一元多项式因式分解方法归纳

1、一元多项式因式分解方法归纳摘要 ：给出了一元多项式因式分解的几种常 用方法，如提公因式法，运用公式法，分组 分解法，十字相乘法，配方法，拆项补项法 等等。解释了这些方法的理论来源，给出具 体实例，并指出每种方法的具体做法 . 关键词 ：一元多项式因式分解 提公因式法 运用公式法 分组分解法因式分解是中学数学中最重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学之中， 是我们解决许多数学问题的有力工具因式 分解方法灵活，技术性强，学习这些方法与 技巧，不仅是掌握因式分解内容所必须的， 而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力， 都有着十分独特的作用 学习它， 既可以复习整式的四则运算，又为学

2、习分式打好基础；学好它，即可以培养学生的观察 思维发展性，运算能力，又可以提高学生综 合分析和解决问题的能力 .一 提公因式法1 定义：一般地，如果多项式的各项有公因 式，可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成因式分解的乘积的形式，这种 分解因式的方法叫做提公因式法 .2 具体做法：确定公因式的方法 定系数：当各项系数都是整数时，公 因式的系数应该取各项系数的最大公约数； 定字母：字母取各项的相同的字母； 定指数： 各字母的指数取次数最低的如果多项式的第一项是负的，一般要 提出“”号，使括号内的第一项的系数成 为正数 .提出“”号时，多项式的各项都要 变号.3 提公因式法基本步骤：找出公

3、因式； 提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式，可按照确定公因式的方法，先确定系数再确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式， 注意要确定另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原 多项式的项数相同 .4 注意： 提公因式后，另一个因式的项数与原 多项式一致； 提公因式后，另一个因式不能再含有 公因式 .二 运用公式法1 定义：如果把乘法公式反过来，就可以用 来把某些多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做运用公式法 .2 因式分解常用公式：代数中常用的乘法公式有：平方差公式：完全平方公式：a b 2 a2 2ab b2将上述乘法公式反过来就得到用公式 来分解因式的方法，主要有以下三

4、个公式：两根法2b . b2 4acb bax bx c a xx2a平方差公式：完全平方公式：其他公式立方和公式：立方差公式：完全立方公式：a b a b a2 b22 4ac2ab2 abaa2 2ab b2b3 a bb3 aba2 2ab bab b2a3 3a2b 3ab2 b3a b 3例1因式分解 64x6 1分析64x6可变形为8x3 2，或变形为4x2 3，而1既可看作12，也可看作13，这样，本 题可先用平方差公式分解解方法一64x61328x31（把64x6变形为8x3 2)C 338x 1 8x1（运（ 把 4x2 拆为（利用完全运用平方差公利用平方差公式）8x3 1

5、2x 1 4x2 2x 1222x 1 4x 2 2x 1 2x 1 4x2 2x 1方法64x6 14x（把 64x6 变形为 4x2 3 ）4x2 1 16x4 4x2 1用立方差公式）2x 1 2x 1 16x 4 8x2 1 4x28x2 4x2 ）2 2 22x 1 2x 1 4x2 1 2x 2平方公式）222x 1 2x 1 4x2 2x 1 4x2 2x 1式）点评 :在分解因式时 ,尽管采用的方法不 同 ,但结果应是相同的 ,本题的两种解法 显然第一种方法比较简单 .例2 已知x 2 x 3 x 4 x 5 49（x为整数）, 求证：A为一个完全平方数.证明：因为 x 2 x

6、 3 x 4 x 5492 2 2x2 x 26 x 2 x 16922x2 x 13所以A是一个完全平方数.三 分组分解法1 定义：把各项适当分组，先把因式分组， 再使分解因式在各组之间进行 .2 注意：在用分组分解法因式分解时，要注 意分组不能使一个多项式变为乘积形式， 分组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多项 式又是各组的公因式，可以再提取，从而 使问题得到解决，上述规律可以通俗的归 纳成：“分组的目的是为了提取， 提取的目 的是为了再提取” ，若多项式带有括号， 且 括号内的式子相同时，可用换元后进行分 组分解，若括号内式子不相同，又不便直 接分组时，

7、要将括号去掉，重新整理后再 分组分解 .3 分组分解法的实质是分组后能直接提公因 式或运用公式法 .4具体方法:方法分类分组方法特点分组分解 法四项二项和二 项 按字 母分组 按系 数分组 符合 公式的 两项分 组分组分解 法四项三项和一 项先完全平 方公式后 平方差公 式分组分解 法五项三项和两 项各组之间 有公因式分组分解 法六项三项和三 项各组之间 有公因式分组分解 法六项分成三个 二项各组之间 有公因式分组分解六项三项，二可化为二法项和一项次三项式5总结利用分组的手段为提公因式法创造条 件，因此分组分解法是转化的数学思想在因 式分解中的集中体现，分组的目的是经过适 当的分组以后，将原来

