相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案

1、名师推荐精心整理学习必备拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。一、基础知识(不局限于此)(一) 比例1第四比例项、比例中项、比例线段；2比例性质：(1) 基本性质： -=- ad = bc - =b2 =acb dbe(2) 合比定理：- b =e -b d b da e m _ a e _ m a Z1(3) 等比定理：.(b dn = 0)b d n b +d + +n b2AP B3黄金分割：如图，若 PA2 =PB AB，则点P为线段AB的黄金分割点.4 平行线分线段成比例定理(二) 相似1定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形 2相似多边形的特性：相似多边的

2、对应边成比例，对应角相等3相似三角形的判定(1) 平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。(3) 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。(4) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4.相似三角形的性质(1) 对应边的比相等，对应角相等 (2) 相似三角形的周长比等于相似比 (3) 相似三角形的面积比等于相似比的平方(4) 相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比5三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫

3、做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半7相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例(或等积式)；2、利用三角形相似，求线段的长等3、禾U用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三) 位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形， 而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比位似性质：位似图形上任意一对对应点到位

4、似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1. 如图在4X 4的正方形方格中， ABCD DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.(1 )填空：/J ABC=_ BC=.(2)判定 ABC与 DEF是否相似?考点透视本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力参考答案135 ，2、2 能判断厶ABCM DEF相似，AB BC/ ABC* DEF=?135 ,= 2DE EF【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断.为适合的条件 ，使得 AD0A ABC考点透视本例主要是考查相似的判定参考答案ADABAEAC点评：结合判定方法补充条件.例2.如图所示，D、E两点

5、分别在 ABC两条边上，且 DEM BC不平行，请填上一个你认2米到达EQ D M例3.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 CD?勺长为1米，继续往前走处时，测得影子 EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯 A的高度等于()A. 4.5 米 B . 6 米 C . 7.2 米 D . 8 米考点透视本例主要是考查相似的应用参考答案B例4.如图， ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm高AD=80mm ?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB AC上，？这个正方形零件的 边长是多少？考点透视本例主要是考查相似的实际应用参考答

6、案48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题，？ 一般运用相似三角形“对 应高之比等于相似比”这一性质来解答.例5.如图所示，在 ABC中，AB=AC=1点D E在直线BC上运动，设 BD=x, CE=y.(1) 如果/ BAC=30，/ DAE=105，试确定y与x之间的函数关系式；(2) 如果/ BAC的度数为a，/ DAE的度数为B ,当a、3满足怎样的关系式时，(1)中y与X?之间的 函数关系式还成立，试说明理由.考点透视本例主要是考查相似与函数的综合运用.参考答案解：在厶 ABC 中，AB=AC=1 / BAC=30，/ ABC=?Z ACB=75，/ ABD=

7、/ ACE=105 .又/ DAE=105 ,/ DAB+Z CAE=75 又/ DAB+Z ADB=/ ABC=75 , / CAE玄 ADBADBA EAC AB = BD 即 1 EC AC yX11 . y=. Xa1 ,当a 1 3满足3 -=90 ,y= 仍成立.2X此时/ DAB+Z CAE=3-a , / DAB+Z ADB=3 - a ,/ CAE玄 ADB1又/ ABD=/ ACE ADBA EAC - y=.X【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系.例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm x 3.5cm，放映的

8、荧屏的规格为2mX 2m,若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答.考点透视本例主要是考查位似的性质参考答案80 m7【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质.三. 适时训练(一)精心选一选1.梯形两底分别为(A ) m n (B)mnm、n,过梯形的对角线的交点,2mn2.如图，在正三角形ABC 中,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为(C) mn(D) m nm+n2mnD, E分别在AC, AB上，且如=-,

9、AE= BE,则()AC 3(A ) AEDBED ( B ) AED CBD ( C)A AEDABD ( D ) BAD BCDD题4C的一点，过点C3. P是RtAABC斜边BC上异于 B、 满足这样条件的直线共有()A) 1 条(B) 2 条Z ABD = Z ACD，图中相似三角形的对数是(C) 3 条4.如图,P作直线截厶ABC，使截得的三角形与ABC相似,(D) 4 条)(A) 2(B) 3(C) 4( D) 5ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出厶ABP与厶ECP ( )5. 如图， 相似的是(A )Z APB = Z EPC ( B)Z

