2013年普通高等学校招生全国统一考试

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)试题参考答案、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678A卷DCCABDBB、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中14-15题是选做题，考生 只能选做一题。9. (-2,1)10. 111.712. 2013. 614. ? ( cost +si)15. 2、3三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.解：(1厂?(-)=、2 cos r（一 _）= . 2 x 2,2=14（2） TCOS324sin 二=.1-cos2 -=1-25=-15sin

2、2 ： = 2sin cos）=25cos 2二=cos2 v - sin2 v =25?（上 + ） =-、2cosr （ 2二 + 一 ）= 2cosr （ 2 +）33 124= 2 cos 2v cos - 、2 sin 2 sin 447 x（- 25）x2 - 2 x（-空）x r225217=25-i17.解：(1)样本均值 X= (17+19+20+21+25+30)=226(2) 从茎叶图知，6名工人中有2名为优秀工人，由此推断该车间12名工人 中，有优秀工人：2X 12=4 (人)6(3) 记:任取2人中恰有1名优秀员工的事件为 A，贝VP (A)32 = 1666 = 3

3、318证明：(1)设F为ED的中点，连接 OF,AF,计算得AF=2 , OF=1T AF为等腰 ADE底边的中线，二AF丄DEv OF在原等腰厶ABC底边BC的高线上，二OF丄DE又 AF, OF 平面 AOF, AF - OF=F, DE丄平面AOFv AO 二平面 AOF, DE 丄 AO在厶 AO 中，AO2+OF2=3+1= AF2,： AO 丄 OFv OF - DE=F,OF 平面 BCDE,DE 平面 BCDE, AO丄平面BCDE(2)解法一：如答图1,过O作CD的垂线交CD的延长线于M，连接AIMv AO 丄平面 BCDE,CD 平面 BCDE, CD 丄 AOv OM 一

4、 AO=O, CD 丄平面 AOMv AIM 平面 AOM CD 丄 A M Z A IMO为所求二面角的平面角在 Rt OMC 中，OM=OCsin =, AO=、342于是在 Rt AOM 中，AM= OA2 OM 2 =-302 COSZ AOM=OM5AMc车阳I解法二：如答图2，以O为原点，分别以OFOB6A为x,y,z轴正方向，建立直角坐标系 于是 A(0，0, . 3) ,D(1，-2，0)设n=(x,y,z)为平面A D的一个法向量，则n丄AC, n丄CD于是n (0厂3厂3卜故0n (1,1, 0)0卜3y2 = 0 即! y-；，取 n=(-i,i,-V3)I x y =

5、0z =、3x再取平面BCDE的一个法向量m=(0,0,1)设n与m的夹角为二，则由答图2可知，二面5角A-CD-B的平面角的余弦值为19.解:12(1)依题意，2S=a21,又 S=a1=1,所以 a2 = 4 ；33(2)n 一2 时,2Sn = nan1fn3 - n2 n,33“1 “322 ,2Sn厂 n-1an-3 n-1- n-1-訂-13312 2两式相减得 2an = nan .1, -?n -1 an3n -3n - 1 p( 2n133整理得 n 1 an = nan .1 - n n 1 ,即葩 an =1,又色 a =1n n 1* n +1 n21a 1a故数列 是

6、首项为=1,公差为1的等差数列，In J1所以色=1 n -11 二 n,所以 an =n2.1当n =1时，丄=17-4nA A4 斥 7；当 n =2时，- =11 二5 -；444当n _3时，丄 1an二 2n n -1 n n -1 n1 1 1 1 1 1 1 1 1丄丄卅丄=1丄冷冷川A ：1 1叮丄4 34an1也4 12 3 丿 13 4 丿111717=1 -42 n 4 n 41117综上，对一切正整数 n,有一- H | - 一 ：: 一 an 4a220.解：（1）依题意，设抛物线C的方程为x2 = 4cy,由解得c =1.所以抛物线C的方程为x2 =4y . 抛物线

7、C的方程为x2 =4y，即y，求导得设 Ax1，y1，Bx2，y2（其中2诗),则切线PA, PB的斜率分别为1尹,2x2 ,所以切线pa的方程为y-力2X1X1-x-Y1 ,即22_2y _2y)= 0同理可得切线PB的方程为 x2x _2y _2y2 =0因为切线 PA，PB 均过点 P x0, y0 ，所以 x1x0 -2y2y = 0，x2x - 2y0 -2y2 = 0所以X1,y1 , X2,y2为方程xjX-2y0-2y =0的两组解. 所以直线AB的方程为x()x-2y-2y0 = 0. 由抛物线定义可知 AF|=y!+1, BF| = y2+1,所以 |AF BF|=(y1

8、+1山2 +1)=%丫2+(% +y2)+1Xo x 2 y 2 y = 0222联立方程彳2,消去x整理得y +(2y0X)y + y0 =0X =4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1 y2 = x - 2y0, y-y2 = y0222所以 AF BF| = yiy2+(yi *2 )+1 = y +X0 2y+1又点P X0, y。在直线I上，所以x。=： y。2,9+ 292 .222I1 i1所以当= - 2时,所以 y x -2y 1 = 2y 2y 5 = 2 yAF BF取得最小值，且最小值为21.解:(1)当 k =1 时，f x ： x -1 ex -X2, f X i

9、=ex 亠 i.x -1 ex -2x =xex -2x = x ex 一 2 令 f x =0,得 = 0 , x2 = In 2当X变化时，X , f X的变化如下表：X(-,0 )0(0,1 n2)In 2(In 2,畑)厂(x)+00+f (x)极大值极小值匚右表可知，函数f x的递减区间为 0,ln2 ,递增区间为 -：, 0 , l n2 , .f x =exx -1 ex - 2kx 二 xeX - 2kx = x ex - 2k ,令 f x =0,得咅=0 , x2 = ln 2k ,11 _ k1令g k ；=ln 2k -k ,则g k；= -1二0,所以g k在丄，1上递增，k k(2所以 g k 0,12 12丿