8、不显现的条件通过分 组显现出来，将其转化为用已学过的提公因 式法或运用公式法来进行因式分解。通过分 组分解法的学习，我们可以体会到数学思想 方法对数学学习的重要意义例1分解因式x3 7x 6分析：因式分解一般思路是：“一提，二代,三分组,其次考虑规律式（十字相乘法）”，即: 首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式 法分解；再考虑是否可以分组分解 ；对形如二 次三项式或准二次三项式可以考虑用”规律式”或十字相乘法）分解，按照这样的思路，本 题首应考虑用分组分解法来尝试 .x3 7x 1 7x3 1 7x 72x 1 x x 1 7 x 1x 1 x定义：

9、利用十字交叉线来分解系数，把二 次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 . 具体做法：十字左边相乘等于二次项系 数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相 加等于一次项系数，其实就是运用乘法公 式X ax b=x2+a bx ab的逆运算来进行因式 分解，一般地，对于二次三项式 ax2 bx ca 0 ， 如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积，即a aa2，常数项c可以分解成两个因数 之积，即c C1C2，把ai,a2,Ci,C2，排列如下： x 1 72x 1 x2 x 6x 1 x 2 x 3说明:当 x 1时,多项式 x3 7x 6值为 0,因而 x 1 是 x3 7x 6的一个因式 ,因此

10、,可从”凑因子” x 1 的 角度考虑 ,把 6 拆成 1 7,使分组可行 ,分解成 功.四十字相乘法按斜线交叉相乘，再相加，得到aiC2 a2ci ,若 它正好等于二次三项式ax2 bx ca 0的一 次项系数b，即aic2 a2ci b，那么二次三项式就 可以分解为两个因式aix ci与a2x c2之积，即ax2 bx cxa? xC23十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘, 求和凑中4基本式子:2x pqxpq x p x q5规律：二次三项式的常数项为正，所分解成 的两个一次因式的常数项必定同号 .二次三项式的常数项为负，所分解成 的两个一次因式的常数项必定异号例 分解因式2x2 7x

11、3分析:先分解二次项系数，分别写在十字 交叉线的左上角和左下角，再分解常数 项,分别写在十字交叉线的右上角和右 下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于 一次项系数.分解二次项系数（只取正因 数,因为取负因数的结果与正因数的结 果相同）2 12 2 1; 分解常数项： 用画十字交叉方法表示下列四种情况：11X2313 2 15713X2 11 1 2 3 771-1X2-31321571-3X2 -1经过观察，第四种情况是正确的，这是 因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项 系数.解 : 2x2 7x 3x 3 2x 1五 配方法1 定义：通过配成完全平方式的方法，得到 一元二次方程的根的方法，

12、这种解一元二 次方程的方法为配方法，配方的依据是完 全平方公式 .2 配方法准备方法： 完全平方公式的逆运用 a 2 b 2 a2 2ab b 2 2ab a b 2 2ab配方法能继续进行的前提是： 2ab 是一个完 全平方式 .3 配方法的步骤：若二次项系数不是 1，把二次项系数 化为 1（方程两边都除以二次项系数） ；把常数项移到方程右边；在方程的两边各加上一次项系数的一 半的平方，使左边成为完全平方式；如果方程的右边整理后是非负数，用 直接开平方解之，如果右边是个负数, 则指出原方程无实根例1用配方法解方程2x2 x 6 0解：化二次项系数为1,得:3 0移项，得:配方，得:3 I24

13、4916开平方，得:所以原方程的解为:32例2用配方法解下列方程解：移项，得Xi2,x2 6x 70两边同时加上“一次项系数一半的 平方”，得2x 6x 979即2x 3 216利用幵平方，得x 34x-i 1, x27 .2x2 8x 50所以，原方程的根是： 例3 用配方法解下列方程解：移项并且两边同除以2,得、2622, x222x2 4x两边同时加上“一次项系数一半的平方”132利用幵平方法，得所以，原方程的根是26Xi六拆项补项法 1 定义：因式分解是多项式乘法的逆运算， 在多项式乘法运算时，整理，化简常将几 个同类项合并为一项，或将两个仅符号相 反的同类项相互抵消为零，在对某些多项