10、APE = 90( C) P 是 BC 的中点(D) BP : BC = 2 : 36. 如图， ABC中，AD丄BC于D,且有下列条件：(1)/ B+Z DAC = 90; (2)/ B=Z DAC; (3)CDAD其中一定能够判定 ABC是直角三角形的共有 (A ) 3 个(B) 2 个(C) 1 个AC;(4) AB2= BD BCAB)(D) 0 个D题67 .如图，将 ADE绕正方形 ABCD顶点A顺时针旋转90 论中错误的是()D题8，得 ABF，连结EF交AB于H，则下列结(A) AE丄 AF( B) EF : AF = , 2 : 1 ( C) AF2= FH FE ( D)

11、FB : FC = HB : EC&如图，在矩形 ABCD中，点E是AD上任意一点，则有()(A) ABE的周长+ CDE的周长= BCE的周长(B ) ABE的面积+ CDE的面积= BCE的面积(C) ABEDEC ( D)A ABEEBC9.如图，在 口ABCD 中，E 为 AD 上一点，DE : CE = 2 : 3,连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F ,贝U Sdef : Sa ebf : Sa abf 等于(A) 4 : 10 : 25( B)4 : 9 : 25(C) 2 : 3 :10.如图，直线(A)a / b, AF :5 : 12FB = 3 : 5,(B

12、) 9 : 5BC : CD = 3 :(C) 12 : 51,).(D)11 .如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且3 : 21AE = AB ,4连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC : CD为( )(A ) 2 : 1(B) 3 : 2(C) 3 : 1(D) 512.如图，矩形纸片 ABCD的长AD = 9 cm,宽AB= 3 cm,将其折叠，使点 DE的长和折痕EF的长分别为(A) 4 cm、. 10 cm ( B) 5 cm、DD与点B重合，那么折叠后).10 cm (C) 4 cm、2 . 3 cm (D)5 cm、BD(二)细心填一填13. 已知线段 a

13、= 6 cm, b= 2 cm,贝Ua b的比例中项是cm.卄 a+b b+c a+c2 血14. 若 = = m ,贝U m =.cab15. 如图，在厶 ABC 中，AB = AC= 27 , D 在 AC 上，且 BD = BC= 18, DE / BC 交 AB 于 E,贝U DE = _116. 如图，口ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上,且 AF = FD , EF 交 AC 于 G,贝U AG : AC =2题12a、b、a + b的第四比例项是cm,题16AB / CD，图中共有题17对相似三角形.417.如图,18. 如图，已知 ABC, P是AB上一点，连结

14、 CP，要使 ACPABC，只需添加条件 (只要写 出一种合适的条件).19. 如图，AD是厶ABC的角平分线， DE / AC, EF / BC, AB = 15, AF = 4,贝U DE的长等于 .20.22.如图， ABC 中，AB = AC, ABC的面积是如图，直角梯形 ABCD中，AD / BC, AC丄AB, AD = 8, BC= 10,则梯形 ABCD 面积是.如图，已知 AD / EF / BC，且 AE = 2EB, AD = 8 cm, AD = 8 cm, BC = 14 cm, 贝H S梯形aefd S梯形bcfe =.（23方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格

15、点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标 明相应字母）.10X24. 如图， ABC中，CD丄AB于D, E为BC中点，延长 AC、DE相交于点F,AFDF25. 如图，在 ABC中，AB= AC,延长BC至D，使得 CD = BC , CE丄BD交AD于E,连结 BE交AC于F，求证AF = FC.26. 已知：如图，F是四边形 ABCD对角线AC上一点，EF / BC, FG / AD .AE CG 彳求证：+= 1.AB CD27.如图,H，求证：BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过

16、D作DG丄BC于G,分别交CE及BA的延长线于 F、(1) DG2= BG CG ; ( 2) BG CG = GF GH .-28.如图，/ ABC =Z CDB = 90, AC= a, BC = b.(1 )当BD与a、b之间满足怎样的关系时， ABCCDB ?(2) 过A作BD的垂线，与 DB的延长线交于点 丘，若厶ABCCDB . 求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形).29.如图，在矩形 ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交AB于F，连结FC (AB AE).（1 ） AEF与厶EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由;AB（2）设AB = k,是否存在这样

17、的 k值，使得BC的值；若不存在，说明理由.DAEFBFC，若存在，证明你的结论并求出kRtAABC 中，/ C = 90, BC= 6 cm,CA = 8 cm,动点P从点C出发，以每秒 2 cm的1速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使Scp = 0abc?431. 如图，小华家（点 A处）和公路（L）之间竖立着一块 35m?长且平行于公路的巨型广告牌（DE）广 告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC. 辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离（精确到1m） 35mD

