弹塑性力学习题集

1、第二章应力例题例1如图所示，试写出;us 00,求在1 2e112%a,e3面上的法向正应力和切向剪应力s 01, m0,y1(x)st2nt11111213m 21m 22m 23t3nn 31n 32n 3312121.(21 021 324)4)2(22 2)1 0212o o 。 o 1一”12 + 琮+资 n 工：27 48.-2胡2如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为解：在x=0上，1 =(x )x=01)+( yx)x=0 0 = y(xy)x=01)+(y)x=0 0 = 0(x)x=0=(xy)x=0在斜边上1= cos ,m = sinx cosyxsinxycosys

2、in = 0第四章本构关系1 2 2232m( y)sm(1(xy )sxy)sxsxy0,s (0,5_2一2 一2 5 27 2 222h,xy s0,m0,yxy,试写出边界条件。例.一薄壁圆管，平均半径为r,壁厚为t,受内压p作用，讨论下列两种情况:(1)管的两端是自由的;(2)管的两端是封闭的；分别使用mises和trescos服条件,讨论p多大时管子开始屈服(规定 纯剪时两种屈服条件重合)解：将mises和tresc井的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示,并使得两种屈服条件重合,则有mises服条件：j2 =tresca服条件：13=2 s1)xy s1)0(1)1)q,

3、xy sxy s0, xy s1)0管的两端是自由的;应力状态为,z=0,= pr/t=0zr rz=01j2= 6 (z r)2+( r)2+(121262(pr/t)2= 3(pr/t)21 3= pr/t对于mises屈服条件：j 2 =k；s2对于 trescs服条件：1 3=k1=2 sz)2+6(2r2z )st/rp=2 st/r(2)管段的两端是封闭的;应力状态为，z=pr/2t,= pr/t, r=0, zr= r = z=0113_j2= 1 ( z r)2+( r)nj+6( ；2 2z)=1 (pr/t)266 213 = pr/t对于mises屈服条件：p = 2 s

4、t/r对于 trescs0服条彳p = 2 st/r例.一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(1,2)=(3t, t),假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。(1)由上述条件推断在1 2空间中的各屈服点应力。(2)证明mises屈服条件在1 2空间中的曲线通过(a)中所有点。解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：(1，2，3) = (3t, t, 0)+ ( 3t, 3t,3t)= (0, 2t, 3t)(i， 2， 3) = (3t, t, 0)+ ( t, t, t)= (2t, 0, t)1 2空间中的以下五个应力还有，由于拉压屈服应

5、力相等，因而可得到 六个应力屈服点1 2空间中的另外点也是屈服点a2：(1,2，3) = (t, 3t,0)b(1,2，3) = ( 3t,2t, 0)b2：(1,2，3) = ( 2t,3t, 0)ci ：(1,2，3) = (2t, t,0)c2：(1,2，3) = ( t, 2t,0)再由于各向同性的条件，很容易看出a 3： ( 1,a 4： ( 1,2，2，3)= ( 3t3)= ( t,t, 0)3t, 0)b3： ( 1,2，3) = (3t,2t, 0)b4： ( 1,2，3) = (2t,3t, 0)c3： ( 1,2，3) = ( 2tt, 0)c4： ( 1,2，3)= (

6、t，2t, 0)因此，根据这些点的数据，可以作出在1 2空间中的屈服面。容易证明mises屈服条件2121 2-27t 2通过以上所有屈服点讨论：设已知三杆桁架如图1,18所示，三根杆晌截面枳都相同，并有f = h杆件是由弹望佳线性蜜化材耨所制成的.在市点。受 到里向力p的作用，以表示节点d的水平(向右为正)和 竖直(向下为正)位移，加、片表示1杆.杆的总伸长口排皿f止h i h-平衡方程为：h12p1(1p n1 2n2cos300 ( 13 2)几何关系为：1v，.322 v，vh3 v 34 h 4本构方程为此,s时;eie弹性解：当p足够小时，三杆均处于弹 性状态，应力与应变成比例.由

7、于 2 3 1故 2 9 1443 3p ( 13 2)1(1)4因为12所以12，弹塑性解：1 s，2 s，p p1由基本方程可得p 曰 1s(1 旨 2e 2 cos300ev e1 3 3 e h (e 4 ) (1 e) s杆1最先到达塑性状态，当1s时，1 2 sh于是桁架开始出现塑性变形的载荷为p s(1 32)p1称为弹性极限载荷.4当2s时，即2坐 s时，4 h桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为p2 e1 1 s(1 ，)2 s cos300 三 s(1 雪-e1)塑性解：1 s,2 s, pp2由基本方程可得p3e1 1 (1e1) s 画e1 2 (1et(13)(1e1)

8、(13) sh 4 e在p由零逐渐增加(单调加载)的 过程中，桁架变形可以分为三个不 同的阶段弹性阶段弹能桂阶段e/pwpt霍性阶段尸 看cf在弹塑性阶段，1杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，1杆的塑性变形受到限制,整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶 段可称为约束的塑性变形阶段.在塑性阶段，三杆 都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量 级.一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段.例一薄壁圆管同时受拉，扭和内压作用，有应力分量z，泊松比1十一，求:2(1)当应力分量之间保持z 23 z比例从零开始加载，问 z多大时开始进入屈服?mises

9、:屈服准则为f13 z代入上式得到0s屈服后，增量本构关系为:6叽一$瓯d/：=pda(2tf ri(2)开始屈服后，继续给以应力增量，满足 d z 0 及 z 2d .求对应的d z及d 值.分别对mises和tresca两种屈服条件进行分析.d。*一万d网dw产手-孤)由= 得芹号，又屈服条件的微分形式为（2疗事4邛）4。 +（2仃中一小）dqan x encos1en cos l n由于常数n x , cos dx2q n _一 sinae0,g0,en,gn的存在，该问题可理解为上、下分别作用均布载荷lcosm_x,并在区间 l.x m x .cosdxl l，、 m x、q(x) c

10、osdx所以可换成sh ,ch(nch ntntntsh ntnsh ntsh ntntch ntl,le0 go?，再加上后面的三角级数所表示的载荷于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再叠加。对于上、下面作用均布压缩载荷(m n)l em (m n)x xy 0,而en2q . n sin a,n ，于是得 enn x ,q( x) cosdx所以式（7）中的常数可全部确定,力分量，再加上式x xy 0,力，即得梁总的应力分量计算式。qa 4qy 7 一sinchbnandn将式na则可得cnen-2 nsh ntntch nt(9)sh2 nt 2 nt2ennsh nt2 sh2 nt 2 nt代入式（7）,即得相应的应史中由均布载荷而产生的应ly的表达式为n 1 n(sh2 nt 2 nt)(sh ntntch nt)chnynysh n tsh nycos nx更，相应的应力分量为lgnqal2q 一、n _