14、 式分解因式时，需要恢复那些被合并或相 互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成 两项或多项，或者在多项式中添上两个仅 符号相反的项，前者称为拆项，后者称为 添项.2 拆项添项的目的是使多项式能用分组分 解法进行因式分解 .例 1 分解因式： x 3 9x 8解法 1 将常数项 8 拆成 -1+9原 式x3 9x 1 9（将常数项 8 拆成 -1+9）x3 1 9x 92x 1 x x 1 9 x 1（运用立方差公式）2x 1 x x 8（提取公因式）解法 2 将一次项 9x 拆成 x 8x原式（将一次项9x拆成x 8x ）=x3 x 8x 8x x 1 x 18x1提取公因式）解法3将一次项x3

15、拆成9x3 8x原式=（将一次项x3拆成9x3 8x3 ）33= 9x 9x 8x 82= 9x x 1 x 18 x 1 x x 1x3 x 8x 89x38x39x 8提取公因式）解法 4 添加两项 x2 x2原式= x3 9x 8=x3 x2 x2 9x 8添加两项x2 x2 ）= x2 x 1 x 8 x 1提取公因式）例 2 分解因式：x3 3x2 4X3 1 3X23X 1 X X 13 X 1 X 1解法 1 可将 4 拆成 1, 3 原式将 4 拆成 1, 3）运用立方差，平方差公式）2X 1 X2 X 1 3X 3提取公因式）X 1 X2 4X 4X4 3X2 4 X3 X4

16、X2 1 X24X3 1 X运用十字相乘法）23X 1 X 1 X 4 X X 1运用平方差公式）X 1 X2 4X 4合并同类项）平方差公式）解法2添X4，再减x原式（添X4，再减X4 ）提取公因式）x3 3x2 4x 4x 4xx 1 x 4 4x 1运用十字相乘法）x 1 x24x 4提取公因式）1x运用完全平方公式） 解法 3 添 4x ，再减 4x 原式 添 4x ，再减 4x）2xx 3x 44x1x3x24x24运用完全平方公式） 解法 4 把 3xx x 1 4x 1 x 1 拆成 4x2 x 原式（把 3x2 拆成 4x2 x2 ）运用平方差公式）x 1 x24x 4提取公因

17、式）2=x 1 x 2解法5把x3拆成4x3 3x3 原式（把 x3拆成 4x3 3x3 ）324 x 1 3x x 1=4 x 1 x 定义：换元法就是引入新的字母变量，将 原式中的字母变量换掉化简式子 . 运用此 种方法对于某些特殊的多项式因式分解可 以起到简化的效果 . 整体换元例 1 分解因式： x2 3x 2 x2 3x 4 16解：设 x2 3x 2 m ，则原式= m m 6 16= m2 6m 16 x 1 3x2 x 1运用立方差公式）22=x 1 4x2 4x 4 3x2提取公因式）=x 1 x2 4x 4合并同类项）2x 1 x 2 2七 换元法2 2x 3x 6 x 3

18、x 42x 3x 6 x 4 x 1评注：此题还可以设x 3x 1 mx2 3x m , 或 x2 3x 4 m, 或3均值换元例2 分解因式：x1x3x5x7 15解：原式=x 1 x 7 x 3 x 5 152 2=x 8x 7 x 8x 1515取“均值”，设1 2 2m x 8x 7 x 8x 152x2 8x 11原式（把m代入原式）m216 15m21m 1 m 1（运用平方差公式）x2 8x 12 x2 8x 10m 4 m 4152x 2 x 6 x 8x 10（运用十字相乘法）4倒数换元解： 原 式2 2XX 7x 14（提取公因式X2 ）x214（另 x 1 m ）x2 2

19、x m 2 7m 14（其中 x2 A m2 2 ）x/2 2x m 7m 12 x2 m 3 m 4 x2 x（将x - m代入）x2 2x 3x 1 x 4x 1注：上题设x 1x八求根法1定义：令多项式f x 则该多项式可分解为0，求出其根为x1,x2,x3 xn2 把二次多项式ax2 bx c分解可得 ax2 bx c a x & x X2，其中的xm要用一兀二次 方程求根公式解出，这样使二次三项式得 到分解的方法，叫求根公式法分解因式.3任何一个一元二次方程都可写成一般形式ax2 bx c 0 a0移项,彳得 ax2 bx二次项系数化为1，得2 bcx xaa配方，得2 22 bbc