18、E32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形 ABCD中, AD/ BC,对角线AC BD相交于O,试问： AOBD DOC是否相似? 某学生对上题作如下解答：答： AOBA DOC理由如下：在厶 AOE DOC中，T AD/ BC,AODOOCOB/ AOB=/ DOC- AOBA DOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明 理由33. 如图：四边形 ABCD中，/ A=Z BCD=90，过C作对角线BD的垂线交BD AD于点E、F,求证:CDDF DA ;如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA BC延

19、长线于F、G又有什么结论呢？你会证明吗?ED34. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC.35. （ 1）如图一，等边 ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边 EDC，连结AE求证：AE/BC ；（2）如图二，将（1）中等边 ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作 EDC改成相似于 ABC。请问：是否仍有 AE/BC ?证明你的结论。36. 如图，从O 0外一点A作OO的切线AB AC,切点分别为 B C,且O 0直经BD=6 连结 CD AO （1）求

20、证：CD/ AO（2）设CD=x AO=y 求 y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若 AO+CD=1,1 求 AB的长。37. 已知：如图，在正方形 ABCD中，AD = 1 , P、Q分别为AD、BC上两点，且 AP=CQ，连结AQ、BP交于点E, EF平行BC交PQ于F, AP、BQ分别为方程xmx n = 0的两根（ 1）求m的值（2）试用AP、BQ表示EF1（3）若Sqe = 1，求n的值838. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm OB=6cm点P从O点开始沿 OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果

21、P、Q同时出发，用t（s） 表示移动的时间（0EtE6 ），那么：（1 ）设厶POQ勺面积为y，求y关于t的函数解析式。（2）当厶POQ勺面积最大时， POQ沿直线PQ翻折 后得到 PCQ试判断点C是否落在直线AB上， 并说明理由。（3 ）当t为何值时， POQ与 AOB相似？39. 如图，矩形 PQMN内接于 ABC，矩形周长为 24, AD丄BC交PN于E,且BC = 10, AE = 16, ABC的面积.40.已知：如图， ABC中，AB = AC, AD是中线，P是AD上一点，过 延长BP交AC于E,交CF于F .求证：BP2= PE PF .A41.（09 延庆一模）在 Rt AB

22、C中，/ C=90 , BC=9, CA=12，/ ABC的平分线 BD交 AC于点 D,DEL DB交AB于点E,O 0是厶BDE勺外接圆，交 BC于点F(1) 求证：AC是O O的切线；(2) 联结EF,求旦匚的值.AC42.(09东城一模)请阅读下列材料: 圆内的两条相交弦，弦AB CD交于点2，P是O O内一点，且 OP=1，过点P任作一弦AC,过A、C两点分别作O O的切线已知O O的半径为m和n,作PQ丄m于点Q, PR丄n于点R.(如图2)(1)若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算:的值;PQ PR若OPLAC,请你在图4中画出符合题意的图形，并计算:PQ丄

23、的值;PR(3)若AC是过点P的任(图2)，请你结合(1)(2)的结论，猜想：1的值，并给出证明.43. （09昌平一模）.已知.AOB =90 , OM是.AOB的平分线将一个直角 RPS的直角顶点P在射线 OM上移动，点P不与点O重合.（1）如图，当直角 RPS的两边分别与射线 OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系， 并证明你的结论；3GD（2）如图，在（1 ）的条件下，设 CD与OP的交点为点G，且PG PD，求 的值；2OD（3）若直角RPS的一边与射线 OB交于点D ,另一边与直线 OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、 D、E为顶点的三角形与 OCD相似，请画出示

24、意图；当 OD =1时，直接写出OP的长.44. （09昌平二模）图1是边长分别为4.3和3的两个等边三角形纸片 ABC和C D E 叠放在一起（C与 c 重合）.（1）固定 ABC，将 C DE绕点C顺时针旋转30得到 CDE，连结AD、BE （如图2） 此时线 段BE与AD有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图2中CE的延长线交 AB于F，并将图2中的 CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的 CDE设为 QRP （如图3）.设厶QRP移动（点P、Q在线段CF上）的时间为x秒，若 QRP与厶AFC重叠部分的面积为 y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的

25、取值范围；（3）若固定图1中的 CD E ，将 ABC沿CE 方向平移，使顶点C落在C E的中点处，再以点C为 中心顺时针旋转一定角度，设 ACC 二30 ： :：90 ，边BC交DE 于点M，边AC交D C于点A图3N （如图4） 此时线段cnLem的值是否随:的变化而变化？如果没有变化，请你求出 cnLem的值； 如果有变化，请你说明理由1.E c C图445.（09通州二模）如图： AB是O O的直径，AD是弦，DAB=22.5，延长 AB到点C , 使得.ACD =2. DAB .(1) 求证：CD是O O的切线；若AB =2 2，求BC的长.46. (09房山二模)已知：如图，AB为

