huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版材料力学

1、 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 (Chapter Six ) Deflection of Beams () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 4 弯曲变形弯曲变形 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。 研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 () h

2、use第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 n 2 F F 2 F () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 挠度挠度(w): 横截面形心横截面形心(即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于x轴轴 方向的线位移方向的线位移, 称为该截面的挠度称为该截面的挠度(Deflection) 。 n 取梁的左端点为坐标原点取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线梁变形前的轴线 为为x轴轴, 横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为y轴轴, xy平面为纵平面为纵 向对称平面。向对称平面。 x y B A B C C1 挠度 w 挠

3、度符号？ () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 x y B A B C C1 转角符号？ 转角 转角转角( ): 横截面绕中性轴横截面绕中性轴(即即Z轴轴)转过的角度（或转过的角度（或 角位移）角位移）, 称为该截面的转角称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 n挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定： 挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中, 向上为正向上为正, 向下为负。向下为负。 转角：转角： 逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。 y x AB C w(挠度

4、挠度) C1 (转角转角) F () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 必须注意必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后, 在在x轴方向轴方向 也有线位移。也有线位移。 y x AB C w(挠度挠度) C1 (转角转角) F 但在小变形情况下但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长梁的挠度远小于跨长, 横截面形心沿横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属轴方向的线位移与挠度相比属 于高阶微量于高阶微量, 可略去不计。可略去不计。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。 挠曲线方程挠曲线

5、方程: 式中式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该为该 点的挠度。点的挠度。 ( )wf x y x A BC w(挠度挠度) C1 (转角转角) 挠曲线挠曲线 F () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 n挠度与转角的关系：挠度与转角的关系： tan( )wfx y x A B C w(挠度挠度) C1 (转角转角) F () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲 率公式：率公式： z z EIEI M M 1 1 忽略剪力对变形的影响，也可

6、忽略剪力对变形的影响，也可 用上式计算横力弯曲梁的变形：用上式计算横力弯曲梁的变形： z EI xM x )( )( 1 以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在 纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力 弯曲时，曲率与弯矩成正比。弯曲时，曲率与弯矩成正比。 P D () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 1M E I 1( ) ( ) M x xEI 横力弯曲时横力弯曲时, M和和 都是都是x的函数的函数。略去剪力对梁。略去剪力对梁 的位移的影响的位移的影响, 则则 纯弯曲

7、时曲率与弯矩的关系为纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 由几何关系知由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作 3 2 2 1( ) ( ) (1) wMx xEI w () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 曲线向上凸曲线向上凸 时：时： w0, M0 因此因此, M与与w的正负号相同。的正负号相同。 MM M0 w0 M M 曲线向下凸曲线向下凸 时：时： w0, M0 3 2 2 ( ) (1) wM x EI w O x y 3 2 2 ( ) (1) wM x EI w () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 由于挠曲线是一条非常平坦的曲线由于挠

8、曲线是一条非常平坦的曲线, w2远比远比1小小, 可以略去不计可以略去不计, 于是上式可写成于是上式可写成 ( ) M x w EI 3 2 2 ( ) (1) wM x EI w 此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。 (Approximately differential equation of the deflection curve) 称为称为近似近似的原因的原因: (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; (2)略略 去了去了w2项。项。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 ( )M x w EI ( ) EIwM x () huse

9、第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 1 ( )EIM xxCwd 12 ( )EIwM x dxdxC xC () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 讨论：讨论： （1 1）梁的弯矩）梁的弯矩M(x)M(x)可用一个函数描述时，积分可用一个函数描述时，积分 常数仅常数仅2 2个，由支承约束条件确定；个，由支承约束条件确定； （2 2）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的 弯矩方程弯矩方程M(x)M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同不同，因而各段的转角和挠度具有不同 的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有的函数形式，应分段

10、积分，每一段的积分常数有2 2个，个， 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 P D （1 1）支点位移条件：支点位移条件： （2)2)连续条件：连续条件： 0 D v0 D CC 右右左左 或或写写成成 CC 右右左左 或或写写成成 CC vv CC vv (3)(3)光滑条件：光滑条件： 0 A v0 B v PAB C )( 1 xM )( 2 xM () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 CC vv 左左右右 CC 左左右右 CC vv 左左右右 CC 左