20、bx x a2aa2a即,x2ab2 4ac4a2因为 a 0,4a20当 b2 4ac 0 时,b2 4ac4a2由上式得:2bb 4acx2a2ab Vb2 4acx2ab Jb2 4acXi2b vb 4ac x2ax2 bx 0 a 0 ,当2a所以求根法即一元二次方程b2 4ac 0 廿寸，b Jb2 4acXl2a 2b vb 4acx2a所以对于一元二次方程 式是ax2 bx 0 a 0的求根公b Vb2 4acXl2aax2 bx ca x x1 xba xb vb2 4ac x22aX2.b2 4acb b2 4acx2a2a4如果f x含有因式x a，那么fa 0，则多项式

21、f x 必定含有因式x a.根据因式定理，找出一元 多项式f x的一次因式的关键是求多项式 f x的根.例1 分解因式：x3 4x2 6x 4分析：这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是4的约数，逐个检验 4 的约数： 1, 2, 4，只有f 2 23 4 2 2 6 2 4 0即 x 2 是原式的一个根， 所以原式必有因 式 x 2原式 x 3 2x 2 2x2 4x 2x 42x2 x 2 2 x x 2 2 x 2x 2 x 2 2x 2九 待定系数法1 定义：在因式分解时，一些多项式经过分 析，可以断定它能分解成某几个因式，但 这几个因式中的某些系数尚未确定，这时 可以用一些字

22、母来表示待定的系数，由于 该多项式等于这几个因式的乘积，根据多 项式恒等的性质，两边对应项系数应该相 等，获取多项式中原有字母的几个特殊值， 列出关于待定系数的方程 （或方程组） ，解 出待定字母系数的值，这种因式分解的方 法叫做待定系数法 .准分解式很显然，可以看出1和4是 f x 的有理根，不妨设32f x x 1 x 4 x ax bx 1 利用多项式乘法法则，将右式展开并且 合并同类项，得f x x5 a 3 x4 b 4 3a x3 1 3b 4a x2 3 4b x 4与 f x x5 10x3 20x2 15x 4进 行 逐 项 比 较 ， 得 a b 3所以f x x 1 x

23、4 x 3 3x2 3x 1x 4 x 1 4 例 2 分解因式 x4 x3 2x2 x 3 分析 本题所给的是一元整系数多项式， 根据前面讲过的求根法，若原式有有理 根，则只可能是 1, 7 （7 的约数），经检 验，它们都不是原式的根，所以，在有 理数集内，原式没有一次因式，如果原 式能分解， 只能分解为 x2 ax b x2 cx d 的形 式.解：x4 x3 2x2 x 3可以分为两个整系数的二(* )(其中 a,b,c,d 为次因式的乘积，可以假设4 32 小 2 . 2.x x 2x x 3 x ax b x cx d待定系数利用（*）式两边多项式的恒等性， 根据 对应系数的相等性

24、，可得到如下方程组：a c 1b d ac 2bc ad 1bd 3由对称性可知b,d的次序可以互换 取 b 1,d 3（ 1）或 b 1,d3（2）将（1）式代入上述方程组，得：a c 1彳ac 2c 3a 1解得a 1,c 2将（2）代入上述方程组，得a c 1ac 6Lc 3a 1此方程组无解综上，原方程组的解为:a 1,c2 ,b 1,d3本题没有一次因式，因而无法运用求 根法分解因式，但利用待定系数法，使 我们找到了二次因式，由此可见，待定 系数法在因式分解中也有用武之地 .本文对一元多项式因式分解方法进项归 纳，使我们对因式分解得到系统的认识，帮 助我们在以后学习中更快更准确解答数

25、学 题，在数学学习中有非常重要的意义，解题 时，首先要判断所给多项式类型，然后根据 其特点采用不同的方法，有时一道题要综合 使用，才能使问题得到解决.参考文献：1 数理化解题研究2012年06期谈 谈初中因式分解的解题技巧蒋秀云2 考试周刊2010年04期整系数多 项式因式分解的方法归纳刘亚婷3 西藏科技2002年12期.巧解因式 分解题张东晓4 思茅师范高等专科学校学报 2001 年 03 期 .由一道因式分解例题想到的谈 一元多项式因式分解的一般方法施红星5 大庆师范学院学报 2006 年 02 期 .一 元多项式因式分解一般方法李颖6 天府数学 1999 年 06 期 .因式分解 教与学胡运凤7 中学生数理化（八年级数学）（配合 人教版教材） 2011 年 11 期 . 谈整式乘除、 因式分解的学习秦占全8 “Test”（the research）2012,05 introduction to middle school methods of f