等. . 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等. . 分类变量也称为分类变量也称为属性变量属性变量或或定性变量定性变量，它们的取值一，它们的取值一 定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别， 如

3、性别变量，只取男、女两个值如性别变量，只取男、女两个值 两个分类变量的相关关系的分析：两个分类变量的相关关系的分析： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关；通过图形直观判断两个分类变量是否相关； 独立性检验独立性检验. 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟77757775424278177817 吸烟吸烟20992099494921482148 总计总计98749874919199659965 由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有0.54%0.54%患患 有肺癌；在吸烟者中，有有肺癌；在吸烟者中，有2.28%2.28%患有肺癌。因此，直

4、观患有肺癌。因此，直观 上可以得到结论：上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性 存在差异存在差异. . 与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反 映出相关数据的总体状况映出相关数据的总体状况. . 为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：人，得到如下结果（单位：人）： 吸烟与患肺癌吸烟与患肺癌列联表列联表（列出两个分类变量的频数表）：（列出两个分类变量的频数表）： 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总

5、计 不吸烟不吸烟77757775424278177817 吸烟吸烟20992099494921482148 总计总计98749874919199659965 1 1、列联表、列联表 2 2、三维柱形图、三维柱形图3 3、二维条形图、二维条形图 不患肺癌 患肺癌 吸烟 不吸烟 不患肺癌 患肺癌 吸烟不吸烟 0 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 从三维柱形图能清晰看出各从三维柱形图能清晰看出各 个频数的相对大小个频数的相对大小. . 从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.

6、 . 不吸烟吸烟 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 不吸烟不吸烟吸烟吸烟 患肺癌 比例 不患肺癌 比例 4 4、等高条形图、等高条形图 等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例. 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸 烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要 用用统计观点统计观点来考察这个问题来考察这个问题. . 现在想要知道能够以多大的把握认为现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌

7、吸烟与患肺癌 有关有关”，为此先假设：，为此先假设： H H0 0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b 吸烟吸烟c cd dc+dc+d 总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d 把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表： 不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计 不吸烟不吸烟a ab ba+ba+b 吸烟吸烟c cd dc+dc+d 总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d 吸烟与患肺癌的列联表：吸烟与患肺癌的列联表： 如果

8、如果“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患，则在吸烟者中不患 肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多，肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多， 即即 |ad-bc|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. . 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于 上述分析，我们构造一个随机变量上述分析，我们构造一个随机变量 若若H H0 0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸

9、烟与患肺癌没有关系”，则，则K K2 2应很小应很小. . 由列联表中数据，利用公式（由列联表中数据，利用公式（1 1）计算得）计算得K K2 2的观测值为：的观测值为： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd （1 1） 2 9965(7775 4942 2099) 56.632. 78172148 9874 91 k 其中其中n=a+b+c+d为样本容量为样本容量. 在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：成立的情况下，统计学家估算出如下的概率： 2 (6.635)0.01P K 也就是说，在也就是说，在H H0 0成立的情况下，对随机变量成立的情况

10、下，对随机变量K K2 2进行多次进行多次 观测，观测值超过观测，观测值超过6.6356.635的频率约为的频率约为0.010.01，是一个小概，是一个小概 率事件率事件. .现在现在K K2 2的观测值为的观测值为56.63256.632，远远大于，远远大于6.6356.635，所，所 以有理由断定以有理由断定H H0 0不成立不成立，即认为，即认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系” ” 56.632k 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即，即 我们有我们有99的把握认为的把握认为“吸烟与患肺癌有关系吸烟与患肺癌有关系”. 利用随

11、机变量利用随机变量K K2 2来确定在多大程度上可以认为来确定在多大程度上可以认为“两个两个 分类变量有关系分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性的方法称为两个分类变量的独立性 检验检验. . 独立性检验：独立性检验： 如果如果 ，就判断，就判断H0不成立；否则就判断不成立；否则就判断H0成立成立. 6.635k (6.635)0.01P k 独立性检验的基本思想：独立性检验的基本思想： 类似于数学上的反证法，对类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度的判断：这一结论成立的可信程度的判断： （1 1）假设该结论不成立，即假设结论）假设该结