11、左右右 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 （1 1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。 （2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3 3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两 个截面挠度相等、转角相等。个截面挠度相等、转角相等。 4 4、确定挠曲线方程和转角方程、确定挠曲线方程和转角方程 5 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。 1 1、根据荷载分段列出

12、弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。）。 2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 积分法计算梁变形的步骤积分法计算梁变形的步骤 21 )()(CxCdxdxxMxEIy 边界条件：边界条件： 连续性条件：连续性条件： )()(xMxyEI 1 )()()(CdxxMxEIxyEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 讨论讨论： 适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性、细长构

13、件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁缺点：计算较繁 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 l ABx F max w max () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 x l w ABx F ( )() (1)M xF lx ( ) (2)EIwM xFlFx 2 1 (3) 2 Fx EIwFlxC 23 12 (4) 26 FlxFx EIwx

14、 CC () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2 1 (3) 2 Fx EIwFlxC 23 12 (4) 26 FlxFx EIwx CC 0,0 0,0 xw xw 12 0 0CC 2 2 Fx EIwFlx 23 26 FlxFx EIw () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 B wmax max x l y A F （ ） 222 max | 22 x l FlFlFl EIEIEI max max w （ ） 3 max | 3 x l Fl ww EI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 max max w A B q ()

15、 huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2 AB ql RR AB q RARB x 2 ( ) 22 qlq M xxx 23 46 qlq EIwxxC 2 22 qlq EIwxx 34 1224 qlq EIwxxCxD () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 233 (64) 24 q lxxl EI 233 (2) 24 qx wlxxl EI xl0w x AB q RARB A B 3 max 24 AB ql EI wmax 4 max 2 5 384 l x ql ww EI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 A B F D

16、 a b () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 A b RF l B a RF l RARB A B F D ab 12 x x 1 (0) A b MR xFxxa l 2 () () b MFxF xaaxl l () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 1 1 1 b Fx EIwM l 2 11 2 bx EIwFC l 3 111 6 b x EIwFC xD l () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 22 () b FxF xa EIwM l 2 2 22 () 22 bF xa x F EIwC l 3 3 222 () 66 b

17、F xa x Fx EIwCD l 2 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 12 ww 12 ww 1 0w 2 0w 12 0 DD 22 12 () 6 Fb CClb l AB F D ab l 12 RA RB () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 1 (0)xa 222 11 () 3 6 Fb wlbx lEI 2 22 1 6 Fbx lwbx lEI 2()axl 2 222 22 1 ()() 23 Fbl xa wxlb lEI b 3 322 2 () () 6 Fbl xxa wxlb lEI b () huse第六章弯曲变形武汉理

18、工大学出版 材料力学 10 () | 6 Ax Fab lb lEI 2 () | 6 Bx l Fab la lEI max () 6 B Fab la lEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 0w 1 0w 222 11 ()0 3 6 Fb wlbx lEI 22 1 (2 ) 33 lba ab x 1 2 22 3 max ()0 0642 9 3 x x FbPbl w |lb. w EIlEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2 22 (34)0.0625 48 C FbFbl wlb EIEI 1 2 22 3 max ()0 0

19、642 9 3 x x FbFbl y|lb. w EIlEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 121122 (,)()()() nnn F FFFFF 121122 (,)()()() nnn w F FFw Fw FwF () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 B qF A C aa F = A B + AB q 2 4 FA Fa EI 3 6 FC Fa w EI 4 5 24 qC qa w EI 3 3 qA qa EI () hu

20、se第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2 4 FA Fa EI 3 6 FC Fa w EI 3 3 qA qa EI 4 5 24 qC qa w EI AFAqA 2 (34) 12 a Fqa EI 43 5 () 246 C qaFa w EIEI qF F =+ A A A B B B C aa q () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 AB C () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 A B C q (a) BA m (c) A q (b) B Bq Aq Cq w Bm Am Cm wC CCqCmwww AAqAm 4 2 5 3841

