点差法习题(有答案)最新

1、式作差，得到一个与弦一、自主证明1、定理.在椭圆2工=1b2ab 0)中，若直线1与椭圆相交于m、n两点,点p(x0,y0)是弦mn的中点,弦mn所在的直线1的斜率为kmnkmn四x0b2-2 a同理可证，在椭圆22、匕=1 .221b a(a b 0)中,kmn弦mn所在的直线v。xo若直线1与椭圆相交于 m、n两点,2 a点p(x0, yo)是弦mn的中点,22xy2 _ , 22、定理在双曲线ab(a 0b0)中，若直线p(x0, y0)是弦mn的中点，弦22匕上2.2同理可证，在双曲线 a bmn所在的直线1的斜率为kmn1与双曲线相交于m、k 在blkmn-2，则 x0 a .n两点

2、，点二1(a 0, b 0)的中点，弦mn所在的直线1的斜率为kmn ,则中，若直线1与双曲线相交于 m、2=ax b2n两点，点p(x0, yo)是弦mn点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法

3、指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为a(xi, yi)、b(x2, y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两ab的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”23、定理 在抛物线y =2mx(mk0)中，若直线1与抛物线相交于m、n两点，点p(x0,y0)是弦mn的中点，弦mn所在的直线1的斜率为kmn,则kmn yo = m.2 y21 x 工=1op= (oa ob)例1设椭圆方程为4 ，过点m (0，这说明直线 ab与双曲线不相交，故被点)的直线1交椭圆于点a

4、、b ,0为坐标原点，点p满足2,点n的坐标为(1)1_ 1 ；12 2当1绕点m旋转时，求:动点p的轨迹方程;精品资料(2)|np|的最大值和最小值.2c ： y2=1已知双曲线3,过点p(2，1)作直线1交双曲线c于a、b两点.(1)求弦ab的中点m的轨迹；若p恰为弦ab的中点，求直线1的方程.抛物线-y2 =4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程是(a.1 b.212y= x一y =2(x-1)c.22d.2y = 2x - 11.已知椭圆2 c 2x 2y =4,则以61)为中点的弦的长度为a. 3.2b. 23c.2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为2,303f( 7,0)3.6d. 2直

5、线y=x1与其相交于 m、n两点，mn的中点的横坐标为3 ,则此双曲线的方程为(二1a. 34b. 432匕=13.已知直线xy-2=0与抛物线c.2yd. 252l=1= 4x交于a、b两点，那么线段 ab的中点坐标是【规律总结】2同理可证，在抛物线x =2my(mk0)中，若直线l与抛物线相交于m、n两点，点p(x0,y0)是弦mn的中点，弦1xo = mmn所在的直线l的斜率为kmn ,则kmn.1、 以定点为中点的弦所在直线的方程22例1、过椭圆 人十匕=1内一点m (2,1)引一条弦，使弦被 m点平分，求这条弦所在直线的方程。1642例2、已知双曲线x2 一，=1，经过点m (1,1

6、)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于 a、b ,且点m是线段ab的中 点。若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由。2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹22yx1例3、已知椭圆 工十一 =1的一条弦的斜率为 3,它与直线x=的交点恰为这条弦的中点 m ,求点m的坐标。 75 252y2 x2 5. 35. 3例4、已知椭圆 上+土 =1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。x + y=0(2x2)75 25223、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为f (0,750)的椭圆被直线l : y = 3x-2截得的弦的中点的横坐标为 -,求椭圆的方程。

7、 2四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例6、已知椭圆-十上一=1,试确定的m取值范围，使得对于直线 y=4x + m,椭圆上总有不同的两点关于该直线 43对称。例1.解：设直线与椭圆的交点为a(x1,y1)、b(x2,y2)丁 m (2,1)为 ab 的中点 ，x1+x2=4y+y2=222 一 22 一;又a、b两点在椭圆上，则 x +4y =16, x?+4y2 =16 .22、,22、_两式相减得(x1 -x2 ) 4(y1 -y2 )=0于是(x1 x2)(x1 -x2) 4(y1 y2)( 5 - )=0y1 -y2x1 x241 x1 -x24(y1 y)4 22rr1 一

8、1一 -即kab,故所求直线的方程为y-1 =(x-2),即x+2y4 = 0。22例2.解：设存在被点 m平分的弦ab ,且a(x1, y1)、b( x2, y2)则 x1 , x2 =2v1 v2 22x122 y1二1x222 y2两式相减，得j=2x -x21(x x2)(x1-x2)-1(y1y2)(y1-y2)二0 2故直线 ab: y -1 =2(x -1)y -1 =2(x -1)由2 y2 消去 y ,得 2x2 4x+3 = 0x -一 二12 =(-4)2 -4 2 3 -8 :二 0m平分的弦不存在，即不存在这样的直线评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，

9、请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的m 位置非常重要。(1)若中点m在圆锥曲线内，则被点m平分的弦一般存在；(2)若中点m在圆锥曲线外，则被点m 平分的弦可能不存在。1例 3.解：设弦端点 p(x1,y1)、q(x2,y2),弦 pq 的中点 m(x0,y),则 x = 一 2x1x2 = 2 x0 = 1yiy =2y022约士 =17525即 2y0(yi -y2), 3(xi x?) = 0yi - y2xi - x2k 二kzl! =3x - x22 yo22又左父二i7525两式相减得 25(yiy2)(yi 72) 75(xi 2)(x1 -x2)= 0一 11，点m的坐标

10、为(-,)22例4.解：设弦端点p(x1，y力、xi +x2 =2x ,22-yixi又=i7525yi2y275q(x2,y2),弦 pq 的中点 m(x,y),则y =2y2x2=125两式相减得 25(yiy2)(yi - y2) 75(xi x2)(x1 -x2)= 0ivi - y2即 y(y1 -y2) +3x(x1 一x2) = 0 ,即xi - x23xk = y1 - y2 =3x _ x2x- x y = 0由彳亡 + xim得7525p(-3x=3,即 x + y= 0 y)q(丁点m在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为22例5.解：设椭圆的方程为 乌十二=1,则a2

11、b2 =50a2 b2设弦端点1x0 二不，22p(xi, y1)、q(x2, y2)，弦 pq的中点 m (x, y),则1v。3 3x0 - 2 二-一 xi 2222卫上 江上2,21，2, 21a b a b+ x2 = 2x0 =1 , yi *y2 =2y0 = 1两式相减得 b2(y1y2)(y1 一y2) a2(x x2)(x1rx2)=0 即-bly -y2) a2(x1 -x2) =0yi-y2tr axi-x2联立解得a22 a b2二75b2二所求椭圆的方程是例 6.解:设 p(xi, yi) 3xi2+4yi2=12,2_2_ = 3b2二252l175 25p2(x2, y2)为椭圆上关于直线y = 4x + m的对称两点,3x22 4 y22 =12p(x,y)为弦pp2的中点，则 2222两式相减得，3(xi -乂2 ) 4(yi -y )=0即 3(xi x2)(xi - x2) 4( yi y2)( yi - y2 ) = 0yi 721 xi +x2=2x, yi 十y2=2y, =