12、论不成立，即假设结论“两个分类变量两个分类变量 没有关系没有关系”成立成立. . （2 2）在假设条件下，计算构造的随机变量）在假设条件下，计算构造的随机变量K K2 2，如果由，如果由 观测数据计算得到的观测数据计算得到的K K2 2很大，则在一定程度上说明假很大，则在一定程度上说明假 设不合理设不合理. . （3 3）根据随机变量）根据随机变量K K2 2的含义，可以通过（的含义，可以通过（2 2）式评价假）式评价假 设不合理的程度，由实际计算出的设不合理的程度，由实际计算出的k6.635k6.635，说明假设，说明假设 不合理的程度约为不合理的程度约为99%99%，即，即“两个分类有关系

13、两个分类有关系”这一结这一结 论成立的可信程度约为论成立的可信程度约为99%.99%. y y1 1y y2 2总计总计 x x1 1a ab ba+ba+b x x2 2c cd dc+dc+d 总计总计a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d 一般地，假设有两个分类变量一般地，假设有两个分类变量X X和和Y Y，它们的可能取值，它们的可能取值 分别为分别为xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2,其样本频数列联表（称为其样本频数列联表（称为 2x22x2列联表）为：列联表）为： 利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关

14、系，能 较精确地给出这种判断的可靠程度较精确地给出这种判断的可靠程度. . 具体作法是：具体作法是： （1 1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k k0 0； （2）由观测数据计算得到随机变量）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值的观测值k； （3）如果）如果k6.635，就以，就以 1-P(K26.635)100%的的 把握认为把握认为“X与与Y有关系有关系”；否则就说样本观测数据没；否则就说样本观测数据没 有提供有提供“X与与Y有关系有关系”的充分证据的充分证据. 10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.323

15、0.7080.445 k 0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50 2 ()P Kk （1 1）如果）如果k10.828k10.828，就有，就有99.9%99.9%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”； （2 2）如果）如果k7.879k7.879，就有，就有99.5%99.5%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”； （3 3）如果）如果k6.635k6.635，就有，就有99%99%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”； （4 4）如果）如果k5.024k5.024，就有，就有97.5%97.5%

16、的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”； （5 5）如果）如果k3.841k3.841，就有，就有95%95%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”； （6 6）如果）如果k2.706k2.706，就有，就有90%90%的把握认为的把握认为“X X与与Y Y有关系有关系”； （7 7）如果）如果k=2.706k=2.706，就认为没有充分的证据显示，就认为没有充分的证据显示 “ “X X与与Y Y有关系有关系”. . 临界值临界值 例例1 在某医院，因为患心脏病而住院的在某医院，因为患心脏病而住院的665名男名男 性病人中，有性病人中，有214人秃顶；而另外人秃顶；

17、而另外772名不是因名不是因 为患心脏病而住院的男性病人中有为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。人秃顶。 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患 心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围 内有效？内有效？ 秃头秃头 不秃头不秃头 解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13： 患心脏病患心脏病 不患心脏不患心脏 病病 总计总计 秃顶秃顶214175389 不秃顶不秃顶4515971048 总计总计6657721437 根据联表根据联表1-13中的数据，得到中的数据，得到 2 2 1437 (214 597

18、175 451) 16.3736.635. 389 1048 665 772 K 所以有所以有99%的把握认为的把握认为“秃顶患心脏病有秃顶患心脏病有 关关”。 因为这组数 据来自住院 的病人，因 此所得到的 结论适合住 院的病人群 体 例例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之 间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300 名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表： 喜欢数学课喜欢数学课 程程 不喜欢数学不喜欢数学 课程课程 总计总计 男男3785122 女女35143178 总计总计72228300 由表中数据计算由表中数据计算K2的观测值的观测值k4.513。在。在 多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜 欢数学课程之间有关系？为什么？欢数学课程之间有