21、6 qlml EIEI ( ) ( ) 3 () 243 mlql EIEI BBqBm ( ) 3 246 mlql EIEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 A B C D a a 2a 2q q () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 A B C D a a 2a 2q q B C D q 2qa 2 B qa M 2q A B 2qa 2 B qa M 2 B Mqa 2qa () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2qa B C D q 2 B qa M q B C D B C D 2 B qa M () huse第六章弯曲变形

22、武汉理工大学出版 材料力学 wDqBq D B C 3 3 MBBBqB qa EI 4 24 B DDqDM qa www EI 2qa B C D q 2 B qa M B BM B DM w D B C 2 B qa M 33 243 Bq qlqa EIEI 3 2 33 B B BM lqa M EIEI 44 55 38424 Dq qlqa w EIEI 4 2 164 B B DM qa lM w EIEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2w A B 1w A 2q B 2qa 2 B qa M 2qa B B C D q 2 B qa M 122 B

23、 A wwwaw 2 2 (2 ) 8 q a w EI 444 7 3412 A qaqaqa w EIEIEI () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 max max ww w () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 二、提高梁刚度的主要措施二、提高梁刚度的主要措施 挠曲线微分方程：挠曲线微分方程： ( ) z M x w EI 转角：转角： ( )wx 1 1、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩、选择合理的截面形状，以增大截面惯性矩Iz 尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值 3 3、 () huse第六章弯曲变形武汉理

24、工大学出版 材料力学 n对于钢材来说对于钢材来说, 采用高强度钢可以显著提高采用高强度钢可以显著提高 梁的强度梁的强度, 但对刚度的改善并不明显但对刚度的改善并不明显, 因高因高 强度钢与普通低碳钢的强度钢与普通低碳钢的E值是相近的。因此值是相近的。因此, 为增大梁的刚度为增大梁的刚度, 应设法增大应设法增大I值。在截面面值。在截面面 积不变的情况下积不变的情况下, 采用适当形状的截面使截采用适当形状的截面使截 面面积分布在距中性轴较远处面面积分布在距中性轴较远处, 以增大截面以增大截面 的惯性矩的惯性矩I, 这样不仅可降低应力这样不仅可降低应力, 而且能增而且能增 大梁的弯曲刚度以减小位移。

25、大梁的弯曲刚度以减小位移。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 1 1、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状 将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使 A A较小而较小而 I z较大。较大。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 截面形截面形 状状 截面面积截面面积 (cm2) 截面尺寸截面尺寸 (cm) I (cm4) 圆 形35.5D=6.72101.3 矩形35.5B=4.21 H=8.43 210.56 工字形35.520a 2370 n所以工程上钢结构常采用工字形、箱形等截面。所以工程上钢结构常采用工字形、箱

26、形等截面。 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 尽量减小梁的跨度或长度，减小弯矩数值尽量减小梁的跨度或长度，减小弯矩数值 q B A l wmax B q A l wmax () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 3 3、 D EI ql 3 4 qlP l q l EI ql 8 4 A B l 44 8 48384 qlql EIEI q l q 4 5 384 ql EI P () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 4 4、改变支座形式，减少弯矩数值、改变支座形式，减少弯矩数值 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 A

27、 B q l q q () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 简单超静定梁简单超静定梁 1.1.基本概念：基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言多余约束：从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 2.2.求解方法：求解方法： 解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变 形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用 静力平衡条件求其他约束反

28、力。静力平衡条件求其他约束反力。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统 7-6 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A F Ay A C F C BA FBy F C BA A 解解 例例 求梁的支反力，梁的抗求梁的支反力，梁的抗 弯刚度为弯刚度为EIEI。 1 1）判定超静定次数）判定超静定次数 2 2）解除多余约束，建立相当）解除多余约束，建立相当 系统系统 ()()0 By BBFBF www 2a (d) (c) (b) (a) a M M B B F C A A F Ay A C F C BA F By F C BA A (d) AB C FBy AB F C 3 3）进行变形比较，列出变）进行变形比较，列出变 形协调条件形协调条件 () huse第六章弯曲变形武汉理工大学出版 材料力学 (d) AB C F By AB F C 4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 23 (2 )14 ()(92 ) 63 BF FaFa waa EIEI 3 8 () 3 By By BF F a w EI 3 3 8 14 0 33 By F