26、O O的直径，AD为弦，/ DBC =/ A.DEOA(1) 求证：BC是O O的切线；(2) 若 OC / AD , OC 交 BD 于 E, BD=6 , CE=4，求 AD 的长.47. (09朝阳二模)在厶ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE / AB ,将厶CDE绕点C按顺时针方向旋转得到 CD E H (使NBCE H AE).1 ) AEF与厶EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由;ab(2)设=k，是否存在这样的k值，使得 AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出 k的值；若不存在,BC说明理由.【提示】(1)如图，证明 AFEDGE，证出/ AFE

27、 = Z EFC . (2)证明/ ECG = 30，/ BCF = 30.【答案】如图，是相似.【证明】延长FE，与CD的延长线交于点 G . 在 RtA AEF 与 RtA DEG 中，E是AD的中点，二AE= ED./ AEF = / DEG，/ AFEDGE ./ AFE = / DGE . / E为FG的中点.又CE 丄 FG，二 FC =二 GC./ CFE = Z G ./ AFE=Z EFC .又 AEF与厶EFC均为直角三角形， AEFEFC .AB 3存在.如果/ BCF =/ AEF，即k= -时， AEFBCFBC2又30 .如图，在 发,证明：当JAB = 12时，D

28、CBC 2 DE/ ECG = Z ECF = Z AEF = 30. AEF和厶BCF均为直角三角形，/ BCF= 90 60 = 30. AEFBCF .不存在第二种相似情况.因为EF不平行于 BC,./ BCF工/ AFE .RtAABC 中，/ C = 90 , BC = 6 cm, CA = 8 cm，动点 P 从点 C 出 以每秒2 cm的速度沿CA、_ 1AB运动到点B,则从C点出发多少秒时，可使BCP= & ABC?4【提示】先求CP，再求DP.P从点C出发，运动在1CA 上时，若 Sa BCP=Sa ABC，则411 CP BC=-241AC BC，2CP1=-AC= 2 (

29、 cm).4故由点P的运动速度为每秒 2 cm，它从C点出发1秒时,有Sabcp=ABC.当点P从点C出发运动到AB上4时，如图，可过点 P作PD丄BC于D ._ 1 mSa BCP = ABC，贝U4111PD BC = AC BC.24 21PD = AC= 2 (cm).4Rt BACs RtA BPD ,BPPDABABBPAC.AC2 BC2 = 10,= 5 , AP= AB BP= 10 - = 7. 5.8 2 2也就是说,点P从C出发共行15.5 cm,用去7.75秒，此时&丄BCP= SABC .41秒或7. 75秒.AW 133 米.AO BOOD OC2答:31. BC

30、=50m,32.错误，33.证厶 DCEDBC 得 DC =DE DB 再证 DEFDAB 得 DE DB=DA DF(2) AD DF=DG DC34. BC=4m35. 证(1)A EAC 与厶 DBC 全等,得到/ EAC=/ B,而/ B=Z ACB得Z EACH ACB 故 AE/BC(2) EACDBC 得到 / EAC=/ B,而/ B=Z ACB得/ EAC2 ACB36. (1)连接BC交OA于 E点tAB AC是O0的切线， AB=AC, / 仁/ 2二 AE丄 BC /-Z OEB=90 v BD是OO的直径/ DCB=90 /Z DCBZ OEB / CD/ AOAv

31、CD/ AO/Z 3=Z 4v AB是OO的切线，DB是直径/. bdca aob/BDAO=6 x18y 3y 一7x由已知和知：jX + y = 11xy =18/ 0x6-8分/Z DCBZ ABO=9&把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根解这个方程得z=2或z=9X! = 2. y =9 丿X2 =9 （舍去）.ab嗣亍二羽2 =6$2 = 2又v AP、BQ分别为方程37. (1)v AP=QC , AP+BQ=QC+BQ=BC=1x - mx n = 0 的两根，有 AP+BQ=m , AP BQ=n/ AP+BQ=m=1 (2 分)(2)v EF / AP /EF EQ又v AP / BQ./APAQEQAEBQAPEQAE EQBQ 即 EQ BQ AP BQ AQ AP BQ即：ef =妲西AP AP BQAP BQ1(3) 连结 QD,则 EP/ QD，得：Saqd =，且 aep : Sqd=AP2： A