例谈空间几何中翻折问题的解决策略

1、例谈空间几何中翻折问题的解决策略沈良【专题名称】高中数学教与学【专 题 号】G312【复印期号】2011年12期【原文出处】数学通报(京)2011年7期第3336，4页【作者简介】沈良，杭州市萧山区第五高级中学（311202）.平面图形翻折成空间图形，空间图形展开成平面图形是立体几何中的一类典型问题，它体现了事物静止与运动的两个方面，将几何图形翻折起来引起了变动的位置关系，蕴含了运动的哲学思想；同时，在运动中又保持了一些相对不变的位置关系，蕴含了静止的哲学思想.在本文中，通过对几道典例型题的研究，谈谈翻折问题中相关内容的解决策略.一、对比分析，寻找不变量和不变关系例1（2009福建卷文20）如

2、图1，平行四边形ABCD中DAB=60，AB=2，AD=4将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD.（）求证：ABDE.（）求三棱锥E-ABD的侧面积.（）证明在ABD中，因为AB=2，AD=4，DAB=60.由余弦定理得，所以，所以ABBD.又因为平面EBD平面ABD所以AB平面EBD.因为DE平面EBD，所以ABDE.（）解略.策略研究通过例1，首先引起我们关注的是翻折问题中翻折对象是什么，又翻折到何种程度.纵观此类问题，无不是对三角形、平行四边形、梯形、矩形等平面图形进行加工处理.本例中就是将平行四边形ABCD沿对角线对折，即CBD沿着BD折起到EBD的位置，而折到的程度

3、是使平面EDB平面ADB.通常折到某个程度又往往是借助线段长度、相应的角度、相应的平行、垂直关系等给出，我们可以利用相应线面位置关系定理着手解决，也可以通过平面几何知识特别是解三角形知识（如正弦、余弦定理）解决.其次，翻折是一个动态的过程，很多几何元素的量和位置关系都在发生变化，但关键在于寻找不变的量和不变的关系，据此问题便迎刃而解，如本例中在翻折过程中，CDDB的位置关系始终没有发生变化继而有EDDB，再如长度CD=ED、CB=EB等所以，解决翻折问题的突破口是对比平面图形与空间图形的变化，从两方面着手分析：从什么样的图形开始折，折到什么程度；折的过程中寻找哪些量、哪些关系发生了变化，特别是

4、哪些量、哪些关系没有发生变化，这是解决问题的关键.接下来，我们不妨再通过对比分析来感受另外的几道例题（题图见下页表格）.2.（2005浙江文12）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E（如图）.现将ADE沿DE折起，使AEB=45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_.二、展成平面，逆向探究求最小值策略研究CP+的最小值问题，事实上研究的是几何体上两点沿几何体表面连线的线段长度最小值问题，通常我们面临的往往是沿着三棱锥、三棱柱、长方体等几何体表面连线绕行求最小值（最近距离）.而此类问题的解决途径需要借助空间图形展开成为平面图形，应用平面上两

5、点间以线段距离最短来处理.我们会思考两个问题，为什么可以这么做：究其原因不难发现，正是例1中所提到的翻折过程中某些线段长度不变，如本例中CP、，长度均未发生变化，从而可转化为平面上两点间距离最短问题；怎么做：此类问题关键在于找到所经过的两平面交线，沿着交线将空间图形展开成为平面图形，再运用平面几何知识特别是解三角形知识（如勾股定理、正弦定理、余弦定理）解决问题.所以，如果说例1是考查我们将平面图形翻折成空间图形，那么例2则考查我们如何将空间图形展开成为平面图形，这也可以看到折叠与展开是翻折问题的两个方面.再如：三、探寻轨迹，点动成圆用两性质例3（2010浙江卷理数20）如图7，在矩形ABCD中

6、，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4，沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.（）求二面角A-FE-C的余弦值；（）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长.解（）略；（）如图8建立空间直角坐标系A-xyz策略研究以上（）的解答简洁又完美.但细细想来总觉得CM=AM的发现有些唐突，而事实上CM=AM是C沿MN翻折与A重合的必要不充分条件，所以需要对此结果进行检验，那么C沿MN翻折与A重合的充要条件又是什么.我们可以探究出翻折时点C的轨迹，如图9、10所示：沿直线MN将平面CMN翻折，则点C的轨迹是

7、与MN垂直的圆，其半径为点C到直线MN的距离.所以，C能与A重合的充要条件是A在此圆上，即同时满足以下两个条件：C与A两点到直线MN的距离相等，即CO=AO；CAMN.据此再尝试解例3，设FM=a，BN=b，则可知M（4+a，0，0），N（b，8，0）.从以上的解答可以看出尽管比先前答案更显复杂，但是从轨迹的研究到何时C能与A重合充要条件的探讨可以看出此种方法更显完备充分.运用等价条件中的性质可以巧妙地解决以下问题：（2009浙江卷理）如图11在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是_.解记D翻折过去的新点为D.因为DKAB，平面ABD平面ABC，所以DK平面ABC，所以DKAF，又因为DDAF，所以AF平面DDK，所以AFDK从而若F位于E时，K为AB中点，有t=1；若F位于C点时，则K为AB的点处，有t=，所以t（，1）.巧妙应用DDAF，使得将空间中线线、线面垂直转化为平面中DKAF，可见应用好翻折时的相关性质可以简化我们的解题.四、总结与反思从以上几道例题，不难看出翻折问题灵活多变，但灵活多变的背后还是有规律可循，在几何法、向量法、综合法的基础之上，此类问题的解决往往可以从以下三方面着手思